一个代数不等式

kastin

`a,b,c \geqslant 0`，且`a+b+c=1`，求`(2a-b)(2b-c)(2c-a)`的最大值和最小值。

能否有巧解法？欢迎大家给出新奇的解法。

kastin

看到"由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问"这个帖子（http://bbs.emath.ac.cn/thread-2488-1-1.html），发现对于类似的多元轮换式的最值其实有一定内在限制的。我们这里也可以同样推广一下，找到临界值。

首先只考虑`n=3`（即三个变量）的情况，固定三个变量的和为`1`，将目标式中每一项内的系数`2`改为`k`，即：

`a,b,c \geqslant 0`，`a+b+c=1`，给定`k \geqslant 1`，求`P=(ka-b)(kb-c)(kc-a)`的最值。

由于条件和目标式是轮换式，故不是一般性可设`a\leqslant b \leqslant c`，此时`kc-a>0`已经提前满足. 根据mathe在2#的思路，该问题需要分情况讨论：
1) `ka-b>0`，`kb-c>0`，根据AG-GM不等式，`\D P \leqslant (\frac{k-1}{3})^3`，当且仅当`a=b=c`时等号成立。
2) `ka-b<0`，`kb-c<0`，此时`a=0`才能有最大值$$\begin{align*}P = (b-ka)(c-kb)(kc-a) &\leqslant b(c-kb+a)(kc-a+(k+1)a)\\ & = kb(1-(k+1)b)(1-b)=f(b)\end{align*}$$考虑`0\leqslant b <1`时，`f(b)`的极值情况。令`f'(b)=0`，求出两个根$$b_1=\frac{-\sqrt{k^2+k+1}+k+2}{3 (k+1)}, \quad b_2=\frac{\sqrt{k^2+k+1}+k+2}{3 (k+1)} $$分别代入`f''(b)`，有$$f''(b)|_{b=b_1}=-2 k \sqrt{k^2+k+1}<0(极大值位置)，\quad f''(b)|_{b=b_2}=2 k \sqrt{k^2+k+1}>0(极小值位置).$$考虑到`k \geqslant 1`时，`\D b_1\leqslant \frac{1}{6} \left(3-\sqrt{3}\right)<1`，`\D b_2\leqslant \frac{1}{6} \left(3+\sqrt{3}\right)<1 `，故极值点可取到。于是,
当`a=0`,`b=b_1`,`c=1-b_1`时，`P`的极大值为$$\frac{k \left(\sqrt{k^2+k+1}+1\right)^2}{(\sqrt{k^2+k+1}-k) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$或者分母有理化，化为$$
-\frac{k \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k-1\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+2 k+1\right)}{27 (k+1)^2}$$
当`a=0`,`b=b_2`,`c=1-b_2`时，P的极小值为$$\frac{\left(k \left(\sqrt{k^2+k+1}-1\right)\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}+k\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$或者分母有理化为$$-\frac{k \left(-\sqrt{k^2+k+1}+2 k+1\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k-1\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)}{27 (k+1)^2}$$
3) 仅有`ka-b<0`或者`kb-c<0`，此时`P<0`，`P`只能取得最小值，根据mathe推断，只有`ka-b<0`且`a=0`时`P`的绝对值最大，故才有最小值。分析过程与2)一模一样。

综上，`P`的最大值为$$\max\left\{\frac{k \left(\sqrt{k^2+k+1}+1\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}-k\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}, \frac{(k-1)^3}{27}\right\}$$最小值为$$\frac{\left(k \left(\sqrt{k^2+k+1}-1\right)\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}+k\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$易知`\D k\geqslant \frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2.618033988749895 `时，`P`的最大值为`\D \frac{(k-1)^3}{27}`，否则是前者。

很明显，1 楼中是在`k=2`时的特例，而`2<2.618`，所以
当`a=0`，`\D b=\frac{4-\sqrt{7}}{9}`，`\D c=\frac{5+\sqrt{7}}{9}`时，`P`的最大值为`\D \frac{4(7\sqrt{7}-10)}{243} (\approx 0.14025117987575533)`;
当`a=0`，`\D b=\frac{ 4+\sqrt{7}}{9}`，`\D c=\frac{5-\sqrt{7}}{9}`时，`P`的最小值为`\D -\frac{4}{243}\left(10+7 \sqrt{7}\right)(\approx -0.46946928687164013)`


