一个代数不等式

mathe

  A2=-8 A3=-12.67567074553428183711613790 , B3= 3.786781856645392948227249011      
A3,B3 满足方程$9x^2+80x-432=0$
A4=-15.46378268292782988622147974  
A4满足方程   $3969y^3+39168y^2-360368y-262144=0$

mathe

然后映射回本题，n=3要除27,所以最值是A3/27和B3/27.同样对于n=4,需要除4^4,n=5需要除5＾5

mathe

n=4最小-0.0604054...,最大1/4

mathe

n=5最小-0.00969416...最大0.03244971...

kastin

看到"由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问"这个帖子（http://bbs.emath.ac.cn/thread-2488-1-1.html），发现对于类似的多元轮换式的最值其实有一定内在限制的。我们这里也可以同样推广一下，找到临界值。

首先只考虑`n=3`（即三个变量）的情况，固定三个变量的和为`1`，将目标式中每一项内的系数`2`改为`k`，即：

`a,b,c \geqslant 0`，`a+b+c=1`，给定`k \geqslant 1`，求`P=(ka-b)(kb-c)(kc-a)`的最值。

由于条件和目标式是轮换式，故不是一般性可设`a\leqslant b \leqslant c`，此时`kc-a>0`已经提前满足. 根据mathe在2#的思路，该问题需要分情况讨论：
1) `ka-b>0`，`kb-c>0`，根据AG-GM不等式，`\D P \leqslant (\frac{k-1}{3})^3`，当且仅当`a=b=c`时等号成立。
2) `ka-b<0`，`kb-c<0`，此时`a=0`才能有最大值$$\begin{align*}P = (b-ka)(c-kb)(kc-a) &\leqslant b(c-kb+a)(kc-a+(k+1)a)\\ & = kb(1-(k+1)b)(1-b)=f(b)\end{align*}$$考虑`0\leqslant b <1`时，`f(b)`的极值情况。令`f'(b)=0`，求出两个根$$b_1=\frac{-\sqrt{k^2+k+1}+k+2}{3 (k+1)}, \quad b_2=\frac{\sqrt{k^2+k+1}+k+2}{3 (k+1)} $$分别代入`f''(b)`，有$$f''(b)|_{b=b_1}=-2 k \sqrt{k^2+k+1}<0(极大值位置)，\quad f''(b)|_{b=b_2}=2 k \sqrt{k^2+k+1}>0(极小值位置).$$考虑到`k \geqslant 1`时，`\D b_1\leqslant \frac{1}{6} \left(3-\sqrt{3}\right)<1`，`\D b_2\leqslant \frac{1}{6} \left(3+\sqrt{3}\right)<1 `，故极值点可取到。于是,
当`a=0`,`b=b_1`,`c=1-b_1`时，`P`的极大值为$$\frac{k \left(\sqrt{k^2+k+1}+1\right)^2}{(\sqrt{k^2+k+1}-k) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$或者分母有理化，化为$$
-\frac{k \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k-1\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+2 k+1\right)}{27 (k+1)^2}$$
当`a=0`,`b=b_2`,`c=1-b_2`时，P的极小值为$$\frac{\left(k \left(\sqrt{k^2+k+1}-1\right)\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}+k\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$或者分母有理化为$$-\frac{k \left(-\sqrt{k^2+k+1}+2 k+1\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k-1\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)}{27 (k+1)^2}$$
3) 仅有`ka-b<0`或者`kb-c<0`，此时`P<0`，`P`只能取得最小值，根据mathe推断，只有`ka-b<0`且`a=0`时`P`的绝对值最大，故才有最小值。分析过程与2)一模一样。

综上，`P`的最大值为$$\max\left\{\frac{k \left(\sqrt{k^2+k+1}+1\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}-k\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}, \frac{(k-1)^3}{27}\right\}$$最小值为$$\frac{\left(k \left(\sqrt{k^2+k+1}-1\right)\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}+k\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$易知`\D k\geqslant \frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2.618033988749895 `时，`P`的最大值为`\D \frac{(k-1)^3}{27}`，否则是前者。

很明显，1 楼中是在`k=2`时的特例，而`2<2.618`，所以
当`a=0`，`\D b=\frac{4-\sqrt{7}}{9}`，`\D c=\frac{5+\sqrt{7}}{9}`时，`P`的最大值为`\D \frac{4(7\sqrt{7}-10)}{243} (\approx 0.14025117987575533)`;
当`a=0`，`\D b=\frac{ 4+\sqrt{7}}{9}`，`\D c=\frac{5-\sqrt{7}}{9}`时，`P`的最小值为`\D -\frac{4}{243}\left(10+7 \sqrt{7}\right)(\approx -0.46946928687164013)`


若将`a,b,c`的和改成`S`，那么是否可以继续按照上述分析下去？进一步，如果`n=4,5,...`上述临界值也会随之改变，不知会有怎样的变动。目前对于`k=2，S=1，n>3`的情况，mathe跟帖有详述。

kastin

继续，若问题推广为
`a,b,c \geqslant 0`，`a+b+c=S`，这里`S>0`。给定`k \geqslant 1`，求`P=(ka-b)(kb-c)(kc-a)`的最值。

按照上述思路分析，发现结论与上面的形式一样，只是极值点的位置以及极值结果都扩大了`S`倍。
即，最大值是$$\max\left\{\frac{Sk \left(\sqrt{k^2+k+1}+1\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}-k\right) \left(\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}, \frac{S(k-1)^3}{27}\right\}$$最小值是$$\frac{S\left(k \left(\sqrt{k^2+k+1}-1\right)\right)^2}{\left(\sqrt{k^2+k+1}+k\right) \left(-\sqrt{k^2+k+1}+k+2\right)^3}$$

猜想对于`n=4,5,6,...`等情况，`S`的值也只是像上述方式作用。因此我们只需要考虑`k`的变化对于最值分布的影响。
对于`n=3`，`k`的临界值是`\D \frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx2.618033988749895`，那么
`n=4,5,6,...`时`k`的临界值会是多少呢？

mathe

k太大或太小会导致24#,25#结论不成立，也就是需要分析的At,Bt等增加，情况会负责很多。而对应的k的临界值会因为有多种最值模式可选而有多个临界值，特别对于大的n可能会很复杂

mathe

对于一般的k,同样如果t个连续不含0的数，其极值为${(s+1)(s+k)(s+k^2)…(s+k^t)}/{1*k*k^2*…*k^t}$在区间$-k^t<s<-1上$的极值，结果就很有意思了，好像还是比较容易分析的。

cn8888

mathe回复了那么多,没看出个头绪...

mathe

对于一般的参数k,我们可以限定n个数的和是$n/{(k-1)^2}$,（和的具体值不影响结论，但是这个和讨论比较方便）。于是对于一段长度为t全部非零的数（它们前后都是0），取极值时，必然有一个r满足方程，$\sum_{h=0}^t1/{r+k^h}=0$,而这时这t个数对总乘积的贡献为$\prod_{h=0}^t1/{1+r/{k^h}}$而且这t个数的和为${t+1}/{(k-1)^2}$