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楼主: 蓉依山爸

[讨论] 20多年了,我无力解出来的一道高中奥数题!

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发表于 2013-11-18 20:28:06 | 显示全部楼层
(*二维情况,求面积最大情况*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
a=6;
b=8;
c=7;
AB=Sqrt[a^2+b^2-2*a*b*Cos[ab]];
BC=Sqrt[c^2+b^2-2*c*b*Cos[bc]];
AC=Sqrt[a^2+c^2-2*a*c*Cos[ac]];
Print["计算周长,以及三个角角度"];
out=NMaximize[{AB+BC+AC,ab+bc+ac==2*Pi}, {ab,bc,ac}]
Print["计算三边长"];
{Lab,Lbc,Lac}=({AB,BC,AC}/.out[[2]])
BAP=ArcCos[(Lab^2+a^2-b^2)/(2*Lab*a)];CAP=ArcCos[(Lac^2+a^2-c^2)/(2*Lac*a)];
ABP=ArcCos[(Lab^2+b^2-a^2)/(2*Lab*b)];CBP=ArcCos[(Lbc^2+b^2-c^2)/(2*Lbc*b)];
Print["检测角度是否相等!"];
{BAP-CAP,ABP-CBP}*180/Pi
随机做了几个实验,发现确实是内心!
  1. (*二维情况,求面积最大情况*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. a=6;
  4. b=8;
  5. c=7;
  6. AB=Sqrt[a^2+b^2-2*a*b*Cos[ab]];
  7. BC=Sqrt[c^2+b^2-2*c*b*Cos[bc]];
  8. AC=Sqrt[a^2+c^2-2*a*c*Cos[ac]];
  9. Print["计算周长,以及三个角角度"];
  10. out=NMaximize[{AB+BC+AC,ab+bc+ac==2*Pi}, {ab,bc,ac}]
  11. Print["计算三边长"];
  12. {Lab,Lbc,Lac}=({AB,BC,AC}/.out[[2]])
  13. BAP=ArcCos[(Lab^2+a^2-b^2)/(2*Lab*a)];CAP=ArcCos[(Lac^2+a^2-c^2)/(2*Lac*a)];
  14. ABP=ArcCos[(Lab^2+b^2-a^2)/(2*Lab*b)];CBP=ArcCos[(Lbc^2+b^2-c^2)/(2*Lbc*b)];
  15. Print["检测角度是否相等!"];
  16. {BAP-CAP,ABP-CBP}*180/Pi
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 21:37:59 | 显示全部楼层
哈哈,20多年的陈酿  还真不是盖的
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发表于 2013-11-18 22:15:29 | 显示全部楼层
蓉依山爸 发表于 2013-11-18 11:30
当体积最大时,T是四面体ABCD的“垂心”。

  证明:假设四面体ABCD体积最大时, T不是四面体的 ...


楼主真细心. 垂心打了个 引号.
四面体不一定存在垂心的. 当且仅当 两组 对棱 互相垂直的时候, 才存在垂心.

不过.至少一个结论存在.  
TA垂直于面BCD &&
TB垂直于面ACD &&
TC垂直于面ABD &&
TD垂直于面ABC

于是,假如 T到面BCD的距离是x,那么 我们的目标是寻求这样的T点, 使得 $ (a+x) *S_{BCD}$, 即 $ (1+a/x) *V_{TBCD}$ 最大
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 楼主| 发表于 2013-11-19 09:08:06 | 显示全部楼层
希望此题能在这个论坛,得到一个完整的、完美的解答!!

点评

体积最大值问题,已经基本解决了。现在,只剩下表面积最大值问题了。你还开不见曙光吗?  发表于 2013-11-19 09:46
估计你的愿望会落空,这题真的很难!至少我觉得很难!  发表于 2013-11-19 09:44
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发表于 2013-11-19 10:22:38 | 显示全部楼层
但四面体体积最大时,T必然是垂心

我对 这句话比较好奇,感觉里面还有一些东西需要补充,@蓉依山爸

点评

好吧,这里的 T联接了其他四点,所以结论 完全成立  发表于 2013-11-19 15:21
3 楼只是说明体积最大的时候 TA垂直于面BCD && TB垂直于面ACD && TC垂直于面ABD && TD垂直于面ABC 吧  发表于 2013-11-19 11:23
3楼有证明。  发表于 2013-11-19 11:12
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发表于 2013-11-21 09:52:26 | 显示全部楼层
蓉依山爸 发表于 2013-11-19 09:08
希望此题能在这个论坛,得到一个完整的、完美的解答!!

