数字串的通项公式

dlpg070

王守恩 发表于 2020-3-25 09:43
这样的通项也是挺好的。

\(\D a(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{2^k}\)

OEIS已经收录:
A000629                Number of necklaces of partitions of n+1 labeled beads.
经典问题 ,可以学习Mathematica 代码

1.        
   
2. a[ 0 ] = 1; a[ n_ ] := (a[ n ] = 1 + Sum[ Binomial[ n, k ] a[ n-k ], {k, 1, n} ])
   
3. 
   
4. Table[ PolyLog[n, 1/2], {n, 0, -18, -1}] (* Robert G. Wilson v, Aug 05 2010 *)
   
5. 
   
6. a[ n_] := If[ n<0, 0, PolyLog[ -n, 1/2]]; (* Michael Somos, Mar 07 2011 *)
   
7. 
   
8. Table[Sum[(-1)^(n-k) StirlingS2[n, k]k! 2^k, {k, 0, n}], {n, 0, 20}] (* Harvey P. Dale, Oct 21 2011 *)
   
9. 
   
10. Join[{1}, Rest[t=30; Range[0, t]! CoefficientList[Series[2/(2 - Exp[x]), {x, 0, t}], x]]] (* Vincenzo Librandi, Jan 02 2016 *)

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dlpg070

dlpg070 发表于 2020-3-25 14:51
OEIS已经收录:
A000629                Number of necklaces of partitions of n+1 labeled beads.
经典问题 ,可以 ...

那段代码没错,实际包含2个不同的代码,结果是一样的,是学习mathematica的好机会
我运行结果如下,供参考:
第一段代码的输出
{1,2,6,26,150,1082,9366,94586,1091670,14174522,204495126,3245265146,56183135190,1053716696762,21282685940886,460566381955706,10631309363962710,260741534058271802,6771069326513690646,185603174638656822266,5355375592488768406230}
第二段代码的输出
{1,2,6,26,150,1082,9366,94586,1091670,14174522,204495126,3245265146,56183135190,1053716696762,21282685940886,460566381955706,10631309363962710,260741534058271802,6771069326513690646,185603174638656822266,5355375592488768406230,162249649997008147763642,5149688839606380769088406,170876902673491418589160826,5916558242148290945301297750,213394730876951551651166996282,8004451519688336984972255078166,311795527837243246498552452507386,12595124129900132067036747870669270,526956770526047380041786658089153722,22807137588023760967484928392369803926}

王守恩

dlpg070 发表于 2020-3-27 14:32
那段代码没错,实际包含2个不同的代码,结果是一样的,是学习mathematica的好机会
我运行结果如下,供参考:
...

不是挺方便吗？
LinearRecurrence[{6, -7}, {0, 1}, 18]
{0, 1, 6, 29, 132, 589, 2610, 11537, 50952, 224953, 993054, 4383653, \
19350540, 85417669, 377052234, 1664389721, 7346972688, 32431108081}
不也挺方便吗？
LinearRecurrence[{6, -6}, {0, 1}, 18]
{0, 1, 6, 30, 144, 684, 3240, 15336, 72576, 343440, 1625184, 7690464, \
36391680, 172207296, 814893696, 3856118400, 18247348224, 86347378944}

王守恩

王守恩 发表于 2020-3-31 18:41
不是挺方便吗？
LinearRecurrence[{6, -7}, {0, 1}, 18]
{0, 1, 6, 29, 132, 589, 2610, 11537, 50952, ...

     再来一串！     详见《[讨论] 扔鸡蛋问题》
LinearRecurrence[{4, -6, 4, -1}, {1, 3, 7, 14}, 30]
{1, 3, 7, 14, 25, 41, 63, 92, 129, 175, 231, 298, 377, 469, 575, 696, 833, 987, 1159,
1350, 1561, 1793, 2047, 2324, 2625, 2951, 3303, 3682, 4089, 4525, .............

dlpg070

王守恩 发表于 2020-4-3 18:14
再来一串！     详见《[讨论] 扔鸡蛋问题》
LinearRecurrence[{4, -6, 4, -1}, {1, 3, 7, 14}, 30] ...

OEIS:
A004006                a(n) = C(n,1) + C(n,2) + C(n,3), or n*(n^2 + 5)/6.

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-4-3 20:36
OEIS:
A004006                a(n) = C(n,1) + C(n,2) + C(n,3), or n*(n^2 + 5)/6.

在《阿里巴巴数学竞赛预选赛第二轮》造了一串数，你已经看到错了
毒酒滴冻鸭的分析水平很高,
这是个有趣的经典问题,OEIS有深入讨论和通项
A008778                a(n) = (n+1)*(n^2 +8*n +6)/6. Number of n-dimensional partitions of 4. Number of terms in 4th derivative of a function composed with itself n times.       

