20多年了，我无力解出来的一道高中奥数题！

mathematica

(*二维情况,求面积最大情况*)
Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
a=6;
b=8;
c=7;
AB=Sqrt[a^2+b^2-2*a*b*Cos[ab]];
BC=Sqrt[c^2+b^2-2*c*b*Cos[bc]];
AC=Sqrt[a^2+c^2-2*a*c*Cos[ac]];
Print["计算周长,以及三个角角度"];
out=NMaximize[{AB+BC+AC,ab+bc+ac==2*Pi}, {ab,bc,ac}]
Print["计算三边长"];
{Lab,Lbc,Lac}=({AB,BC,AC}/.out[[2]])
BAP=ArcCos[(Lab^2+a^2-b^2)/(2*Lab*a)];CAP=ArcCos[(Lac^2+a^2-c^2)/(2*Lac*a)];
ABP=ArcCos[(Lab^2+b^2-a^2)/(2*Lab*b)];CBP=ArcCos[(Lbc^2+b^2-c^2)/(2*Lbc*b)];
Print["检测角度是否相等!"];
{BAP-CAP,ABP-CBP}*180/Pi
随机做了几个实验,发现确实是内心!

1. (*二维情况,求面积最大情况*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. a=6;
   
4. b=8;
   
5. c=7;
   
6. AB=Sqrt[a^2+b^2-2*a*b*Cos[ab]];
   
7. BC=Sqrt[c^2+b^2-2*c*b*Cos[bc]];
   
8. AC=Sqrt[a^2+c^2-2*a*c*Cos[ac]];
   
9. Print["计算周长,以及三个角角度"];
   
10. out=NMaximize[{AB+BC+AC,ab+bc+ac==2*Pi}, {ab,bc,ac}]
    
11. Print["计算三边长"];
    
12. {Lab,Lbc,Lac}=({AB,BC,AC}/.out[[2]])
    
13. BAP=ArcCos[(Lab^2+a^2-b^2)/(2*Lab*a)];CAP=ArcCos[(Lac^2+a^2-c^2)/(2*Lac*a)];
    
14. ABP=ArcCos[(Lab^2+b^2-a^2)/(2*Lab*b)];CBP=ArcCos[(Lbc^2+b^2-c^2)/(2*Lbc*b)];
    
15. Print["检测角度是否相等!"];
    
16. {BAP-CAP,ABP-CBP}*180/Pi
    

复制代码

wayne

哈哈,20多年的陈酿  还真不是盖的

蓉依山爸

希望此题能在这个论坛，得到一个完整的、完美的解答！！

wayne

但四面体体积最大时，T必然是垂心

我对 这句话比较好奇，感觉里面还有一些东西需要补充，@蓉依山爸

mathematica

蓉依山爸 发表于 2013-11-19 09:08
希望此题能在这个论坛，得到一个完整的、完美的解答！！

我觉得这个问题是很难的.你等不到回复的那一天的,因为你确实遇上了难题.
人不要被自己的好奇心所控制.释放掉自己过强的好奇心,你会活得更快乐!

蓉依山爸

mathematica 发表于 2013-11-21 09:52
我觉得这个问题是很难的.你等不到回复的那一天的,因为你确实遇上了难题.
人不要被自己的好奇心所控制.释 ...

①这题，原本只是一道高中奥数题。②这题的一问，已经用高中手段解决；这题的二问，也已确定能用高中手段解决。③若不肯思维，那么，掌握即使再多高级的数学工具，也是没用的。看来，各位都该练练思维了！

mathematica

蓉依山爸 发表于 2013-11-21 10:17
①这题，原本只是一道高中奥数题。②这题的一问，已经用高中手段解决；这题的二问，也已确定能用高中手段 ...

①②③各指什么呢?好像只有26楼与27楼出现了①②③,
反正我不知道①②③指的是哪些问题,你只有说明白了,
问题才能够解决,你不说明白,如何解决呢?
我觉得你有必要好好整理一下你的帖子的问题.

kastin

先不管第一问结论是否正确，但证明过程是有问题的。
-----------------------------------引用原文-----------------------------------------------------
当体积最大时，T是四面体ABCD的“垂心”。
　　证明：假设四面体ABCD体积最大时， T不是四面体的垂心。
　　若TA不垂直于BCD。设T在BCD面上的投影为E，延长ET至W, 使TW=a。
　　显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与体积最大前题相矛盾了。所以TA 必垂直于BCD
       同理TB、TC、TD也必垂直于对应的底面。于是， T是四面体的垂心。
--------------------------------------引用结束--------------------------------------------------

首先，“若TA不垂直于BCD。设T在BCD面上的投影为E，延长ET至W, 使TW=a。显然四面体WBCD的体积大于ABCD。这就与体积最大前题相矛盾了。所以TA 必垂直于BCD” 这个演绎步骤有个隐含的前提，那就是B,C,D的位置已然确定。也就是说，当TB,TC,TD位置已经固定的时候（其位置可以是任意的），要取得最大体积，TA只能垂直于BCD。其实这是个很显然的结论——直接根据V=S*h/3就知道了。这个过程没有任何问题。但接下来是问题的关键了——

“同理TB、TC、TD也必垂直于对应的底面。”

因为当证明TB也是必须垂直于ACD的时候，TA并不需要垂直于BCD（TC,TD也一样）。也就是说，由于轮换对称性，或者TA垂直于BCD，或者TB垂直于ACD，或者TC垂直于ABD，或者TD垂直于ABC。
这个反证法说明“四面体ABCD体积最大==>TA,TB,TC,TD其中至少一条直线必垂直于对面”。

Lwins_G

kastin 发表于 2013-11-21 18:27
先不管第一问结论是否正确，但证明过程是有问题的。
-----------------------------------引用原文------- ...

错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了，事实上这恰恰不是充分条件，反而是必要条件。
我换一种说法，你就容易看出其中的必要性。

a) 反设TA不垂直于BCD，那么此时ABCD必然不是最优四面体。
b) 反设TB不垂直于ACD，那么此时ABCD必然不是最优四面体。
c) 反设TC不垂直于ABD，那么此时ABCD必然不是最优四面体。
d) 反设TD不垂直于ABC，那么此时ABCD必然不是最优四面体。

上面四个论断的正确性应该是毋庸置疑的，那么它们合并起来实际上得到：
只要TA不垂直于BCD，或TB不垂直于ACD，或……，那么ABCD必然不是最优四面体。
该正确命题的逆否命题（等价命题）正是LZ所述的命题。

Lwins_G

kastin 发表于 2013-11-21 18:27
先不管第一问结论是否正确，但证明过程是有问题的。
-----------------------------------引用原文------- ...

错误。
LZ的描述应该还算是比较恰当了，事实上这恰恰不是充分条件，反而是必要条件。
我换一种说法，你就容易看出其中的必要性。

a) 反设TA不垂直于BCD，那么此时ABCD必然不是最优四面体。
b) 反设TB不垂直于ACD，那么此时ABCD必然不是最优四面体。
c) 反设TC不垂直于ABD，那么此时ABCD必然不是最优四面体。
d) 反设TD不垂直于ABC，那么此时ABCD必然不是最优四面体。

上面四个论断的正确性应该是毋庸置疑的，那么它们合并起来实际上得到：
只要TA不垂直于BCD，或TB不垂直于ACD，或……，那么ABCD必然不是最优四面体。
该正确命题的逆否命题（等价命题）正是LZ所述的命题。