若将`a,b,c`的和改成`S`，那么是否可以继续按照上述分析下去？进一步，如果`n=4,5,...`上述临界值也会随之改变，不知会有怎样的变动。目前对于`k=2，S=1，n>3`的情况，mathe跟帖有详述。

mathe

显然, 当$2a>=b,2b>=c,2c>=a$时最大值在$a=b=c$时取到$1/27$
而三个数不妨设a最小，余下情况只有$2a<b$的情况，分别需要讨论三个乘数中两个或一个负数情况，都显然a=0时取到最值，所以这时b=1-c
代入得到c的三次方程，在导数为0时取极值，正好可以得出全局最大和最小值。

cn8888

用拉格朗日乘子法可以得到结果,
定义域是三维空间的一个三角形,
然后依次对边界,中心区域使用拉格朗日乘子法.

cn8888

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
Print["最大值,精确解,数值化,数值求解"]
Maximize[{(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a),a+b+c==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
N@Maximize[{(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a),a+b+c==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
NMaximize[{(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a),a+b+c==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
Print["最小值,精确解,数值化,数值求解"]
Minimize[{(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a),a+b+c==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
N@Minimize[{(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a),a+b+c==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
NMinimize[{(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a),a+b+c==1&&a>=0&&b>=0&&c>=0},{a,b,c}]
运算结果是
During evaluation of In[91]:= 最大值,精确解,数值化,数值求解

Out[92]= {-(4/243) (10 - 7 Sqrt[7]), {a -> 1 + 1/9 (-4 + Sqrt[7]),
  b -> 0, c -> 1/9 (4 - Sqrt[7])}}

Out[93]= {0.140251, {a -> 0.849528, b -> 0., c -> 0.150472}}

Out[94]= {0.037037, {a -> 0.333333, b -> 0.333333, c -> 0.333333}}

During evaluation of In[91]:= 最小值,精确解,数值化,数值求解

Out[96]= {4/243 (-10 - 7 Sqrt[7]), {a -> 1 + 1/9 (-4 - Sqrt[7]),
  b -> 0, c -> 1/9 (4 + Sqrt[7])}}

Out[97]= {-0.469469, {a -> 0.261583, b -> 0., c -> 0.738417}}

Out[98]= {-0.469469, {a -> 0.261583, b -> 7.12924*10^-9,
  c -> 0.738417}}
运算结果很失望,mathematica的最大值居然不一样

cn8888

充分证明机器永远是机器

cn8888

使用lingo11求解,
max=(2*a-b)*(2*b-c)*(2*c-a);
a+b+c=1;
  Global optimal solution found.
  Objective value:                             0.1402512
  Objective bound:                             0.1402512
  Infeasibilities:                              0.000000
  Extended solver steps:                              47
  Total solver iterations:                          2136


                       Variable           Value        Reduced Cost
                              A       0.1504721            0.000000
                              B       0.8495279            0.000000
                              C        0.000000            2.367449

                            Row    Slack or Surplus      Dual Price
                              1       0.1402512            1.000000
                              2        0.000000           0.4207535
最小值
min=(2*a-b)*(2*b-c)*(2*c-a);
a+b+c=1;
  Global optimal solution found.
  Objective value:                            -0.4694693
  Objective bound:                            -0.4694700
  Infeasibilities:                              0.000000
  Extended solver steps:                              32
  Total solver iterations:                          2558


                       Variable           Value        Reduced Cost
                              A        0.000000            3.577326
                              B       0.7384168            0.000000
                              C       0.2615832          -0.2296517E-07

                            Row    Slack or Surplus      Dual Price
                              1      -0.4694693           -1.000000

cn8888

为了方便复制,
源代码贴出来

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*很显然定义域是三维空间的一个三角形,先用拉格朗日乘子法计算中心区域的可能的最值*)
   
3. fun=(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a)+x*(a+b+c-1)
   
4. fa=D[fun,a]
   
5. fb=D[fun,b]
   
6. fc=D[fun,c]
   
7. fx=D[fun,x]
   
8. sol1=Solve[{fa==0,fb==0,fc==0,fx==0},{a,b,c,x}]
   
9. Print["显示三角形内部的最值"]
   
10. sol11=fun/.sol1
    
11. Print["数值化"]
    
12. N@sol11
    
13. 
    
14. 
    