1, 5, 13, 26, 45, 71, 105, 148, 201, 265, 341, 430, 533, 651, 785, 936, 1105, 1293, 1501, 1730, 1981, 2255, 2553, 2876, 3225, 3601, 4005, 4438, 4901, 5395, 5921, 6480, 7073, 7701, 8365, 9066, 9805, 10583, 11401, 12260, 13161, 14105, 15093, 16126, 17205, 18331

列出许多参考资料,和 mathematica 代码 可以深入研究学习,

1. Clear["Global`*"];
   
2. Table[(n+1)*(n^2+8*n+6)/6, {n, 0, 50}] (* Vladimir Joseph Stephan Orlovsky, Oct 13 2009, modified by G. C. Greubel, Sep 11 2019 *)
   
3. 
   
4. LinearRecurrence[{4, -6, 4, -1}, {1, 5, 13, 26}, 51] (* G. C. Greubel, Sep 11 2019 *)
   
5. 
   

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王守恩

dlpg070 发表于 2020-4-4 07:45
在《阿里巴巴数学竞赛预选赛第二轮》造了一串数，你已经看到错了
毒酒滴冻鸭的分析水平很高,
这是个有 ...

找数字串挺有用的！(高考模拟题)
LinearRecurrence[{3, -3, 1}, {5, 8, 13}, 29]
{5, 8, 13, 20, 29, 40, 53, 68, 85, 104, 125, 148, 173, 200, 229, 260,
293, 328, 365, 404, 445, 488, 533, 580, 629, 680, 733, 788, 845, .....}

王守恩

dlpg070 发表于 2020-4-4 07:45
在《阿里巴巴数学竞赛预选赛第二轮》造了一串数，你已经看到错了
毒酒滴冻鸭的分析水平很高,
这是个有 ...

是这样吗(一个幼稚的问题)？ 10进制正整数
数码1,2,3,4,5,6,7,8,9在1位数中各出现1次
数码1,2,3,4,5,6,7,8,9在2位数中各出现19次
数码1,2,3,4,5,6,7,8,9在3位数中各出现280次
数码1,2,3,4,5,6,7,8,9在4位数中各出现3700次
数码1,2,3,4,5,6,7,8,9在5位数中各出现46000次
\(\D a(n)=(9n+10)*10^{n-1}\)
1, 19, 280, 3700, 46000, 550000, 6400000, 73000000,
820000000, 9100000000, 9100000000, 100000000000,

王守恩

王守恩 发表于 2020-5-5 18:09
是这样吗(一个幼稚的问题)？ 10进制正整数
数码1,2,3,4,5,6,7,8,9在1位数中各出现1次
数码1,2,3,4,5,6, ...

  是这样的吗？

   10进制正整数
数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 在 1 位数中各出现 1 次
数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 在 2 位数中各出现 19 次
数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 在 3 位数中各出现 280 次
数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 在 4 位数中各出现 3700 次
数码 1,2,3,4,5,6,7,8,9 在 5 位数中各出现 46000 次
1, 19, 280, 3700, 46000, 550000, 6400000, 73000000,
820000000, 9100000000, 9100000000, 100000000000,

  10进制正整数
数码 0 在 1 位数中出现 0 次
数码 0 在 2 位数中出现 9 次
数码 0 在 3 位数中出现 180 次
数码 0 在 4 位数中出现 2700 次
数码 0 在 5 位数中出现 36000 次
0, 9, 180, 2700, 36000, 450000, 5400000, 63000000,
720000000, 8100000000, 90000000000, 990000000000,

王守恩

王守恩 发表于 2020-5-6 13:34
是这样的吗？

   10进制正整数

接189#，不就是给下面的数字串找个通项吗！？
S(1)=1
S(2)=1
S(3)=1
S(4)=1
S(5)=1
S(6)=1
S(7)=1
S(8)=1
S(9)=1
S(10)=1
S(11)=4
S(12)=2
S(13)=2
S(14)=2
S(15)=2
S(16)=2
S(17)=2
S(18)=2
S(19)=2
S(20)=2
S(21)=13
S(22)=6
S(23)=3
S(24)=3
S(25)=3
S(26)=3
S(27)=3
S(28)=3
S(29)=3
S(30)=3
S(31)=14
S(32)=14
S(33)=8
S(34)=4
S(35)=4
S(36)=4
S(37)=4
S(38)=4
S(39)=4
S(40)=4
S(41)=15
S(42)=15
S(43)=15
S(44)=10
S(45)=5
S(46)=5
S(47)=5
S(48)=5
S(49)=5
S(50)=5
S(51)=16
S(52)=16
S(53)=16
S(54)=16
S(55)=12
S(56)=6
S(57)=6
S(58)=6
S(59)=6
S(60)=6
S(61)=17
S(62)=17
S(63)=17
S(64)=17
S(65)=17
S(66)=14
S(67)=7
S(68)=7
S(69)=7
S(70)=7
S(71)=18
S(72)=18
S(73)=18
S(74)=18
S(75)=18
S(76)=18
S(77)=16
S(78)=8
S(79)=8
S(80)=8
S(81)=19
S(82)=19
S(83)=19
S(84)=19
S(85)=19
S(86)=19
S(87)=19
S(88)=18
S(89)=9
S(90)=9
S(91)=20
S(92)=20
S(93)=20
S(94)=20
S(95)=20
S(96)=20
S(97)=20
S(98)=20
S(99)=20
S(100)=11