数字串的通项公式

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-2 09:22
A006010          2020 年 7 月 8 日

    通项公式可以这样。 \(\D a(n)=\sum_{i=1}^{n}\ \sum_{j=1}^ ...

  将n颗白球和n颗黑球, 全部放入2个红色箱子和2个蓝色箱子, 有a(n+2)种不同的放法。

\(\D  a(n)=\sum_{i=1}^{n}\ \sum_{j=1}^{n}\ \bigg\lceil\frac{i*j}{2}\bigg\rceil*\bigg\lceil\frac{(n-j)(n-i)\ }{2}\bigg\rceil\)

  0, 1, 6, 34, 118, 349, 856, 1896, 3800, 7125, 12550, 21106, 34006, 52969, 79968,
117664, 169056, 238041, 328950, 447250, 598950, 791461, 1032856, 1332904,...

    就这么简单的一串数，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-2 10:14
将n颗白球和n颗黑球, 全部放入2个红色箱子和2个蓝色箱子, 有a(n+2)种不同的放法。

\(\D  a(n)=\sum_ ...

                            A000041   

  a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\displaystyle\prod_{i=1}^n\frac{1}{1-x^i\ },(x,0,n)\bigg],x\bigg]\)         这通项公式还是简炼些。

{1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575,
1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, 6842, 8349, 10143, 12310, 14883, 17977, 21637, 26015, 31185, 37338,
44583, 53174, 63261, 75175, 89134, 105558, 124754, 147273, 173525, 204226, 239943, 281589, 329931, .....

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-6 10:38
A000041   

  a(n)=CoefficientList\(\bigg[\)Series\(\bigg[\)\(\displ ...

将数字 1～2n 填入 2×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\)
{1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845,

将数字 1～3n 填入 3×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{2(3n)!}{n!(n+1)!(n+2)!}\)
{1, 5, 42, 462, 6006, 87516, 1385670, 23371634, 414315330, 7646001090, 145862174640,

将数字 1～4n 填入 4×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{12(4n)!}{n!(n+1)!(n+2)!(n+3)!}\)
{1, 14, 462, 24024, 1662804, 140229804, 13672405890, 1489877926680, 177295473274920,
.......

将数字 1～m*n 填入 m×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？

\(\D a_{m}(n)=\frac{BarnesG(m + 1)(m\ n)!\ \ \ }{\D\prod_{i=0}^{m-1}\ (n + i)!}\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-17 14:12
将数字 1～2n 填入 2×n 方格中，要求左方小于右方，上方小于下方，有几种填入法？
\(a(n)=\frac{(2n)!} ...

a(n)=Maximize\(\D\big[\ \sum_{k=1}^n\ \big\lceil\sin(k\ \theta)\ \big\rceil\ \big]\)     n=1,2,3,4,....
a(n)=1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10,10,11,12,12,13,14,15,15,...
特别地，把重复的数拉出来，有什么规律？
a(n)=4,7,10,12,15,18,20,23,25,28,31,33,36,39,41,44,47,49,52,54,57,60,62,...

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-21 10:29
a(n)=Maximize\(\D\big[\ \sum_{k=1}^n\ \big\lceil\sin(k\ \theta)\ \big\rceil\ \big]\)     n=1,2,3,4 ...

              A274250    (2016 年 6 月 16 日)     Table[Length[PowersRepresentations[n^2, 3, 1]], {n, 0, 60}]
                       
1, 1, 4, 12, 30, 65, 127, 225, 374, 588, 884, 1281, 1801, 2465, 3300, 4332, 5590, 7105, 8911, 11041, 13534, 16428,
19764, 23585, 27937, 32865, 38420, 44652, 51614, 59361, 67951, 77441, 87894, 99372, 111940, 125665, 140617,
156865, 174484, 193548, 214134, 236321, 260191, 285825, 313310, 342732, 374180, 407745, 443521, 481601,
522084, 565068, 610654, 658945, 710047, 764065, 821110, 881292, 944724, 1011521, 1081801, ................

