一个代数不等式

mathe

只有2a-b小于0时，保持2b-c的值不变，减小a,同时增加b,c，目标函数绝对值必然变大

mathe

现在我们容易看出取极值时$Y_1,Y_2,...,Y_{t+1}$中总是前面连续若干项是负的，后面连续若干项是正的。
如果其中至少两项负的，至少两项正的，非常容易证明，对应的将序列
$0,x_1,x_2,...,x_t,0$替换成$0,x_1+x_t,0,x_2,x_3,...,x_{t-1},0$,总项数不变，目标函数符号也不变，但是绝对值必然变大。
也就是说，对于每个给定的t,对应的$S/K$的方程，我们总是只需要分析绝对值最大和最小的两个根（中间的根对应的极值必然不是最值）

注：就是\(x_1(x_2-2x_1)(2x_{t-1}-x_t)2x_t<4x_1x_2x_{t-1}x_t\)替换为\(4(x_1+x_t)^2x_2x_{t-1}\)

cn8888

我觉得这个问题很可能比较复杂.不是一般的人能解决的

mathe

现在我们再查看$Y_2>0,t>=5$的情况,我们可以尝试将
$0,x_1,x_2,...,x_t,0$替换成$0,x_1,x_2,..,x_{t-4},0,x_{t-3}+x_{t-2},0,x_{t-1}+x_t,0$
对于目标函数，相当于将\((2x_{t-4}-x_{t-3})(2x_{t-3}-x_{t-2})(2x_{t-2}-x_{t-1})(2x_{t-1}-x_t)2x_t<32x_{t-4}x_{t-3}x_{t-2}x_{t-1}x_t\)替换成\(8x_{t-4}(x_{t-3}+x{t-2})^2(x_{t-1}+x_t)^2\)
所以同样替换后同样会变大

mathe

同样如果$Y_t<0,t>=5$,我们可以将
$0,x_1,x_2,...,x_t,0$替换成$0,x_1+x_2,0,x_3+x_4,0,x_5,x_6,...,x_t,0$
对于目标函数T,相当于将
\(x_1(x2-2x_1)(x3-2x_2)(x4-2x_3)(x_5-2x_4)<x_1x_2x_3x_4x_5\)替换成\(4(x_1+x_2)^2(x_3+x_4)^2x_5\)
显然明显变大

mathe

同样我们现在查看如果有两段不同的长度不小3的段，比如
$0,x_1,x_2,...,x_t,0$,$0,y_1,y_2,...,y_s,0$，其中t,s都是3或4
同样它们对应的$Y_i$都是只有一项正或一项负，我们不妨假设第一个是$Y_2>0$,第二个是$Y_s<0$的情况，于是我们只需要替换成
$0,x_1,x_2,...,x_{t-2},0,x_{t-1}+x_t,0$和$0,y_1+y_2,0,y_3,...,y_s,0$
同样我们可以知道目标函数不变号，而且绝对值会变大。

mathe

由此我们知道取最值时，除了最多一段连续非零数可以3个或4个，余下的都只能是单个或两个

mathe

现在我们分别分析t=1,2,3,4四种情况S的取值和对应的$x_i$的取值，都可以用参数K表示
其中t=1时有$S=-3/2K,x_1=2/K$只有唯一解
而t=2时$S/K$是方程$3s^2+14s+14=0$的解，对应$s_1=-3.215250437021530196833871918,s_2= -1.451416229645136469832794749$
其中第一种情况$S=-3.215250437021530196833871918*K,x_1=0.4514162296451364698327947488/K,x_2=2.548583770354863530167205252/K$
第二种情况$S=-1.451416229645136469832794749*K,x_1=2.215250437021530196833871917/K,x_2=0.7847495629784698031661280788/K$

mathe

为方便起见，我们将上面序列中K直接去掉，于是t=2的情况用
0, 0.4514162296451364698327947488, 2.548583770354863530167205252,0
和
0, 2.215250437021530196833871917, 0.7847495629784698031661280788, 0
表示（实际上可能需要所有项除以一个常数K)
于是我们知道第一种对结果贡献乘积3.786781856645392948227249015,第二种贡献乘积 -12.67567074553428183711613785
所以容易看出，如果第一种情况有两个，我们可以将两个都按第二种比例分配, 那么总乘积变大，符号不变,也就是说t=2的第一种最多出现一次。

mathe

同样我们还需要分析t=3和t=4,估计类似估计只有一种情况需要考虑（也就是绝对值最小的根对应的情况，而绝对值大的应该是乘积为正，可以拆分成两个短序列）。而另外需要分析的是t=2的第二种情况如果出现3次以上，估计应该可以替换成两个t=1和一个t=4的情况（这个我还没有验算过）。如果这些分析都成立，最好就可以归结为只有一个t=3或t=4对应的子列，而t=2的第二种最多两个第一种最多一个，余下全部是t=1的情况。然后对于给定n计算机就非常容易穷举了