三角形正负等角中心间距

陈九章

谢谢星空老师对点的坐标的万能设计和高超的软件操作技术，
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数学星空

对于椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)内接光反射三角形的重心G,内心I,外心O,垂心H的轨迹分别为：

重心G轨迹：

\(\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1\)

\((-3a^2+3b^2)m^2-(2a^3+2ab^2)m+a^4-a^2b^2=0\)

\((-3a^2+3b^2)n^2+(-2a^2b-2b^3)n+a^2b^2-b^4=0\)

内心I轨迹

\(\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1\)

\(a^3-ab^2-am^2-2b^2m=0\)

\(a^2b-2a^2n-b^3+bn^2=0\)

外心O轨迹

\(\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1\)

\((3a^6-5a^4b^2+5a^2b^4-3b^6)m^2+(-6a^7+2a^5b^2-2a^3b^4-10ab^6)m+3a^8+3a^6b^2-3a^4b^4-3a^2b^6=0\)

\((3a^6-5a^4b^2+5a^2b^4-3b^6)n^2-(10a^6b+2a^4b^3-2a^2b^5+6b^7)n+3a^6b^2+3a^4b^4-3a^2b^6-3b^8=0\),

垂心H轨迹

\(\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1\)

\((-a^4+a^2b^2)m^2-4a^3b^2m+a^6+2a^4b^2-2a^2b^4-b^6=0\)

\((-a^2b^2+b^4)n^2-4a^2b^3n+a^6+2a^4b^2-2a^2b^4-b^6=0\)

例如：取{a=5,b=3}可以分别得到

重心G,内心I,外心O,垂心H的轨迹方程的参数值分别为：

\(m = -\frac{85}{24}+\frac{5}{24}\sqrt{481}, n= -\frac{17}{8}+\frac{\sqrt{481}}{8}\)

\(m = -\frac{9}{5}+\frac{\sqrt{481}}{5}, n = \frac{25}{3}-\frac{\sqrt{481}}{3}\)

\(m = \frac{9775}{1112}-\frac{85\sqrt{481}}{3336}, n= \frac{10489}{1112}-\frac{17\sqrt{300625}}{1112}\)

\(m=-\frac{45}{8}+\frac{\sqrt{556036}}{80}, n = -\frac{75}{8}+\frac{\sqrt{556036}}{48}\)

画图得到：

重心轨迹（黑色）



内心轨迹（黑色）



外心轨迹（黑色）



垂心轨迹（黑色）



199个样本验算点（光反射三角形）

陈九章

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对于椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)内接光反射三角形的内心轨迹[x0,y0]：

设光反射三角形顶点的坐标为[x1,y1],[x2,y2],[x3,y3]

且\(x1=\frac{a(1-m^2)}{1+m^2},y1=\frac{2bm}{1+m^2},x2=\frac{a(1-n^2)}{1+n^2},y1=\frac{2bn}{1+n^2}\)

光反射三角形三边长为a1,b1,c1

我们可以得到如下结论：（下面记x1=x, y1=y)

