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楼主: 蓉依山爸

[讨论] 20多年了,我无力解出来的一道高中奥数题!

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发表于 2013-11-21 20:42:37 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-11-21 18:27
先不管第一问结论是否正确,但证明过程是有问题的。
-----------------------------------引用原文------- ...

错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了,事实上这恰恰不是充分条件,反而是必要条件。
我换一种说法,你就容易看出其中的必要性。

a) 反设TA不垂直于BCD,那么此时ABCD必然不是最优四面体。
b) 反设TB不垂直于ACD,那么此时ABCD必然不是最优四面体。
c) 反设TC不垂直于ABD,那么此时ABCD必然不是最优四面体。
d) 反设TD不垂直于ABC,那么此时ABCD必然不是最优四面体。

上面四个论断的正确性应该是毋庸置疑的,那么它们合并起来实际上得到:
只要TA不垂直于BCD,或TB不垂直于ACD,或……,那么ABCD必然不是最优四面体。
该正确命题的逆否命题(等价命题)正是LZ所述的命题。
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发表于 2013-11-21 22:44:57 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-21 20:42
错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了,事实上这恰恰不是充分条件,反而是必要条件。
我换一种说法,你 ...


确实,我弄错了。
应该这么说,ABCD体积最大是TA垂直BCD……的充分条件;反过来,TA垂直BCD……是ABCD体积最大的必要条件

但是这四个命题并起来其实就是一个命题而已。且 必要条件 并不等同于 充要条件。

并且根据充分条件的性质,“ABCD体积最大”是“TA垂直BCD……”的充分条件,就意味着前者蕴含后者;那么反过来,当后者成立时候,并不能推出前者成立。

也就是说,即使四条线都垂直对面,也不一定能保证ABCD体积最大。

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发表于 2013-11-21 22:54:02 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-21 20:42
错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了,事实上这恰恰不是充分条件,反而是必要条件。
我换一种说法,你 ...

"只要TA不垂直于BCD,或TB不垂直于ACD,或……,那么ABCD必然不是最优四面体。"的逆否命题不是楼主的命题。这个命题的逆否命题应该是

“ABCD不一定是最优四面体,则TA垂直于BCD,且TB垂直于ACD,且……”

注意限定词“必然”,“必定”或者“一定”的反面不是"一定不",或者"必定不",“必然不”。这就好比“所有都是……”的反面并非“所有都不是……”,而应该是“并不是所有都是……”

所有,请您请弄清楚否命题与命题的否定形式的差别,详细的解释请查看数理逻辑或者普通逻辑学课本。

点评

没有错呀……一个命题和它的逆否命题等价啊,我没有使用命题的否定。  发表于 2013-11-22 11:09
@Lwins_G 否命题是指完全相反的情况,比如A和B互反,就是说A∩B=空集,且A∪B=全集。而命题的否定仅仅是否定结果(即新命题与原命题真假值一定相反),比如A的否定等同于非A,即只要B≠A即可。  发表于 2013-11-22 10:04
“一定”的反面(或言否定形式)应该是“不一定”,举个例子。  发表于 2013-11-22 00:48

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发表于 2013-11-22 00:45:43 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-11-21 22:54
"只要TA不垂直于BCD,或TB不垂直于ACD,或……,那么ABCD必然不是最优四面体。"的逆否命题不是楼主的命题 ...

是我的错,不应该在命题描述里乱加词汇。
这个命题没有那么复杂,我重新叙述一下:

命题 如果TA不垂直于BCD,或TB不垂直于ACD,或……,那么ABCD不是最优的四面体。这里的“最优”指体积达到最大值。

那么现在它的逆否命题便很明显了。
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发表于 2013-11-22 01:03:38 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-11-21 22:44
确实,我弄错了。
应该这么说,ABCD体积最大是TA垂直BCD……的充分条件;反过来,TA垂直BCD……是ABCD ...


对,但是这帮助我们排除了大量不需要讨论的情况。为了方便理解,参看下面这个例子。

命题 求证当$0 \leq a,b,c \leq 1$时$a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) \leq 1$。

引理 在任一闭区间上,寻找一次函数f(x)的最大值时可以忽略其在整个对应开区间内的取值。即$\max_{a \leq x \leq b} \{ f(x) \} = \max \{ f(a),f(b) \}$。

命题的证:$g(a,b,c)$分别是关于$a,b,c$的一次函数。由引理,我们只需要考虑$g(a,b,c)$在$\mathbb{R}^3$中的8个点$(a,b,c)=(\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2},\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2},\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2})$的取值即可。Q.E.D.

补充内容 (2013-11-22 11:48):
$g(a,b,c)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$
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发表于 2013-11-22 09:00:19 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-22 01:03
对,但是这帮助我们排除了大量不需要讨论的情况。为了方便理解,参看下面这个例子。

命题 求证当$0  ...

