三角形正负等角中心间距

陈九章

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creasson

三角形内切椭圆的一般情形属于marden定理:
复数$z_1,z_2,z_3$构成的三角形所在平面上，如果有中心二次曲线分别切三边的比例为$\lambda,\mu,\nu$（$\lambda\mu\nu=1$），那么这条二次曲线的焦点是方程
$(z-z_1)(z-z_2)+\lambda\mu(z-z_2)(z-z_3)+\mu(z-z_3)(z-z_1)=0$的两根，记为$f_1,f_2$，又记$X+Yi=\frac{z_1-f_1}{f_2-f_1}$，那么离心率$e$满足方程
$e^4(2X-1)^2-e^2(2 - 4X + 4X^2 + 4Y^2 + \lambda  + \lambda \mu  + \lambda ^2\mu )+(1+\lambda)(1+\lambda\mu)=0$
如果仅给定三角形的边长$a,b,c$, 可以令$z_1=0,z_2=a,z_3=\frac{a^2-b^2+c^2+i4\Delta}{2a}$代入计算即可。

陈九章

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读数学星空老师的论帖“椭圆内接n边形周长最大值”，竟有意想不到的发现：

陈九章

在星空内心定理、星空重心定理的启发下，昨晚，我发现了九章旁心定理：

陈九章

现在，我们转换角度，另辟蹊径：
设△ABC的三边长为a、b、c，构造使△ABC成为光线三角形的外接、内切共焦椭圆。
请问：能否由光线三角形的三边长a、b、c确定这两个椭圆的形状？
或者，内切椭圆→外接椭圆→光线三角形？
敬请星空老师、creasson先生和各位数学同志赐教！

creasson

光反射n边形的各顶点可由一个单参数$u$来表示。
$A_k = p\frac{1 - u_{k}u_{k + 1}}{1 + u_{k}u_{k + 1}} + q\frac{u_k + u_{k + 1}}{1 + u_{k}u_{k + 1}}i     \left( k = 0,1,2,3,...,n - 1 \right)$
其中$u_k =  - u_{k - 2} - \frac{2\left( a^{2}q^{2} - a^{2}b^{2} - b^{2}p^{2}\right)u_{k - 1}}{a^{2}q^{2} - a^{2}b^{2}u_{k - 1}^2 - b^{2}p^{2}u_{k - 1}^2}$
$u_0,u_1$是方程$q\left(p + a + ps^2 - as^2\right)u^2 - 4bpsu + q\left(p - a + ps^2 + as^2 \right) = 0$的两根
内椭圆的长短轴$p,q$由闭合条件给出, 可见于https://bbs.emath.ac.cn/thread-16967-1-1.html 8#

陈九章

敬请星空老师、creasson先生和各位数学同仁赐教！