1.光反射三角形的一个顶点[x,y]与边长c1(或者b1)的代数关系

(9*a^16-72*a^14*b^2+252*a^12*b^4-504*a^10*b^6+630*a^8*b^8-504*a^6*b^10+252*a^4*b^12-72*a^2*b^14+9*b^16)*x^16+(-72*a^18+504*a^16*b^2-36*a^16*c1^2-1512*a^14*b^4+252*a^14*b^2*c1^2+2520*a^12*b^6-756*a^12*b^4*c1^2-2520*a^10*b^8+1260*a^10*b^6*c1^2+1512*a^8*b^10-1260*a^8*b^8*c1^2-504*a^6*b^12+756*a^6*b^10*c1^2+72*a^4*b^14-252*a^4*b^12*c1^2+36*a^2*b^14*c1^2)*x^14+(252*a^20-1512*a^18*b^2+204*a^18*c1^2+3780*a^16*b^4-1200*a^16*b^2*c1^2+54*a^16*c1^4-5040*a^14*b^6+3132*a^14*b^4*c1^2-324*a^14*b^2*c1^4+3780*a^12*b^8-4656*a^12*b^6*c1^2+810*a^12*b^4*c1^4-1512*a^10*b^10+4164*a^10*b^8*c1^2-1080*a^10*b^6*c1^4+252*a^8*b^12-2160*a^8*b^10*c1^2+810*a^8*b^8*c1^4+564*a^6*b^12*c1^2-324*a^6*b^10*c1^4-48*a^4*b^14*c1^2+54*a^4*b^12*c1^4)*x^12+(-504*a^22+2520*a^20*b^2-468*a^20*c1^2-5040*a^18*b^4+2196*a^18*b^2*c1^2-204*a^18*c1^4+5040*a^16*b^6-4968*a^16*b^4*c1^2+996*a^16*b^2*c1^4-36*a^16*c1^6-2520*a^14*b^8+6696*a^14*b^6*c1^2-2352*a^14*b^4*c1^4+180*a^14*b^2*c1^6+504*a^12*b^10-5220*a^12*b^8*c1^2+3240*a^12*b^6*c1^4-360*a^12*b^4*c1^6+2052*a^10*b^10*c1^2-2508*a^10*b^8*c1^4+360*a^10*b^6*c1^6-288*a^8*b^12*c1^2+948*a^8*b^10*c1^4-180*a^8*b^8*c1^6-120*a^6*b^12*c1^4+36*a^6*b^10*c1^6)*x^10+(630*a^24-2520*a^22*b^2+540*a^22*c1^2+3780*a^20*b^4-1800*a^20*b^2*c1^2+274*a^20*c1^4-2520*a^18*b^6+3672*a^18*b^4*c1^2-1208*a^18*b^2*c1^4+84*a^18*c1^6+630*a^16*b^8-4752*a^16*b^6*c1^2+2348*a^16*b^4*c1^4-360*a^16*b^2*c1^6+9*a^16*c1^8+2988*a^14*b^8*c1^2-3128*a^14*b^6*c1^4+816*a^14*b^4*c1^6-36*a^14*b^2*c1^8-648*a^12*b^10*c1^2+2738*a^12*b^8*c1^4-984*a^12*b^6*c1^6+54*a^12*b^4*c1^8-1088*a^10*b^10*c1^4+540*a^10*b^8*c1^6-36*a^10*b^6*c1^8+64*a^8*b^12*c1^4-96*a^8*b^10*c1^6+9*a^8*b^8*c1^8)*x^8+(-504*a^26+1512*a^24*b^2-300*a^24*c1^2-1512*a^22*b^4+420*a^22*b^2*c1^2-136*a^22*c1^4+504*a^20*b^6-1188*a^20*b^4*c1^2+904*a^20*b^2*c1^4-104*a^20*c1^6+1740*a^18*b^6*c1^2-1048*a^18*b^4*c1^4+200*a^18*b^2*c1^6-12*a^18*c1^8-672*a^16*b^8*c1^2+856*a^16*b^6*c1^4-488*a^16*b^4*c1^6+60*a^16*b^2*c1^8-1024*a^14*b^8*c1^4+824*a^14*b^6*c1^6-108*a^14*b^4*c1^8+448*a^12*b^10*c1^4-560*a^12*b^8*c1^6+84*a^12*b^6*c1^8+128*a^10*b^10*c1^6-24*a^10*b^8*c1^8)*x^6+(252*a^28-504*a^26*b^2+36*a^26*c1^2+252*a^24*b^4+288*a^24*b^2*c1^2-6*a^24*c1^4+108*a^22*b^4*c1^2-564*a^22*b^2*c1^4+104*a^22*c1^6-288*a^20*b^6*c1^2+426*a^20*b^4*c1^4-48*a^20*b^2*c1^6-2*a^20*c1^8+48*a^18*b^6*c1^4-12*a^18*b^2*c1^8-168*a^16*b^6*c1^6+46*a^16*b^4*c1^8+192*a^14*b^8*c1^6-48*a^14*b^6*c1^8-64*a^12*b^10*c1^6+16*a^12*b^8*c1^8)*x^4+(-72*a^30+72*a^28*b^2+36*a^28*c1^2-180*a^26*b^2*c1^2+20*a^26*c1^4+212*a^24*b^2*c1^4-52*a^24*c1^6-200*a^22*b^4*c1^4+36*a^22*b^2*c1^6+4*a^22*c1^8+64*a^20*b^6*c1^4+32*a^20*b^4*c1^6-12*a^20*b^2*c1^8-32*a^18*b^6*c1^6+8*a^18*b^4*c1^8)*x^2+9*a^32-12*a^30*c1^2+24*a^28*b^2*c1^2-2*a^28*c1^4-16*a^26*b^2*c1^4+4*a^26*c1^6+16*a^24*b^4*c1^4-8*a^24*b^2*c1^6+a^24*c1^8=0

