三角形与内外切双椭圆的心距问题

数学星空

已知三边长依次为\(x,y,z\)的\(\triangle ABC\)，即三角形在下面双椭圆中滑动．

外接于椭圆\(\frac{(x-x_0)^2}{m^2}+\frac{(y-y_0)^2}{n^2}=1\)，内切于椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\),求下面问题：

1.求三角形重心与外接椭圆中心\((x_0,y_0)\)的心距\(d_{11}\)及求三角形重心与内切椭圆中心(0，0)的心距\(d_1\)？

2.求三角形内心与外接椭圆中心\((x_0,y_0)\)的心距\(d_{21}\)及求三角形内心与内切椭圆中心(0，0)的心距\(d_2\)？

3.求三角形外心与外接椭圆中心\((x_0,y_0)\)的心距\(d_{31}\)及求三角形外心与内切椭圆中心(0，0)的心距\(d_3\)？

4.求三角形垂心与外接椭圆中心\((x_0,y_0)\)的心距\(d_{41}\)及求三角形垂心与内切椭圆中心(0，0)的心距\(d_4\)？

注：双椭圆内接三角形必须满足条件：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 48&fromuid=1455

我们设

\(\frac{x_0^2}{m^2}+\frac{y_0^2}{n^2}=R^2\)

\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=r^2\)

则：

\(-4m^2n^2(a^2b^2r^2-a^2b^2-a^2n^2-b^2m^2)-(-R^2m^2n^2+a^2n^2+b^2m^2+m^2n^2)^2=0\)