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楼主: 蓉依山爸

[讨论] 20多年了,我无力解出来的一道高中奥数题!

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发表于 2013-11-18 13:56:16 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-18 13:05
我来发一个三角形的情况来抛砖引玉吧:
平面上给定一点P,冻结PA=a,PB=b,PC=c。则有:
1) 当P为ABC之垂心 ...

http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

这边有已知三边长度与夹角求体积的公式,如何也能得到一个类似的比例等式呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2013-11-18 14:46:57 | 显示全部楼层
这是天涯论坛的“濯足”给出的,四面体 体积最大值的解答。省略了大家都已经知道的,T为四面体垂心的证明。

001.jpg


大家来看下,有没有错误?

点评

最后根据对称性,确实很巧妙,有点无懈可击的感觉。  发表于 2013-11-18 19:22
看图有点费劲  发表于 2013-11-18 16:26
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发表于 2013-11-18 15:40:44 | 显示全部楼层
@蓉依山爸
你在7#提到你猜测第二问的答案在$T$为四面体$ABCD$之内心时取得,你是如何做出这个猜测的?我很有兴趣。要知道,再来一个第三问,求$\max AB+AC+AD+BC+BD+CD$,那$T$所在的位置很可能就不是我们所熟知的那些"心"了。

点评

我先在平面发现这个规律,就直觉感到立体也会有这个规律。我验证了下立体下,a=b=c=1、d=2 时的情况,发现规律符合。  发表于 2013-11-18 16:17
额,这个难度系数 大大增加了。  发表于 2013-11-18 16:04
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发表于 2013-11-18 16:01:08 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-11-18 12:43
如果设T坐标为 (0,0,0) ,那么各个顶点的坐标为 (a*cosx, a*sinx*cosy, a*sinx*siny) ,体积公式 就是 行列 ...


的确是垂心。
已知四面体的四个顶点的坐标,那么其体积就是下面 行列式的值。

如果我们 建立一个以 T 为球心的球坐标系,将坐标点(a*cosx, a*sinx*cosy, a*sinx*siny)  都代进去。
根据行列式的 性质,我们可以将每一个列的因子 提取出来。
提取之后,剩下的部分 就是变的部分了。而这个变的部分 其几何意义就是单位球 内接四面体的体积。

体积最大的就是正四面体。
而构成这个变的部分的变量全是角度,我们把其中涉及的角度全部定格, 对应在原模型,就是TA垂直于BCD,TB垂直于ACD,......, 即 垂心了。

这个思路 用射影几何来陈述,叫什么来着?

点评

多谢!错误太低级了。。  发表于 2013-11-19 13:42
汗........, 没动笔 竟然错的这么离谱  发表于 2013-11-18 21:35

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zhouguang + 1 问题在于因子提不出来呀。

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发表于 2013-11-18 16:24:16 | 显示全部楼层
好吧,我得承认, 我这个思路 可以求出 体积最大值,但最大值处T 是不是垂心有待确证。

点评

@蓉依山爸 , 多谢,我错的很离谱哈, 贻笑大方了.  发表于 2013-11-18 21:30
四面体不一定有垂心。但四面体体积最大时,T必然是垂心  发表于 2013-11-18 16:27
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发表于 2013-11-18 17:30:53 | 显示全部楼层
也许砖头抛得还不够大?

定理:给定平面上一点$P$和三个正实数$a,b,c$。在所有满足$PA=a,PB=b,PC=c$的$\Delta ABC$中,当且仅当$P$为内心时$AB+AC+BC$取得最大值。

证:一个严谨的纯数学证明固然是被期望的,不过一个不那么严格的物理证明却也显得十分有趣。我们来构造一个物理系统说明这个问题。
令$PA,PB,PC$是三条长度分别为$a,b,c$的刚性细棍,它们都有一端被固定在$P$点且能绕其自由旋转。现在分别在它们的最外端($A,B,C$点)挖三个洞,然后让一个原长足够大的细弹簧穿过这三个洞。显然,当该物理系统平衡时,弹簧长度极大。
假设系统平衡,我们来考虑细棍$PA$受到的力矩。这时$A$点受到弹簧施加的向$AB,AC$反方向的两个大小相等的力。(为什么不是正方向?因为这是一个被压缩了的弹簧,不是一个被撑大了的橡皮筋)而要想$PA$受到的力矩为$0$,当且仅当这两个力的合力的方向与$PA$共线,亦即$PA$是$\angle BAC$的角平分线。
同理,$PB,PC$也是角平分线,故而$P$是$\Delta ABC$的内心。Q.E.D.

希望有所启发。

点评

这个物理证明不错,简单易懂。数学证明也很容易:以A,B为焦点,PA+PB为长轴长做椭圆显然同P为圆心PC为半径的圆相切  发表于 2013-11-25 20:41
完全可以,不过还是留给大家考虑吧。  发表于 2013-11-19 13:40
如果这个证明思路,能转化为纯数学的方式,并推广到立体中,那就太好了  发表于 2013-11-19 09:44
也许这里我们需要的模型用“弹簧”确实不太合适……我想了想,这时候“弹簧”很可能会变成三段圆弧。不如这样:我们还是使用一个足够小的橡皮筋,但是把时间轴倒转,这样得到平衡时橡皮筋长度最长。  发表于 2013-11-19 01:16
既然是只能被压缩或者被拉伸的“弹簧”,那么弹簧所能受到的力只能是轴向的(除非这个弹簧是个弹性杆)。 弹簧AB,AC对A的力在PA法向上投影等大反向(否则会PA发生旋转),但是这并不能说明他们在切向(PA)投影相等。  发表于 2013-11-18 20:00
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发表于 2013-11-18 17:58:50 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-18 17:30
也许砖头抛得还不够大?

定理:给定平面上一点$P$和三个正实数$a,b,c$。在所有满足$PA=a,PB=b,PC=c$的$\ ...

物理学的证明可简单了!
物理学就是做实验,
随机生成三个正实数,然后求得a+b+c最大的时候P点位于三角形ABC是不是内心,如果是内心.
如果重复做了100次结果都成立,那么就是内心.
虽然数学家拒绝这个结论,但是对于物理学家绝对是能接受的!

点评

哈哈……这确实有一定道理。不过16#使用的“物理证明”事实上是使用了一个数学系统(被我们称作经典物理学),是可以严格转化成纯数学证明的。  发表于 2013-11-18 18:20
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发表于 2013-11-18 19:40:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2013-11-18 19:41 编辑
mathematica 发表于 2013-11-18 17:58
物理学的证明可简单了!
物理学就是做实验,
随机生成三个正实数,然后求得a+b+c最大的时候P点位于三角形A ...


纯数学证明也很简单呀!
拉格朗日乘子法,可以得到:
点P与点A,B,C
那么
AB*PC/sin(<APB)=BC*PA/sin(<BPC)=AC*PB/sin(<APC)
满足这个条件就可以了,但是是不是内心需要进一步的证明
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发表于 2013-11-18 19:57:45 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-18 17:30
也许砖头抛得还不够大?

定理:给定平面上一点$P$和三个正实数$a,b,c$。在所有满足$PA=a,PB=b,PC=c$的$\ ...

@Lwins_G
9楼那个等式R是什么意思?如何证明呢?
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发表于 2013-11-18 20:21:59 | 显示全部楼层
对于平面上三动点ABC及定点P有结论:见 /forum.php ... p;extra=&page=1
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