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-24 12:53
A274250    (2016 年 6 月 16 日)     Table[Length], {n, 0, 60}]
                       
1, 1, 4, 12, 3 ...

      不就是缺个通项公式吗？！   A156623        验证，2018 年 8 月 3 日

                      NestList[Ceiling[3 #/2] &, 1, 50]       

{1, 2, 3, 5, 8, 12, 18, 27, 41, 62, 93, 140, 210, 315, 473, 710, 1065, 1598, 2397, 3596, 5394, 8091,
12137,  18206,  27309,  40964,  61446,  92169,  138254, 207381, 311072, 466608, 699912, 1049868,
1574802, 2362203, 3543305, 5314958, 7972437, 11958656, 17937984, 26906976, 40360464, 60540696,
90811044, 136216566, 204324849, 306487274, 459730911, 689596367, 1034394551, 1551591827, ........}
  

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-10 08:48
不就是缺个通项公式吗？！   A156623        验证，2018 年 8 月 3 日

                      NestList ...

就这么个数字串，可惜在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。

NestList[Floor[5 #/3 + 1] &, 3, 30]

{3, 6, 11, 19, 32, 54, 91, 152, 254, 424, 707, 1179, 1966, 3277, 5462, 9104, 15174, 25291, 42152, 70254,
117091, 195152, 325254, 542091, 903486, 1505811, 2509686, 4182811, 6971352, 11618921, 19364869,...}

题目：从 1, 2, 3, …., n 中任取 k 个数，使得其中必有两数 x, y 满足 \(1\lt\frac{x}{y}\leqslant\frac{5}{3}\)，求 k 的最小值。

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-11 07:39
就这么个数字串，可惜在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。

NestList[Floor[5 #/3 + 1] &, 3,  ...

         A001541          不就是方程  \(2x^2=k^2+2\) 的解(x)吗？ 我们要的是方法！       
{1, 3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114243, 665857, 3880899, 22619537, 131836323, 768398401, 4478554083,
26102926097,152139002499, 886731088897, 5168247530883, 30122754096401, 175568277047523, 1023286908188737,
5964153172084899, 34761632124320657, 202605639573839043, 1180872205318713601, 6882627592338442563,.......

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-28 09:16
A001541          不就是方程  \(2x^2=k^2+2\) 的解(x)吗？ 我们要的是方法！       
{1, 3, 17, 99, 577, 3 ...

有这样一串数：可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。

{1, 2, 3, 4, 7, 12, 20, 33, 55, 90, 148, 245, 403, 665, 1097, 1808, 2981, 4915, 8103,
  13360, 22026, 36316, 59874, 98716, 162755, 268337, 442413, 729416, 1202604,
  1982759, 3269017, 5389698, 8886111, 14650719, 24154953, 39824784, .......}

通项公式是这样：\(n=0, 1, 2, 3, 4, .....\)

\(\D\lim_{x\to 0}[\sqrt[x^2]{\cos(\sqrt{n}\ i\ x)}\ ]=\lim_{x\to 0}[\sqrt[x^2]{\cosh(\sqrt{n}\ x)}\ ]=\lim_{x\to\infty}[(\cos\frac{\sqrt{n}\ i}{x})^{x^2}]=\lim_{x\to\infty}[(\cosh\frac{\sqrt{n}}{x})^{x^2}]=[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\frac{n}{2})^k}{k!}]=[\exp\frac{n}{2}]\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-12-31 13:06
有这样一串数：可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。

{1, 2, 3, 4, 7, 12, 20, 33, 55, 90 ...

2, 3, 5, 8, 12, 19, 30, 48, 76, 121, 192, 305, 484, 768, 1219, 1935, 3072, 4876, 7741, 12288,
19506, 30964, 49152, 78024, 123855, 196608, 312096, 495421, 786432, 1248383, 1981684, ...

a(n)=Round[3*4^((n - 1)/3)]=Minimize[{2^a+4^b, a+b=n, a>0, b>0}, {a, b}]