数字串的通项公式

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-12 15:20
正整数数列拆分为3个子数列，根据王守恩提供公式

输出：

从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 5 个相加，其和恰好是 5 的倍数，有多少种取法？

\(\D a(n)=\bigg\lfloor\frac{n!}{5*5!(n-5)!}\bigg\rfloor+\bigg\lfloor\frac{n}{5}\bigg\rfloor-\bigg\lfloor\frac{n}{5^2}\bigg\rfloor\)

{1, 2, 5, 12, 26, 52, 94, 160, 259, 402, 603, 876, 1240, 1716, 2328,
3104, 4073, 5270, 6733, 8504, 10630, 13160, 16150, 19660, 23755,
28506, 33987, 40280, 47472, 55656, 64932, 75404, 87185, 100394,
115157, 131608, 149886, 170140, 192526, 217208, 244359, 274158,
306795, 342468, 381384, 423760, 469820, 519800, 573945, 632510,
695761, 763972, 837430, 916432, 1001286, 1092312}

特别地 \( a(500)=51048937600\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-27 21:02
从 1 至 n 这  n  个正整数中每次取出 5 个相加，其和恰好是 5 的倍数，有多少种取法？

\(\D a(n)=\bi ...

1，已知三角形每条边的边长皆为整数，且周界为2015。求三角形边长的可能组合的数目.
{0, 0, 1, 0, 3, 1, 6, 3, 10, 6, 15, 10, 21, 15, 28, 21, 36, 28, 45, 36, 55,45, 66, 55, 78, 66, 91,
78, 105, 91, 120, 105, 136, 120,153, 136, 171,153, 190, 171, 210, 190, 231, 210, 253, 231, 276,
253, 300, 276, 325, 300, 351, 325, 378, 351, 406, 378, 435, 406, 465, 435, 496, 465, 528, .........}

\(\D a(n)=\frac{(2n-3\cos(n\pi)-1)(2n-3\cos(n\pi)-5)\ \ \ }{32}\)

特别地，\(a(2015)=507528\)

2，已知三角形每条边的边长皆为整数，且周界为2015。求三角形边长的可能组合的数目(各种排列只计算1种).
{0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19,24,
21, 27, 24, 30, 27, 33, 30, 37, 33, 40,37, 44, 40, 48, 44, 52, 48, 56, 52, 61, 56, 65, 61, 70,65, 75,
70, 80, 75, 85, 80, 91, 85, 96, 91, 102, 96, 108, 102, 114, 108, 120, 114, 127, 120, 133, 127, ......}

\(\D a(n)=[\frac{(2n-3\cos(n\pi)+3)^2 \ \ \ }{192}]\ \ \ [\ \ ]\)表示四舍五入

或：\(\D a(n)=\frac{6n^2+18n-9(2n+3)\cos(n\pi)-36\sin(n\pi/2)-36\cos(n\pi/2)+64\cos(2n\pi/3)-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ }{288}\)

特别地，\(a(2015)=84840\)

3，可以归纳到一个公式上来。

CoefficientList[Series[\(\D\frac{x^a}{\prod_{k = 1}^a(1 - x^k)} -\frac{ 1}{\prod_{k = 1}^{a-1}(1 - x^{2k})}*\frac{x^{2 a - 2}\ }{1 - x}\)],x]

3边形：{0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21, 19, 24, 21, 27, 24, 30, 27},
4边形：{0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 16, 18, 23, 24, 31, 33, 41, 43, 53, 55, 67, 69, 83, 86, 102, 104, 123, 126, 147, 150, 174, 177},
5边形：{0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 23, 25, 35, 39, 52, 57, 74, 81, 103, 111, 139, 150, 184, 197, 239, 256, 306, 325, 385, 409, 480, 507},
6边形：{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 16, 22, 28, 37, 46, 59, 71, 91, 107, 134, 157, 193, 222, 271, 308, 371, 419, 499, 559, 661, 734, 860, 952},
7边形：{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 13, 19, 24, 34, 42, 58, 70, 93, 112, 145, 171, 218, 256, 320, 372, 458, 528, 643, 735, 884,1006,1198,1352},
8边形：{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 14, 20, 27, 36, 48, 63, 82, 104, 134, 167, 211, 258, 322, 389, 480, 572, 698, 825, 996, 1165, 1395,1620},
9边形：{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11,14, 21, 28, 39, 50, 69, 87, 116, 145, 189, 233, 299, 363, 458, 553, 687, 820, 1009, 1195, 1453, 1709},
........
n=0,1,2,3,4,.....

王守恩

王守恩 发表于 2021-8-12 16:27
1，已知三角形每条边的边长皆为整数，且周界为2015。求三角形边长的可能组合的数目.
{0, 0, 1, 0, 3, 1, ...