我觉得这个问题是很难的.你等不到回复的那一天的,因为你确实遇上了难题.
人不要被自己的好奇心所控制.释放掉自己过强的好奇心,你会活得更快乐!

点评

①这题,原本只是一道高中奥数题。②这题的一问,已经用高中手段解决;这题的二问,也已确定能用高中手段解决。③若不肯思维,那么,掌握即使再多高级的数学工具,也是没用的。看来,各位都该练练思维了!  发表于 2013-11-21 10:16
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2013-11-21 10:17:59 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2013-11-21 09:52
我觉得这个问题是很难的.你等不到回复的那一天的,因为你确实遇上了难题.
人不要被自己的好奇心所控制.释 ...

①这题,原本只是一道高中奥数题。②这题的一问,已经用高中手段解决;这题的二问,也已确定能用高中手段解决。③若不肯思维,那么,掌握即使再多高级的数学工具,也是没用的。看来,各位都该练练思维了!

点评

请记住:我们讨论的目的是解决问题的一般方法,一个所谓的巧思妙解并不能解决 此类问题!本贴的问题,还有许多问题需要我们讨论给出答案,例如最大体积时,四面体是否唯一,其六条边各是多少?等等  发表于 2013-11-21 20:09
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2013-11-21 12:41:45 | 显示全部楼层
蓉依山爸 发表于 2013-11-21 10:17
①这题,原本只是一道高中奥数题。②这题的一问,已经用高中手段解决;这题的二问,也已确定能用高中手段 ...

①②③各指什么呢?好像只有26楼与27楼出现了①②③,
反正我不知道①②③指的是哪些问题,你只有说明白了,
问题才能够解决,你不说明白,如何解决呢?
我觉得你有必要好好整理一下你的帖子的问题.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2013-11-21 18:27:24 | 显示全部楼层
先不管第一问结论是否正确,但证明过程是有问题的。
-----------------------------------引用原文-----------------------------------------------------
当体积最大时,T是四面体ABCD的“垂心”。
  证明:假设四面体ABCD体积最大时, T不是四面体的垂心。
  若TA不垂直于BCD。设T在BCD面上的投影为E,延长ET至W, 使TW=a。
  显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与体积最大前题相矛盾了。所以TA 必垂直于BCD
       同理TB、TC、TD也必垂直于对应的底面。于是, T是四面体的垂心。
--------------------------------------引用结束--------------------------------------------------

首先,“若TA不垂直于BCD。设T在BCD面上的投影为E,延长ET至W, 使TW=a。显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与体积最大前题相矛盾了。所以TA 必垂直于BCD” 这个演绎步骤有个隐含的前提,那就是B,C,D的位置已然确定。也就是说,当TB,TC,TD位置已经固定的时候(其位置可以是任意的),要取得最大体积,TA只能垂直于BCD。其实这是个很显然的结论——直接根据V=S*h/3就知道了。这个过程没有任何问题。但接下来是问题的关键了——

“同理TB、TC、TD也必垂直于对应的底面。”

因为当证明TB也是必须垂直于ACD的时候,TA并不需要垂直于BCD(TC,TD也一样)。也就是说,由于轮换对称性,或者TA垂直于BCD,或者TB垂直于ACD,或者TC垂直于ABD,或者TD垂直于ABC。
这个反证法说明“四面体ABCD体积最大==>TA,TB,TC,TD其中至少一条直线必垂直于对面”。

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发表于 2013-11-21 20:42:35 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2013-11-21 18:27
先不管第一问结论是否正确,但证明过程是有问题的。
-----------------------------------引用原文------- ...

错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了,事实上这恰恰不是充分条件,反而是必要条件。
我换一种说法,你就容易看出其中的必要性。

a) 反设TA不垂直于BCD,那么此时ABCD必然不是最优四面体。
b) 反设TB不垂直于ACD,那么此时ABCD必然不是最优四面体。
c) 反设TC不垂直于ABD,那么此时ABCD必然不是最优四面体。
d) 反设TD不垂直于ABC,那么此时ABCD必然不是最优四面体。

上面四个论断的正确性应该是毋庸置疑的,那么它们合并起来实际上得到:
只要TA不垂直于BCD,或TB不垂直于ACD,或……,那么ABCD必然不是最优四面体。
该正确命题的逆否命题(等价命题)正是LZ所述的命题。
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