数字串的通项公式

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-10 07:11
a(n)+b(n)+c(n)能跑遍所有正整数吗？每个数恰好出现1次，不能多也不会少。为什么？

a(n)={1, 4, 07, ...

正整数数列拆分为3个子数列，根据OEIS又一个公式，
痛快不？

1. r=Sqrt[2];s=Sqrt[3];t=Sqrt[5];
   
2. c[n_]:=n+Floor[n*s/r]+Floor[n*t/r];
   
3. b[n_]:=n+Floor[n*r/s]+Floor[n*t/s];
   
4. a[n_]:=n+Floor[n*r/t]+Floor[n*s/t];
   
5. Table[a[n],{n,1,33}]  
   
6. Table[b[n],{n,1,33}]  
   
7. Table[c[n],{n,1,33}]  
   
8. 
   

复制代码

输出：
Out[133]= {1,4,6,9,11,13,16,19,20,23,25,28,31,32,35,38,40,42,45,47,50,52,54,57,59,62,64,66,69,71,74,76,78}
Out[134]= {2,5,8,12,15,17,21,24,27,30,33,36,39,43,46,49,51,55,58,61,65,67,70,73,77,80,83,86,89,92,96,99,101}
Out[135]= {3,7,10,14,18,22,26,29,34,37,41,44,48,53,56,60,63,68,72,75,79,82,87,90,94,98,102,106,109,113,117,121,125}

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-10 07:11
a(n)+b(n)+c(n)能跑遍所有正整数吗？每个数恰好出现1次，不能多也不会少。为什么？

a(n)={1, 4, 07, ...

参考资料：
Kimberling Clark的论文
Partitioning the positive integers with higher order recurrences
pdf 文件
OEIS中“正整数数列拆分为n个子数列”的若干数列都出自该作者
还有一些有趣的例子，不再列出

王守恩

王守恩 发表于 2019-10-11 14:39
旧题重提。
分子表示得数(F(n))，分母表示拆分的方法，譬如：n=10 可以有 9+1=8+2=7+3=6+4=5+5
\(F(0 ...

憋了好几天，还是不知道在电脑里如何输下面的公式。F(0)=1，F(1)=1
当n=偶数时，F(n)=F((n+0)/2)*F((n-0)/2)+F((n-2)/2)*F((n-2)/2)
当n=奇数时，F(n)=F((n+1)/2)*F((n-1)/2)+F((n-1)/2)*F((n-3)/2)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-13 09:00
憋了好几天，还是不知道在电脑里如何输下面的公式。F(0)=1，F(1)=1
当n=偶数时，F(n)=F((n+0)/2)*F((n-0 ...

代码如下：可以化简

1. Clear["Global`*"]
   
2. f[0] = 1;
   
3. f[1] = 1;
   
4. f[n_] := f[n] =
   
5.    If[EvenQ[n], f[(n + 0)/2]*f[(n - 0)/2] + f[(n - 2)/2]*f[(n - 2)/2],
   
6.     f[(n + 1)/2]*f[(n - 1)/2] + f[(n - 1)/2]*f[(n - 3)/2]];
   
7. Table[f[n], {n, 1, 20}]

复制代码

输出：
{1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946}

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-13 08:52
参考资料：
Kimberling Clark的论文
Partitioning the positive integers with higher order recurrenc ...

“杨辉三角”的另一种诠释。
1/1×1/1×1/1×1/1×01/1×01/1×01/1×...=1, 1, 01, 01, 001, 001, 001, ...
1/1×2/1×3/2×4/3×05/4×06/5×07/6×...=1, 2, 03, 04, 005, 006, 007, ...
1/1×3/1×4/2×5/3×06/4×07/5×08/6×...=1, 3, 06, 10, 015, 021, 028, ...
1/1×4/1×5/2×6/3×07/4×08/5×09/6×...=1, 4, 10, 20, 035, 056, 084, ...
1/1×5/1×6/2×7/3×08/4×09/5×10/6×...=1, 5, 15, 35, 070, 126, 210, ...
1/1×6/1×7/2×8/3×09/4×10/5×11/6×...=1, 6, 21, 56, 126, 252, 462, ...
1/1×7/1×8/2×9/3×10/4×11/5×12/6×...=1, 7, 28, 84, 210, 462, 924, ...

王守恩

王守恩 发表于 2019-10-24 12:49
“杨辉三角”的另一种诠释。
1/1×1/1×1/1×1/1×01/1×01/1×01/1×...=1, 1, 01, 01, 001, 001, 001, ...

不同的数字串摆在一起，变化就出来了。

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,
742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700,
1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, ............
a(n)=2/2×6/3×10/4×14/5×18/6×22/7×26/8×30/9×.....

1, 3, 10, 35, 126, 462, 1716, 6435, 24310, 92378, 352716, 1352078,
5200300, 20058300, 77558760, 300540195, 1166803110, 4537567650,
17672631900, 68923264410, 269128937220, 1052049481860, ..............
a(n)=6/2×10/3×14/4×18/5×22/6×26/7×30/8×.....
       
1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, 576, 1280, 2816, 6144, 13312, 28672, 61440,
131072, 278528, 589824, 1245184, 2621440, 5505024, 11534336, 24117248,
50331648, 104857600, 218103808, 452984832, 939524096, 1946157056, ............
a(n)=1/1×6/2×8/3×10/4×12/5×14/6×16/7×18/8×20/9×.....