NMaximize[{a*(1 - b) + b*(1 - c) + c*(1 - a),
  a >= 0 && a <= 1 && b >= 0 && b <= 1 && c >= 0 && c <= 1}, {a, b,
  c}]

{1., {a -> 1., b -> 0., c -> 1.}}
这是你第一个问题的答案.拉格朗日乘子法就能解决这个问题!
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发表于 2013-11-22 09:57:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 kastin 于 2013-11-22 13:21 编辑
Lwins_G 发表于 2013-11-22 00:45
是我的错,不应该在命题描述里乱加词汇。
这个命题没有那么复杂,我重新叙述一下:


因为原来的这个命题的本意是,只要前提条件中的某一个不满足,那么ABCD就不是最优四面体。这么来说,就意味着:只要不满足……(前提条件),ABCD就一定不是最优的四面体了。

因此,如果去掉限定词(即不满足条件,ABCD不是最优四面体),其意义就大为不同了。它们的差别很明显:

假设 集合A={”所有最优四面体“},B={“至少有一个垂直条件不满足的四面体ABCD"}。第一个命题(有限定词)的结论是B∈A(即B不是A的子集)。而第二个命题(无限定词)的结论是B≠A(注意这个含义包含,当B∩A≠空集,或者B是A的子集,或者A是B的子集,或者B∩A=空集且B∪A≠全集的情况)。

由此可见,此时命题意义就变得狭窄了,仅仅是“不满足前提条件,ABCD不是最优四面体”,并不能否定当TA,TB,TC,TD满足其他条件,但不满足垂直条件时,ABCD也有可能是最优的四面体的情况。
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发表于 2013-11-22 11:03:08 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-11-22 09:57
因为原来的这个命题的本意是,只要前提条件中的某一个不满足,那么ABCD就不是最优四面体。这么来说,就意 ...


我不明白哪里有问题。
1. 从语义而言:“只要……就……”和“如果……就……”是没有差别的。而后者就是34#的表述,只不过省略了连词。
2. 我不认同你的最后一段的内容(也包括倒数第二段的内容,但是它不重要)。为什么不能否定?把你的条件代入,再看一次这个问题:
我们假设有一个四面体ABCD满足一些其他条件,而不满足垂直条件。
直接引用34#的命题
“(对于任意四面体ABCD)如果TA不垂直于BCD,或TB不垂直于ACD,或……,那么ABCD不是最优的四面体。这里的“最优”指体积达到最大值。”
立刻得到ABCD不是最优四面体。
……我不明白问题出在哪儿。
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发表于 2013-11-22 14:00:30 | 显示全部楼层
Lwins_G 发表于 2013-11-22 11:03
我不明白哪里有问题。
1. 从语义而言:“只要……就……”和“如果……就……”是没有差别的。而后者 ...

关于我在37楼倒数第一内容,举个例子你就会明白了:
”x不满足3<x或者不满足x<5,那么x不是小于5的数。“(这是个真命题)
和 ”x不满足3<x或者不满足x<5,那么x一定不是小于5的数。“(这个是假命题,因为当x=1的时候,x是小于5)

倒数第二段也可以用用上面的例子说明:
”x不满足3<x或者不满足x<5,那么x不是小于5的数。“(这是个真命题)
这个命题并不能否认这个事实:x不满足3<x<5的时候,但满足其他条件(比如x<4的时候),x有可能是小于5的数。

其实问题关键在于一个限定词,而那个限定词被你去掉了。但是无论去掉还是不去掉,似乎都能说得通。但是为什么偏偏要去掉呢?这就说明两点,要么你为了证明自己的说法,故意避开这个漏洞;要么加上限定词,命题就不正确了。
我觉得很可能是加上限定词命题就不正确了,但是我暂时还没找出问题在哪。你也可以想想这个问题。

如果34#的命题为真的话,最多只是证明了ABCD体积最大的一个必要条件。当然,这对于找出体积最大值这个问题来说,已经足够了。但是如果想找到T满足何种条件时,ABCD体积最大,这还需要我们继续讨论。很有可能T满足的条件足够严格,以至于ABCD体积最大的T只有唯一一个位置;也有可能T满足的条件较为宽松,使得有许多个T的位置都能使得ABCD体积最大。但无论如何,体积最大的值肯定唯一的。

点评

什么意思?  发表于 2013-11-22 18:51
@Lwins_G, 注意这是或,只要有一个为真,则整个命题为真。  发表于 2013-11-22 16:32
在你的第一个“真”命题里取x=1,x不满足3<x但满足x<5。根据论断应有x不是小于5的数,但是它是……所以第一个命题也是假命题呀。。  发表于 2013-11-22 15:33

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发表于 2013-11-22 14:18:39 | 显示全部楼层
x不满足3<x或者不满足x<5,那么x不是小于5的数。

虽然我可以逆否的角度搞懂这个逻辑。
但从正面直接理解,读了两遍,还是没搞清楚,悲剧了,
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