例如：取{a=5,b=3,x =4.999383160} 可以得到 3.9813265*10^19*c1^2+6.25380843*10^18*c1^4+1.00914551*10^15*c1^8-1.65055786*10^17*c1^6+5.93233*10^19=0
解得 {b1 = 9.046693345, c1 = 9.350161722}

2.光反射三角形的一个顶点[x,y]与三角形内切圆半径r的代数关系:

(a^16*b^2-8*a^14*b^4+28*a^12*b^6-56*a^10*b^8+70*a^8*b^10-56*a^6*b^12+28*a^4*b^14-8*a^2*b^16+b^18)*x^12+(-6*a^18*b^2+4*a^18*r^2+40*a^16*b^4-26*a^16*b^2*r^2-118*a^14*b^6+74*a^14*b^4*r^2+200*a^12*b^8-126*a^12*b^6*r^2-210*a^10*b^10+154*a^10*b^8*r^2+136*a^8*b^12-154*a^8*b^10*r^2-50*a^6*b^14+126*a^6*b^12*r^2+8*a^4*b^16-74*a^4*b^14*r^2+26*a^2*b^16*r^2-4*b^18*r^2)*x^10+(15*a^20*b^2-20*a^20*r^2-80*a^18*b^4+106*a^18*b^2*r^2+192*a^16*b^6-258*a^16*b^4*r^2+9*a^16*b^2*r^4-268*a^14*b^8+388*a^14*b^6*r^2-54*a^14*b^4*r^4+227*a^12*b^10-416*a^12*b^8*r^2+135*a^12*b^6*r^4-108*a^10*b^12+354*a^10*b^10*r^2-180*a^10*b^8*r^4+22*a^8*b^14-242*a^8*b^12*r^2+135*a^8*b^10*r^4+112*a^6*b^14*r^2-54*a^6*b^12*r^4-24*a^4*b^16*r^2+9*a^4*b^14*r^4)*x^8+(-20*a^22*b^2+40*a^22*r^2+80*a^20*b^4-164*a^20*b^2*r^2-148*a^18*b^6+332*a^18*b^4*r^2-12*a^18*b^2*r^4+164*a^16*b^8-432*a^16*b^6*r^2+84*a^16*b^4*r^4-104*a^14*b^10+384*a^14*b^8*r^2-240*a^14*b^6*r^4+28*a^12*b^12-260*a^12*b^10*r^2+360*a^12*b^8*r^4+140*a^10*b^12*r^2-300*a^10*b^10*r^4-40*a^8*b^14*r^2+132*a^8*b^12*r^4-24*a^6*b^14*r^4)*x^6+(15*a^24*b^2-40*a^24*r^2-40*a^22*b^4+116*a^22*b^2*r^2+52*a^20*b^6-188*a^20*b^4*r^2-2*a^20*b^2*r^4-44*a^18*b^8+204*a^18*b^6*r^2-8*a^18*b^4*r^4+17*a^16*b^10-132*a^16*b^8*r^2+68*a^16*b^6*r^4+64*a^14*b^10*r^2-152*a^14*b^8*r^4-24*a^12*b^12*r^2+158*a^12*b^10*r^4-80*a^10*b^12*r^4+16*a^8*b^14*r^4)*x^4+(-6*a^26*b^2+20*a^26*r^2+8*a^24*b^4-34*a^24*b^2*r^2-6*a^22*b^6+42*a^22*b^4*r^2+4*a^22*b^2*r^4+4*a^20*b^8-34*a^20*b^6*r^2-20*a^20*b^4*r^4+10*a^18*b^8*r^2+36*a^18*b^6*r^4-4*a^16*b^10*r^2-28*a^16*b^8*r^4+8*a^14*b^10*r^4)*x^2+a^28*b^2-4*a^28*r^2+2*a^26*b^2*r^2-2*a^24*b^4*r^2+a^24*b^2*r^4-2*a^22*b^4*r^4+a^20*b^6*r^4=0

