20多年了，我无力解出来的一道高中奥数题！

kastin

Lwins_G 发表于 2013-11-21 20:42
错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了，事实上这恰恰不是充分条件，反而是必要条件。
我换一种说法，你 ...

确实，我弄错了。
应该这么说，ABCD体积最大是TA垂直BCD……的充分条件；反过来，TA垂直BCD……是ABCD体积最大的必要条件。

但是这四个命题并起来其实就是一个命题而已。且 必要条件 并不等同于 充要条件。

并且根据充分条件的性质，“ABCD体积最大”是“TA垂直BCD……”的充分条件，就意味着前者蕴含后者；那么反过来，当后者成立时候，并不能推出前者成立。

也就是说，即使四条线都垂直对面，也不一定能保证ABCD体积最大。

kastin

Lwins_G 发表于 2013-11-21 20:42
错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了，事实上这恰恰不是充分条件，反而是必要条件。
我换一种说法，你 ...

"只要TA不垂直于BCD，或TB不垂直于ACD，或……，那么ABCD必然不是最优四面体。"的逆否命题不是楼主的命题。这个命题的逆否命题应该是

“ABCD不一定是最优四面体，则TA垂直于BCD，且TB垂直于ACD，且……”

注意限定词“必然”，“必定”或者“一定”的反面不是"一定不"，或者"必定不"，“必然不”。这就好比“所有都是……”的反面并非“所有都不是……”，而应该是“并不是所有都是……”

所有，请您请弄清楚否命题与命题的否定形式的差别，详细的解释请查看数理逻辑或者普通逻辑学课本。

Lwins_G

kastin 发表于 2013-11-21 22:54
"只要TA不垂直于BCD，或TB不垂直于ACD，或……，那么ABCD必然不是最优四面体。"的逆否命题不是楼主的命题 ...

是我的错，不应该在命题描述里乱加词汇。
这个命题没有那么复杂，我重新叙述一下：

命题 如果TA不垂直于BCD，或TB不垂直于ACD，或……，那么ABCD不是最优的四面体。这里的“最优”指体积达到最大值。

那么现在它的逆否命题便很明显了。

Lwins_G

kastin 发表于 2013-11-21 22:44
确实，我弄错了。
应该这么说，ABCD体积最大是TA垂直BCD……的充分条件；反过来，TA垂直BCD……是ABCD ...

对，但是这帮助我们排除了大量不需要讨论的情况。为了方便理解，参看下面这个例子。

命题 求证当$0 \leq a,b,c \leq 1$时$a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) \leq 1$。

引理 在任一闭区间上，寻找一次函数f(x)的最大值时可以忽略其在整个对应开区间内的取值。即$\max_{a \leq x \leq b} \{ f(x) \} = \max \{ f(a),f(b) \}$。

命题的证：$g(a,b,c)$分别是关于$a,b,c$的一次函数。由引理，我们只需要考虑$g(a,b,c)$在$\mathbb{R}^3$中的8个点$(a,b,c)=(\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2},\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2},\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2})$的取值即可。Q.E.D.

补充内容 (2013-11-22 11:48):
$g(a,b,c)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$

mathematica

Lwins_G 发表于 2013-11-22 01:03
对，但是这帮助我们排除了大量不需要讨论的情况。为了方便理解，参看下面这个例子。

命题 求证当$0  ...

NMaximize[{a*(1 - b) + b*(1 - c) + c*(1 - a),
  a >= 0 && a <= 1 && b >= 0 && b <= 1 && c >= 0 && c <= 1}, {a, b,
  c}]

{1., {a -> 1., b -> 0., c -> 1.}}
这是你第一个问题的答案.拉格朗日乘子法就能解决这个问题!

kastin

Lwins_G 发表于 2013-11-22 00:45
是我的错，不应该在命题描述里乱加词汇。
这个命题没有那么复杂，我重新叙述一下：

因为原来的这个命题的本意是，只要前提条件中的某一个不满足，那么ABCD就不是最优四面体。这么来说，就意味着：只要不满足……（前提条件），ABCD就一定不是最优的四面体了。

因此，如果去掉限定词（即不满足条件，ABCD不是最优四面体），其意义就大为不同了。它们的差别很明显：

假设 集合A={”所有最优四面体“}，B={“至少有一个垂直条件不满足的四面体ABCD"}。第一个命题（有限定词）的结论是B不∈A（即B不是A的子集）。而第二个命题（无限定词）的结论是B≠A（注意这个含义包含，当B∩A≠空集，或者B是A的子集，或者A是B的子集，或者B∩A=空集且B∪A≠全集的情况）。

由此可见，此时命题意义就变得狭窄了，仅仅是“不满足前提条件，ABCD不是最优四面体”，并不能否定当TA,TB,TC,TD满足其他条件，但不满足垂直条件时，ABCD也有可能是最优的四面体的情况。

Lwins_G

kastin 发表于 2013-11-22 09:57
因为原来的这个命题的本意是，只要前提条件中的某一个不满足，那么ABCD就不是最优四面体。这么来说，就意 ...

我不明白哪里有问题。
1. 从语义而言：“只要……就……”和“如果……就……”是没有差别的。而后者就是34#的表述，只不过省略了连词。
2. 我不认同你的最后一段的内容（也包括倒数第二段的内容，但是它不重要）。为什么不能否定？把你的条件代入，再看一次这个问题：
我们假设有一个四面体ABCD满足一些其他条件，而不满足垂直条件。
直接引用34#的命题

“（对于任意四面体ABCD）如果TA不垂直于BCD，或TB不垂直于ACD，或……，那么ABCD不是最优的四面体。这里的“最优”指体积达到最大值。”

立刻得到ABCD不是最优四面体。
……我不明白问题出在哪儿。

kastin

Lwins_G 发表于 2013-11-22 11:03
我不明白哪里有问题。
1. 从语义而言：“只要……就……”和“如果……就……”是没有差别的。而后者 ...

关于我在37楼倒数第一内容，举个例子你就会明白了：
”x不满足3<x或者不满足x<5，那么x不是小于5的数。“(这是个真命题)
和 ”x不满足3<x或者不满足x<5，那么x一定不是小于5的数。“（这个是假命题，因为当x=1的时候，x是小于5）

倒数第二段也可以用用上面的例子说明：
”x不满足3<x或者不满足x<5，那么x不是小于5的数。“(这是个真命题)
这个命题并不能否认这个事实：x不满足3<x<5的时候，但满足其他条件（比如x<4的时候），x有可能是小于5的数。

其实问题关键在于一个限定词，而那个限定词被你去掉了。但是无论去掉还是不去掉，似乎都能说得通。但是为什么偏偏要去掉呢？这就说明两点，要么你为了证明自己的说法，故意避开这个漏洞；要么加上限定词，命题就不正确了。
我觉得很可能是加上限定词命题就不正确了，但是我暂时还没找出问题在哪。你也可以想想这个问题。

如果34#的命题为真的话，最多只是证明了ABCD体积最大的一个必要条件。当然，这对于找出体积最大值这个问题来说，已经足够了。但是如果想找到T满足何种条件时，ABCD体积最大，这还需要我们继续讨论。很有可能T满足的条件足够严格，以至于ABCD体积最大的T只有唯一一个位置；也有可能T满足的条件较为宽松，使得有许多个T的位置都能使得ABCD体积最大。但无论如何，体积最大的值肯定唯一的。

wayne

x不满足3<x或者不满足x<5，那么x不是小于5的数。

虽然我可以逆否的角度搞懂这个逻辑。
但从正面直接理解，读了两遍，还是没搞清楚，悲剧了，

creasson