数字串的通项公式

王守恩

dlpg070 发表于 2019-9-26 11:57
只要子序列有规律,递推关系就一定存在
只不过因增加了条件,地推关系将复杂一点

谢谢 dlpg070！
人不能贪心！贪心是坏毛病，不好。就是改不了。
有这样一串数：可以有通项公式？
1, 5, 51, 719, 12993, 286565, 7463683, 224197055,
a(3)=1+5×10=51
a(4)=5+51×14=719
a(5)=51+719×18=12993
a(6)=719+12993×22=286565
a(7)=12993+286565×26=7463683
a(8)=286565+7463683×30=224197055
a(9)=7463683+224197055×34=7630163553
a(10)=224197055+7630163553×38=290170412069
a(11)=7630163553+290170412069×42=12194787470451

dlpg070

如果非要通项公式,有,太复杂了.
参见 "数列通项公式"词条"  二阶数列部分
下面是公式通项公式,试一试,对否?
国庆节快乐
\[a(\text{n$\_$})\text{:=}\frac{5 K_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) I_{n+\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)-K_{\frac{5}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) I_{n+\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)-5 I_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{n+\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)+I_{\frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{n+\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)}{I_{\frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)-I_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{\frac{5}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)}\]

能显示数学公式,了!!!

dlpg070

数列通项公式代码:
(*====数列通项公式  1,5,51,719,--- ============*)
Clear["Global`*"]

\(a(\text{n$\_$})\text{:=}\frac{5 K_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) I_{n+\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)-K_{\frac{5}{2}}\left(\frac{1}{2}\right) I_{n+\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right)-5 I_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{n+\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)+I_{\frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{n+\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)}{I_{\frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)-I_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}\right) K_{\frac{5}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)}\)


t=Table[{"n="<>ToString[n+1]<>" ",IntegerPart[N[a[n]]],"\n"},{n,0,10}](* 31 *)

计算结果:正确!!!
{{n=1 ,1,
},{n=2 ,5,
},{n=3 ,51,
},{n=4 ,719,
},{n=5 ,12993,
},{n=6 ,286565,
},{n=7 ,7463683,
},{n=8 ,224197055,
},{n=9 ,7630163553,
},{n=10 ,290170412069,
},{n=11 ,12194787470451,
}}

dlpg070

dlpg070 发表于 2019-9-29 19:40
数列通项公式代码:
(*====数列通项公式  1,5,51,719,--- ============*)
Clear["Global`*"]

关于通项公式中函数名的说明:

论坛   mma          说明
I --- BesselI --- (第一类修正贝塞尔函数)
K --- BeseelK --- (第二类修正贝塞尔函数)

通项公式是由mma求解得到的,
表明有递推公式求通项公式的可能性,
通项公式的复杂性
复杂的递推公式不一定能求出通项

王守恩

dlpg070 发表于 2019-9-30 09:14
关于通项公式中函数名的说明:

论坛   mma          说明

圆周上有 n 个等分点，顺时针方向依次选取四点连成的四边形中，四内角均大于 60° 的四边形有几个？

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-2 15:50
圆周上有 n 个等分点，顺时针方向依次选取四点连成的四边形中，四内角均大于 60° 的四边形有几个？

没有完全理解题意
最好有示意图
第一点固定吗?

王守恩

dlpg070 发表于 2019-9-30 09:14
关于通项公式中函数名的说明:

论坛   mma          说明

这样的数字串也没有通项公式吗？！
1, 2, 3, 4, 7, 9, 11, 13, 18, 21, 24, 27, 34, 38, 42, 46,
55, 60, 65, 70, 81, 87, 93, 99, 112, 119, 126, 133, ....
或者：
1, 2, 3, 4; 7, 9, 11, 13; 18, 21, 24, 27; 34, 38, 42, 46;
55, 60, 65, 70; 81, 87, 93, 99; 112, 119, 126, 133; ....

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-3 09:49
这样的数字串也没有通项公式吗？！
1, 2, 3, 4, 7, 9, 11, 13, 18, 21, 24, 27, 34, 38, 42, 46,
55 ...

有通项,复杂一点
测试一下如下代码

1. (*     ===============     *)
   
2. Clear["Global`*"]
   
3. a[n_]:= (Floor[n/4]+1)*(5* (Floor[n/4]+1)-3)/2 + (Floor[n/4]+1)*Mod[n,4];
   
4. Table[a[n],{n,0,30}]
   
5. 
   

复制代码

我的计算结果:
{1,2,3,4,7,9,11,13,18,21,24,27,34,38,42,46,55,60,65,70,81,87,93,99,112,119,126,133,148,156,164}

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-3 16:51
有通项,复杂一点
测试一下如下代码

谢谢 dlpg070！ 这样的数字串也没有通项公式吗？！
  2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 19, 27, 30, 33, 36, 39, 50, 54, 58, 62, 66,
80, 85, 90, 95, 100, 117, 123, 129, 135, 141, 161, 168, 175, 182, 189,..
或者：
  2, 3, 4, 5, 6; 11, 13, 15, 17, 19; 27, 30, 33, 36, 39; 50, 54, 58, 62, 66;
80, 85, 90, 95, 100; 117, 123, 129, 135, 141; 161, 168, 175, 182, 189;..

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-4 04:48
谢谢 dlpg070！ 这样的数字串也没有通项公式吗？！
  2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 19, 27, 30, 33,  ...

回复140# ,与 137#类似
通项公式在如下代码中

1. Clear["Global`*"]
   
2. a[n_]:= (Floor[n/5]+1)*(7* (Floor[n/5]+1)-3)/2 + (Floor[n/5]+1)*Mod[n,5];
   
3. Table[a[n],{n,0,40}]

复制代码

计算结果:
{2,3,4,5,6,11,13,15,17,19,27,30,33,36,39,50,54,58,62,66,80,85,90,95,100,117,123,129,135,141,161,168,175,182,189,212,220,228,236,244,270}