例如：取{a=5,b=3,r = 1.458079245}得到：38654705664*x^12-1.080097258*10^13*x^10+1.037475226*10^15*x^8-4.693617675*10^16*x^6+1.088382286*10^18*x^4-1.248202574*10^19*x^2+5.596642886*10^19=0  解得：x=4.999383160

3.光反射三角形内心[x0,y0]与三角形内切圆半径r的代数关系：（可以由下面4个式子消元m,n,y0得到 a,b,r,x0,x的关系,然后与上面式子消元x, 最终得到a,b,x0,r的关系式）

a^2*b^2*m^2*n^2+2*a*b^2*m^2*n^2*x0-b^2*m^2*n^2*r^2+b^2*m^2*n^2*x0^2-2*a^2*b*m^2*n*y0-2*a^2*b*m*n^2*y0-2*a*b*m^2*n*x0*y0-2*a*b*m*n^2*x0*y0+2*a^2*b^2*m*n-a^2*m^2*r^2+a^2*m^2*y0^2-2*a^2*m*n*r^2+2*a^2*m*n*y0^2-a^2*n^2*r^2+a^2*n^2*y0^2+2*b^2*m*n*r^2-2*b^2*m*n*x0^2-2*a^2*b*m*y0-2*a^2*b*n*y0+2*a*b*m*x0*y0+2*a*b*n*x0*y0+a^2*b^2-2*a*b^2*x0-b^2*r^2+b^2*x0^2=0

a^6*b^2-4*a^6*y0^2-2*a^4*b^4-2*a^4*b^2*x0^2+2*a^4*b^2*y0^2+4*a^4*x0^2*y0^2+a^2*b^6+2*a^2*b^4*x0^2-2*a^2*b^4*y0^2+a^2*b^2*x0^4-6*a^2*b^2*x0^2*y0^2+a^2*b^2*y0^4-4*b^6*x0^2+4*b^4*x0^2*y0^2=0

3*b^4*m^4*n^4+4*a^2*b^2*m^4*n^2+16*a^2*b^2*m^3*n^3+4*a^2*b^2*m^2*n^4-2*b^4*m^4*n^2-8*b^4*m^3*n^3-2*b^4*m^2*n^4+16*a^4*m^3*n+16*a^4*m^2*n^2+16*a^4*m*n^3-16*a^2*b^2*m^3*n-16*a^2*b^2*m^2*n^2-16*a^2*b^2*m*n^3-b^4*m^4+8*b^4*m^3*n+4*b^4*m^2*n^2+8*b^4*m*n^3-b^4*n^4+4*a^2*b^2*m^2+16*a^2*b^2*m*n+4*a^2*b^2*n^2-2*b^4*m^2-8*b^4*m*n-2*b^4*n^2+3*b^4=0

x(1+m^2)-a(1-m^2)=0

hejoseph

这个帖子感觉太乱了，一大堆不相关的问题混在一起，别人想找也不好找，建议不同的问题最好分开帖子

陈九章

求一般光线三角形的边长太难了，求特殊光线三角形（等腰光线三角形）的边长也不容易！
请问：有等边光线三角形吗？若有，其边长公式是什么？