1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, 2304, 5120, 11264, 24576, 53248, 114688,
245760, 524288, 1114112, 2359296, 4980736, 10485760, 22020096, 46137344,
96468992, 201326592, 419430400, 872415232, 1811939328, 3758096384,...........
a(n)=1/1×4/1×6/2×8/3×10/4×12/5×14/6×16/7×18/8×20/9×.....

1, 5, 20, 70, 224, 672, 1920, 5280, 14080, 36608, 93184, 232960, 573440, 1392640,
3342336, 7938048, 18677760, 43581440, 100925440, 232128512, 530579456, 1205862400,
2726297600, 6134169600, 13740539904, 30651973632, 68115496960, 150827171840, ..............
a(n)=1/1×10/2×12/3×14/4×16/5×18/6×20/7×22/8×24/9×.....
       
1，6，32，160，768，3584，16384，73728，327680，1441792，6291456，27262976，
117440512，503316480，2147483648，9126805504，38654705664，163208757248，687194767360，
2886218022912，12094627905536，50577534877696，211106232532992，879609302220800，..................
a(n)=1/1×12/2×16/3×20/4×24/5×28/6×32/7×36/8×40/9×.....

1, 4, 15, 54, 189, 648, 2187, 7290, 24057, 78732, 255879, 826686, 2657205, 8503056,
27103491, 86093442, 272629233, 860934420, 2711943423, 8523250758, 26732013741,
83682825624, 261508830075, 815907549834, 2541865828329, 7908027021468, ...........
a(n)=1/1×12/3×15/4×18/5×21/6×24/7×27/8×30/9×.....

1, 5, 24, 112, 512, 2304, 10240, 45056, 196608, 851968, 3670016, 15728640,
67108864,285212672, 1207959552, 5100273664, 21474836480, 90194313216,
377957122048, 1580547964928, 6597069766656, 27487790694400,..................
a(n)=1/1×20/4×24/5×28/6×32/7×36/8×40/9×.....

1, 6, 35, 200, 1125, 6250, 34375, 187500, 1015625, 5468750, 29296875, 156250000,
830078125, 4394531250, 23193359375, 122070312500, 640869140625, 3356933593750,
17547607421875, 91552734375000, 476837158203125, 2479553222656250, ..................
a(n)=1/1×30/5×35/6×40/7×45/8×50/9×.....

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-13 08:52
参考资料：
Kimberling Clark的论文
Partitioning the positive integers with higher order recurrenc ...

成对连接圆周上 2n 个等分点使弦互不相交，有多少种不同的连接方法？  
答案是 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,
2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,..............

通过旋转,翻转,旋转加翻转,得到的图形重合时只能算同一种连线方法。
前面的几个答案是 1，1，2，3，6，11，23，47，102，214，......
后面的答案可以有吗？

王守恩

王守恩 发表于 2019-10-26 08:31
成对连接圆周上 2n 个等分点使弦互不相交，有多少种不同的连接方法？  
答案是 1, 2, 5, 14, 42, 132, 4 ...

有这样一串数：
3,5,9,11,21,23,27,29,57,59,63,65,75,77,81,83,165,167,171,173,183,185,189,191,
219,221,225,227,237,239,243,245,489,491,495,497,507,509,513,515,543,.............
每次取2个数(允许重复取)，譬如：
03+03=6
03+05=8
05+05=10
03+09=12
05+09=14
05+11=16
09+09=18
09+11=20
相加的和可以是 2n 的数。

改一下：每次取2个数(允许重复取)相加的和可以是 3n 的数。

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-26 08:31
成对连接圆周上 2n 个等分点使弦互不相交，有多少种不同的连接方法？  
答案是 1, 2, 5, 14, 42, 132, 4 ...

学研发论坛有2个主题帖讨论圆周上2n个点的连线问题
1 TSC999:[提问] 成对连接圆周上2n个点使弦互不相交，有多少种不同的连接方法？
2 markfang2050： [讨论] 圆周20个点连线问题  (1的特例)
                       2n 2  4  6   8  10   12   14    16   18      20
大多数认为答案是 catlan数 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796
王守恩提出去重复， 答案是 1，1，2， 3，6，  11， 23，47，   102，  214
dlpg070利用图形检验答案是 1，1，3？， ---

答案与catalan数无关,王守恩的质疑有道理，数值待验证
TSC999的图形明显有错
我的图片
2n=2: 2点不相交弦.png
2n=4: 4点不相交弦.png
2n=6: 6点不相交弦.png  原第2图和第3图重复，已经改正


请查找我的错误，如果认可我的结果，我将计算到2n=20

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-28 11:06
学研发论坛有2个主题帖讨论圆周上2n个点的连线问题
1 TSC999:[提问] 成对连接圆周上2n个点使弦互不相 ...

这是一条长不大的数字串。

\(\D S_{n}=\frac{\cos\big((n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor)\ \pi\big)\big(\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2+\lfloor\sqrt{n}\rfloor-n-1/2\big)+\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1/2}{2}\)

  Sn=0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 0, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 0,
        5, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 5, 0, 6, 1, 5, 2, 4, 3, 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7,
        1, 6, 2, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 2, 6, 1, 7, 0, 8, 1, 7, 2, 6, 3, 5, 4, 4, 5, 3,
        6, 2, 7, 1, 8, 0, 9, 1, 8, 2, 7, 3, 6, 4, 5, 5, 4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 0,