一个代数不等式

mathe

t=3可以参考19#中，我们分别需要分析最小根s=-6.686677140716711362629941194和最大根s=-1.433460080671990481991222841
其中最大根对应$x_1=2.307017519236618480036245864,x_2=2xx0.5419168336818726459757413173,x_3=4xx0.1522872033499090570030678703$
贡献乘积 -15.46378268292782988622147943
而最小根对应$x_1=0.1758496174927853528587683926,x_2=2xx0.3892204066415071978126099743,x_3=4xx0.7614273923060500628790029146$
贡献乘积-0.6805646414544865188038546640,显然不如最大根对应的情况，所以我们只需要考虑最大根s=-1.433460080671990481991222841

mathe

t=4对应$S/K$的方程$5s^4 + 124s^3 + 930s^2 + 2480s+1984=0$
最小根-13.73230171709633028252783006，最大根-1.425544834920353130038074106
最小根情况
$x_1=0.07854039451933875198522401326,x_2=0.3275503224879917636814898732,x_3=1.066103110402365254117027310,x_4=3.527806172590304230216258803$
贡献乘积0.05418510699333252037617812179(这个可以用一个t=1和一个t=2乘积贡献为负的部分替代）
最大根情况
$x_1= 2.349928651318642985553754527,x_2=1.218297519424779455160694324,x_3=0.8828682331717251216906905210,x_4=0.5489055960848524375948605796$
贡献乘积-16.98091409574632203491364107
所以t=4也只需要考虑最大根

mathe

另外我们知道t=u的情况对应u+1个数，所以比如t=4的情况5个数，我们可以和一个t=1和一个t=2乘积为正的情况互换
t=1贡献乘积-2,t=2正乘积贡献乘积3.786781856645392948227249015，两者一起贡献乘积绝对值小雨t=4的情况。所以如果同时存在t=1和t=2乘积为正的情况，可以用一个t=4替换
所以最值情况如果存在t=2乘积为正的情况，那么必然没有t=1情况

mathe

然后我们看如果t=1的情况有3个以上，3个t=1情况6个数贡献乘积-8,可以用两种不同类型的t=2情况替换有更大的乘积
所以我们得出t=1情况最多2个，t=3和t=4最多一个而且不能同时出现，t=2中正乘积情况最多一个，余下都是t=2负乘积的情况

mathe

另外t=2乘积为负情况和t=4情况可以用两个t=3替换，所以t=4情况也不能有t=2乘积为负的情况，也就是对充分大的n必然不会有t=4的情况出现

mathe

另外比较有意思的是如果将$x_1+x_2+...+x_n=1$的条件改成$x_1+x_2+...+x_n=n$,取极值时会正好有$K=1$.

wayne

我好像没有跟上mathe的思路。
感觉乘积取得最小值的时候，各个变量对应的取值是不唯一的、

mathe

可以说不唯一，但是也可以认为唯一。有于取最值是，必然有些数为0，将结果分成若干段，交换这些不同的段的位置，结果是完全相同的。

wayne

我用两种方法计算了下n=4的情况：

n=4;xx=x/@Range[n];Minimize[{Times@@xx,Total[xx]==1&&GreaterEqual@@Join[xx,{0}]},xx]

{0,{x[1]->49/64,x[2]->5/32,x[3]->5/64,x[4]->0}}

然后用数值方法计算了下：
{0., {x[1] -> 0.680249, x[2] -> 0.319751, x[3] -> 0., x[4] -> 0.}}

极值处，变量各值 好像不同呢

wayne

汗。有一个为0，另外的随便取值就是了。

我是按照我前面的 变量代换之后的形式 计算的。