一个代数不等式

cn8888

如果推广到n个非负数的情况下,
这n个数的和是1,求类似的上面的乘积的最大值与最小值又是个什么情况?

mathe

对于一般n个数，取最值情况必然是若干个取0（可以没有，但是相邻必然不同为0），余下根据拉格朗日必然有$1/(x_i-{x_{i-1}}/2)+1/(x_i-2x_{i+1})$对所有非零$x_i$相等。猜测取最值是几乎都是0和非零交叉，这个需要进一步分析

mathe

如果能够证明取最值时不会有三个连续项非零，而且两个连续项非零最多只出现一次，那么就可以得出上一楼的结论。不知道大家是否可以先给出一些数值结果

mathe

可能n为偶数时性质会差些，比如可以出现连续三项非零或两个连续两项非零？不然好像不能取到最小值

BeerRabbit

三角代换，比如a=[cos(a)*cos(b)]^2,b=[cos(a)*sin(b)]^2,c=[sin(a)]^2

wayne

看表达式发现可以有一个一般化的代换方法:  $a_1={4X+2Y+Z}/7,a_2=b={4Y+2Z+X}/7,a_3=c={4Z+2X+Y}/7$
如果将此题推广到n个数，仍然可以做代换, $a_j =1/{2^n-1} \sum_{i=0}^{n-1}2^i*x_{(i+j)%n}$ 这里的$x_k$均为非负数，$x$的下标$(i+j)%n$表示当$i+j$对$n$取模。

于是条件式变成：$\sum_{i=1}^{n}x_i =1$,   目标式子变成 $\prod_{i=1}^{n}x_i $

已知和一定，求积的最大值， 这个是均值不等式，在都相等时取得。
已知和一定，求积的最小值，部分 变量取边界值

mathe

对于n个非负数\(x_1+x_2+\dots+x_n=1\)的情况，记$x_0=x_n,x_{n+1}=x_1$,目标函数写成 \(\D T=\prod_{i=1}^n(2x_{i-1}-x_i)\)
于是偏导数为\(\dfrac{\partial T}{\partial x_i}=T\left(\dfrac{2}{2x_i-x_{i+1}}-\frac{1}{2x_{i-1}-x_i}\right)\)
根据拉格朗日乘数法，取极值时，所有这些偏导数相等，于是我们可以知道取极值时有所有的
\[h_i=\frac{2}{2x_i-x_{i+1}}-\frac{1}{2x_{i-1}-x_i}\]
相等，设为\(K\)。
同样，在边界条件时，部分$x_i$为0，而对于余下不为0的$x_i$,对应的$h_i$相等。
我们可以先看没有$x_i$为0的情况，对应全局的极值点，这时我们有对于所有的i
\[\frac{2}{2x_i-x_{i+1}}-\frac{1}{2x_{i-1}-x_i}=K\]
为简单起见，我们可以记 $Y_i=\frac{1}{2x_{i-1}-x_i}$
于是我们又
\[Y_1=2Y_2-K,\ Y_2=2Y_3-K,\ \dots,\ Y_{n+1}=2Y_n-K\]
也可以写成
\[Y_1-K=2(Y_2-K)=2^2(Y_3-K)=\dots=2^n(Y_{n+1}-K)\]
而$Y_{n+1}=Y_1$
由此我们得出$Y_{n+1}=Y_1=2^nY_{n+1}-(2^n-1)K$
于是得出$Y_1=Y_2=...=Y_n=K$
由此可以进一步得出\(x_1=x_2=\dots=x_n\),这个就是唯一全局极值点

mathe

现在查看边界情况，假设有$x_0=0,x_{t+1}=0,x_1>0,x_2>0,...,x_t>0$
于是
$Y_1-K=2(Y_2-K)=...=2^t(Y_{t+1}-K)=S$
$Y_i=2^{-(i-1)}S+K,2x_{i-1}-x_i=\frac{1}{2^{-(i-1)}S+K}$
$-x_1=2x_0-x_1=\frac{1}{S+K},2x_1-x_2=\frac{1}{S/2+K},x_1-{x_2}/2=\frac{1}{S+2K},...$
${x_{i-1}}/{2^{i-2}}-{x_i}/{2^{i-1}}=\frac{1}{S+2^{i-1}K}$
累加得到$0=-{x_{t+1}}/{2^t}=\sum_{i=1}^{t+1}\frac{1}{S+2^{i-1}K}$,于是这个是S需要满足的方程
显然对于给定的K,S只同参数t相关

mathe

现在我们可以非常容易进行数值计算了，比如对于n=4
首先，没有数为0的极值情况为$x_1=x_2=x_3=x_4=1/4$,得出$T=1/{4^4}$
如果有两个为0，设$x_2=x_4=0$,于是对于$x_1,x_3$都对应t=1,于是
$1/{S+K}+1/{S+2K}=0,S/K=-3/2$,$x_3=x_1=-1/{S+K}=2/K$(实际上这种情况可以不计算K,因为已经只到$x_1=x_3=1/2$,因为$S/K$只有唯一解。对应$T=1/4$
另外我们还需要考虑只有一个0的情况，设$x_4=0$,于是$S/K$满足方程
$1/{s+1}+1/{s+2}+1/{s+4}+1/{s+8}=0$,即方程$4s^3+45s^2+140s+120=0$
我们可以得出三个不同的解s,同样分别代入可以解得$x_1,x_2,x_3$
比如
$s=-1.433460080671990481991222841,x_1=2.307017519236618480036245864/K,x_2=0.5419168336818726459757413173/K,x_3=0.1522872033499090570030678703/K$
所以$x_1=0.7686928392267955512796575586,x_2= 0.1805654209533502544074329089,x_3=0.05074173981985419431290953248,x_4=0,T=-0.03285314638503593739502846792$
而对于$s=-3.129862778611298155378835966,x_1=0.2313532521484381930327607704,x_2=0.6674687608540770015442766741,x_3=0.1011779869974848054229625555$可以得出$T=0.01182693113453124167875597279$,而最后一个极值点绝对值很小

kastin

mathe 发表于 2014-6-28 13:09
显然$2a>=b,2b>=c,2c>=a$时最大值在$a=b=c$时取到$1/27$
而三个数不妨设a最小，余下情况只有$2a

两个负数的时候，a=0取最大值没错，为啥一个负数的时候也是a=0取最值呢？