20多年了，我无力解出来的一道高中奥数题！

mathematica

Lwins_G 发表于 2013-11-18 13:05
我来发一个三角形的情况来抛砖引玉吧：
平面上给定一点P，冻结PA=a,PB=b,PC=c。则有：
1) 当P为ABC之垂心 ...

http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

这边有已知三边长度与夹角求体积的公式,如何也能得到一个类似的比例等式呢?

蓉依山爸

这是天涯论坛的“濯足”给出的，四面体 体积最大值的解答。省略了大家都已经知道的，T为四面体垂心的证明。

大家来看下，有没有错误？

Lwins_G

@蓉依山爸
你在7#提到你猜测第二问的答案在$T$为四面体$ABCD$之内心时取得，你是如何做出这个猜测的？我很有兴趣。要知道，再来一个第三问，求$\max AB+AC+AD+BC+BD+CD$，那$T$所在的位置很可能就不是我们所熟知的那些"心"了。

wayne

wayne 发表于 2013-11-18 12:43
如果设T坐标为 (0,0,0) ，那么各个顶点的坐标为 (a*cosx, a*sinx*cosy, a*sinx*siny) ,体积公式 就是 行列 ...

的确是垂心。
已知四面体的四个顶点的坐标，那么其体积就是下面 行列式的值。

如果我们 建立一个以 T 为球心的球坐标系，将坐标点(a*cosx, a*sinx*cosy, a*sinx*siny)  都代进去。
根据行列式的 性质，我们可以将每一个列的因子 提取出来。
提取之后，剩下的部分 就是变的部分了。而这个变的部分 其几何意义就是单位球 内接四面体的体积。

体积最大的就是正四面体。
而构成这个变的部分的变量全是角度，我们把其中涉及的角度全部定格， 对应在原模型，就是TA垂直于BCD，TB垂直于ACD,......, 即 垂心了。

这个思路 用射影几何来陈述，叫什么来着？

wayne

好吧，我得承认， 我这个思路 可以求出 体积最大值，但最大值处T 是不是垂心有待确证。

Lwins_G

也许砖头抛得还不够大？

定理：给定平面上一点$P$和三个正实数$a,b,c$。在所有满足$PA=a,PB=b,PC=c$的$\Delta ABC$中，当且仅当$P$为内心时$AB+AC+BC$取得最大值。

证：一个严谨的纯数学证明固然是被期望的，不过一个不那么严格的物理证明却也显得十分有趣。我们来构造一个物理系统说明这个问题。
令$PA,PB,PC$是三条长度分别为$a,b,c$的刚性细棍，它们都有一端被固定在$P$点且能绕其自由旋转。现在分别在它们的最外端（$A,B,C$点）挖三个洞，然后让一个原长足够大的细弹簧穿过这三个洞。显然，当该物理系统平衡时，弹簧长度极大。
假设系统平衡，我们来考虑细棍$PA$受到的力矩。这时$A$点受到弹簧施加的向$AB,AC$反方向的两个大小相等的力。（为什么不是正方向？因为这是一个被压缩了的弹簧，不是一个被撑大了的橡皮筋）而要想$PA$受到的力矩为$0$，当且仅当这两个力的合力的方向与$PA$共线，亦即$PA$是$\angle BAC$的角平分线。
同理，$PB,PC$也是角平分线，故而$P$是$\Delta ABC$的内心。Q.E.D.

希望有所启发。

mathematica

Lwins_G 发表于 2013-11-18 17:30
也许砖头抛得还不够大？

定理：给定平面上一点$P$和三个正实数$a,b,c$。在所有满足$PA=a,PB=b,PC=c$的$\ ...

物理学的证明可简单了!
物理学就是做实验,
随机生成三个正实数,然后求得a+b+c最大的时候P点位于三角形ABC是不是内心,如果是内心.
如果重复做了100次结果都成立,那么就是内心.
虽然数学家拒绝这个结论,但是对于物理学家绝对是能接受的!

mathematica

mathematica 发表于 2013-11-18 17:58
物理学的证明可简单了!
物理学就是做实验,
随机生成三个正实数,然后求得a+b+c最大的时候P点位于三角形A ...

纯数学证明也很简单呀!
拉格朗日乘子法,可以得到:
点P与点A,B,C
那么
AB*PC/sin(<APB)=BC*PA/sin(<BPC)=AC*PB/sin(<APC)
满足这个条件就可以了,但是是不是内心需要进一步的证明

mathematica

Lwins_G 发表于 2013-11-18 17:30
也许砖头抛得还不够大？

定理：给定平面上一点$P$和三个正实数$a,b,c$。在所有满足$PA=a,PB=b,PC=c$的$\ ...

@Lwins_G
9楼那个等式R是什么意思?如何证明呢?

数学星空

对于平面上三动点ABC及定点P有结论：见 http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... p;extra=&page=1