20多年了，我无力解出来的一道高中奥数题！

蓉依山爸

　　这是20多年前奥赛集训时，教练郝老师给我出的训练题。当年没解出，忙着比赛；接着，又开始忙着高考……于是，这题就被我丢下了。
　　据郝老师说这题有巧解方法，用不着笨拙的大量计算，答案都是简短、对称的代数式。20多年过去了，我依然没有解出这道题。而郝老师，我已寻不着他的音讯 ……

　　天涯论坛有人说，这题在“材料结构学”……等领域，具有实用价值……
　　现在，之所以重新捡起这道题，一是为了怀念，二是为了找回当年的状态，以便辅导孩子……

　　【 题目】四面体ABCD内一点T到四顶点的距离 TA=a、TB=b、TC=c、TD=d，求：
                  1、四面体ABCD 体积最大值及取最值的条件。
　　　　　2、四面体ABCD 表面积最大值及取最值的条件。
　　～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
　　当年，我天天摸数学，状态处于最好的时候，都没有解开这道题。现在，N 年都没摸数学了，确实再也无力解开这么难的题了。刊登在此，静候高人解惑吧 ……

蓉依山爸

KeyTo9_Fans  ：这题很开放，向量法、微积分法、三角函数法、立体解析几何法……都可在这题中一试身手。但若不走“数形结合”这条路，仅仅只用数值计算，那么，无论用什么办法，即使你用 matlab 软件计算，都会因为“天量计算”问题而失败。matlab 软件其实是很笨的，它全靠使用者提供思路、建模。对于这类“开放”的数学问题，matlab 软件只能用于帮助验算我们的思路、设想是否正确。而对于解题本身，应该帮助不大。

　　我感觉，要解这题，必须先用几何推导法证明T点是四面体的特殊一点，从而简化计算。你认为呢？

蓉依山爸

解决问题可以用很多方法，但确定取最值时T点的几何特征十分重要。
比如，当体积最大时，T显然是四面体ABCD的“垂心”。

　　证明：假设四面体ABCD体积最大时， T不是四面体的垂心。
　　假定TA不垂直于BCD。设T在BCD面上的投影为E，延长ET至W, 使TW=a。
　　显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与体积最大前题相矛盾了。所以TA 必垂直于BCD
       同理TB、TC、TD也必垂直于对应的底面。于是， T是四面体的垂心。

wayne

如果设T坐标为 (0,0,0) ，那么各个顶点的坐标为 (a*cosx, a*sinx*cosy, a*sinx*siny) ,体积公式 就是 行列式的绝对值了。 该行列式每列可以提取a,b,c,d ，于是问题等价与 求 单位球内接四面体的最大体积是多少 ，这个就是正面体了。 也就是说， 答案就是 TA,TB,TC,TD 两两的夹角都是 - arccos(1/3) 的时候，体积最大。

mathematica

我解答不出这道题目，但是我想能不能回到平面二维来一个面积最大？然后依次来推测三维里面是什么情况！

mathematica

假如二维里面是重心，那么三维里面也很可能是重心！这个只是我的猜测。各位可以考虑考虑

Lwins_G

我来发一个三角形的情况来抛砖引玉吧：
平面上给定一点P，冻结PA=a,PB=b,PC=c。则有：
1) 当P为ABC之垂心时，△ABC的面积取到极大值。
2) 当P为ABC之内心时，△ABC的周长取到极大值。
证明留给大家。

mathematica

(*二维情况,求面积最大情况*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
a=3;
b=4;
c=7;
NMaximize[{0.5*a*b*Sin[ab]+0.5*b*c*Sin[bc]+0.5*a*c*Sin[ac],ab+bc+ac==2*Pi}, {ab,bc,ac}]
{26.9233, {ab -> 2.39141, bc -> 1.8897, ac -> 2.00208}}
{137.017, 108.272, 114.711}这个是角度

mathematica

利用拉格朗日乘子法，得到二维的情况是，角度余弦值与相对的长度之比相等！
期待三维的情况

mathematica

mathematica 发表于 2013-11-18 13:15
利用拉格朗日乘子法，得到二维的情况是，角度余弦值与相对的长度之比相等！
期待三维的情况

那如何得到三维情况的比例等式呢?(如果确实存在的话),还有这个R是如何弄进去的?