15. (*不失一般性,求出c=0的这条边上的最值,a=0,b=0的边是对称的*)
    
16. c=0
    
17. fun=(2*a-b)(2*b-c)(2*c-a)+x*(a+b+c-1)
    
18. fa=D[fun,a]
    
19. fb=D[fun,b]
    
20. fx=D[fun,x]
    
21. sol2=Solve[{fa==0,fb==0,fx==0},{a,b,x}]
    
22. Print["显示边上的最值"]
    
23. sol22=fun/.sol2
    
24. Print["数值化"]
    
25. N@sol22
    

复制代码

使用拉格朗日乘子法的最终求解结果
In[151]:= Clear["Global`*"];(*Clear all \
variables*)(*很显然定义域是三维空间的一个三角形,先用拉格朗日乘子法计算中心区域的可能的最值*)fun = (2*a -
     b) (2*b - c) (2*c - a) + x*(a + b + c - 1)
fa = D[fun, a]
fb = D[fun, b]
fc = D[fun, c]
fx = D[fun, x]
sol1 = Solve[{fa == 0, fb == 0, fc == 0, fx == 0}, {a, b, c, x}]
Print["显示三角形内部的最值"]
sol11 = fun /. sol1
Print["数值化"]
N@sol11


(*不失一般性,求出c=0的这条边上的最值,a=0,b=0的边是对称的*)
c = 0
fun = (2*a - b) (2*b - c) (2*c - a) + x*(a + b + c - 1)
fa = D[fun, a]
fb = D[fun, b]
fx = D[fun, x]
sol2 = Solve[{fa == 0, fb == 0, fx == 0}, {a, b, x}]
Print["显示边上的最值"]
sol22 = fun /. sol2
Print["数值化"]
N@sol22


Out[151]= (2 a - b) (2 b - c) (-a + 2 c) + (-1 + a + b + c) x

Out[152]= -(2 a - b) (2 b - c) + 2 (2 b - c) (-a + 2 c) + x

Out[153]= 2 (2 a - b) (-a + 2 c) - (2 b - c) (-a + 2 c) + x

Out[154]= 2 (2 a - b) (2 b - c) - (2 a - b) (-a + 2 c) + x

Out[155]= -1 + a + b + c

Out[156]= {{x -> -(1/9), b -> 1/3, c -> 1/3, a -> 1/3}, {x -> 0,
  b -> 1/7, c -> 2/7, a -> 4/7}, {x -> 0, b -> 2/7, c -> 4/7,
  a -> 1/7}, {x -> 0, b -> 4/7, c -> 1/7, a -> 2/7}}

During evaluation of In[151]:= 显示三角形内部的最值

Out[158]= {1/27, 0, 0, 0}

During evaluation of In[151]:= 数值化

Out[160]= {0.037037, 0., 0., 0.}

Out[161]= 0

Out[162]= -2 a (2 a - b) b + (-1 + a + b) x

Out[163]= -4 a b - 2 (2 a - b) b + x

Out[164]= -2 a (2 a - b) + 2 a b + x

Out[165]= -1 + a + b

Out[166]= {{x -> 4/81 (10 - 7 Sqrt[7]), a -> 1/9 (4 - Sqrt[7]),
  b -> 1/9 (5 + Sqrt[7])}, {x -> 4/81 (10 + 7 Sqrt[7]),
  a -> 1/9 (4 + Sqrt[7]), b -> 1/9 (5 - Sqrt[7])}}

During evaluation of In[151]:= 显示边上的最值

Out[168]= {-(2/
    81) (4 - Sqrt[7]) (5 + Sqrt[7]) (1/9 (-5 - Sqrt[7]) +
     2/9 (4 - Sqrt[7])) +
  4/81 (10 - 7 Sqrt[7]) (-1 + 1/9 (4 - Sqrt[7]) + 1/9 (5 + Sqrt[7])),
4/81 (10 + 7 Sqrt[7]) (-1 + 1/9 (5 - Sqrt[7]) + 1/9 (4 + Sqrt[7])) -
  2/81 (5 - Sqrt[7]) (4 + Sqrt[7]) (1/9 (-5 + Sqrt[7]) +
     2/9 (4 + Sqrt[7]))}

During evaluation of In[151]:= 数值化

Out[170]= {0.140251, -0.469469}

cn8888

我感觉这个是出题目的人给出的一个陷阱,然别人用拉格朗日乘子法搞,
但是最大值与最小值都在三角形的边界上得到

cn8888

陈计的一道代数不等式
http://bbs.emath.ac.cn/thread-164-1-1.html

这个也不是在对称的情况下求得最值的

cn8888

(2*a - b) (2*b - c) (2*c - d) (2*d - a)
在a b c d都非负以及a+b+c+d=1的情况下
的最值,谁能求一下???????????????