使得 \(n+a\) 能够整除 \( 1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3\) 的最大正整数 \(n\) 是什么？
\(a=03, S(03)=03^2*1^2*2-3\)
\(a=04, S(04)=03^2*2^2-4\)
\(a=05, S(05)=05^2*2^2-5\)
\(a=06, S(06)=05^2*3^2*2-6\)
\(a=07, S(07)=07^2*3^2*2-7\)
\(a=08, S(08)=07^2*4^2-8\)
\(a=09, S(09)=09^2*4^2-9\)
\(a=10, S(10)=09^2*5^2*2-10\)
\(a=11, S(11)=11^2*5^2*2-11\)
\(a=12, S(12)=11^2*6^2-12\)
\(a=13, S(13)=13^2*6^2-13\)
\(a=14, S(14)=13^2*7^2*2-14\)
\(a=15, S(15)=15^2*7^2*2-15\)
\(a=16, S(16)=15^2*8^2-16\)
\(a=17, S(17)=17^2*8^2-17\)
\(a=18, S(18)=17^2*9^2*2-18\)
\(a=19, S(19)=19^2*9^2*2-19\)
.........
这数字串可是在OEIS没有的，挑战一下：搞个通项公式？

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-14 19:55
使得 \(n+a\) 能够整除 \( 1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3\) 的最大正整数 \(n\) 是什么？
\(a=03, S(03)=03^2* ...

这串数可有通项公式？
已知 \(\D a_{n}\in Z\ \ \ \ |a_{n}|≤n\ \ \ \ \sum_{k=1}^n\ a_{k}=0\)   求 \(\D\sum_{k=1}^n\ k*a_{k}\) 的最大值\(S(n)\)。
\(S(2)=2*1-1^2=1\)
\(S(3)=3^2-2^2-1^2=4\)
\(S(4)=4^2-3*1-2^2-1^2=8\)
\(S(5)=5^2-4*0-3*2-2^2-1^2=14\)
\(S(6)=6^2-5*0-4*0-3*2-2^2-1^2=22\)
\(S(7)=7^2+6^2-5*3-4^2-3^2-2^2-1^2=40\)
\(S(8)=8^2+7^2-6*0-5^2-4^2-3^2-2^2-1^2=58\)
\(S(9)=9^2+8^2-7*0-6*2-5^2-4^2-3^2-2^2-1^2=78\)
....
\(S(24)=24^2+23^2+...+18^2-17*11-16^2-15^2-...-2^2-1^2=1432\)
.....

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-22 13:53
这串数可有通项公式？
已知 \(\D a_{n}\in Z\ \ \ \ |a_{n}|≤n\ \ \ \ \sum_{k=1}^n\ a_{k}=0\)   求 ...

接 214 楼：可以有通项公式。

\(\D S(n)=\sum_{k=n-a}^n k^2-\sum_{k=1}^{b-1}k^2-b*c\)

  在这里：  \(\D c=\frac{(a+1)(2n-a)-b(b-1)}{2}\)

\(\D\frac{(a+2)(2n-a-1)\ }{2}≥\frac{n(n+1)}{4}≥\frac{(a+1)(2n-a)}{2}\)

{1, 4, 8, 14, 22, 40, 58, 78, 112, 146, 185, 230, 295, 359, 428, 521, 614, 714, 840, 966,
1104, 1251, 1432, 1613, 1802, 2028, 2254, 2494, 2748, 3046, 3343, 3650,  4005, 4360,
4730, 5120, 5564, 6004, 6459, 6972, 7485, 8013, 8600, 9187, 9798, 10430, 11130, ......

注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-22 13:53
这串数可有通项公式？
已知 \(\D a_{n}\in Z\ \ \ \ |a_{n}|≤n\ \ \ \ \sum_{k=1}^n\ a_{k}=0\)   求 ...

接 214 楼：可以有通项公式。

\(\D S(n)=\sum_{k=n-a}^n k^2-\sum_{k=1}^{b-1}k^2-b*c\)

在这里：\(\D a=\lfloor\frac{2n-1-\sqrt{2n^2+2n+1}\ \ \ \ }{2}\rfloor\)

\(\D b>c=\frac{(a+1)(2n-a)-b(b-1)\ \ }{2}≥0\)

{1, 4, 8, 14, 22, 40, 58, 78, 112, 146, 185, 230, 295, 359, 428, 521, 614, 714, 840, 966,
1104, 1251, 1432, 1613, 1802, 2028, 2254, 2494, 2748, 3046, 3343, 3650,  4005, 4360,
4730, 5120, 5564, 6004, 6459, 6972, 7485, 8013, 8600, 9187, 9798, 10430, 11130, ......

注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

王守恩

王守恩 发表于 2021-9-25 09:36
接 214 楼：可以有通项公式。

\(\D S(n)=\sum_{k=n-a}^n k^2-\sum_{k=1}^{b-1}k^2-b*c\)

    平平淡淡才是真。\(a(n)=\mod(n^2-1,n)-\mod(n^2-1,n+1)=n-1\)
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35,
36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68,
69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100,...}

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-16 08:46
平平淡淡才是真。\(a(n)=\mod(n^2-1,n)-\mod(n^2-1,n+1)=n-1\)
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...

   A340445    n 分成不完全相同的 3 个部分的分区数   (2021 年 1 月 7 日)
   这通项公式是不是更好？   \(a(n)=Quotient[n^2 + 2 n, 12]\)
{0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 18, 21, 24, 26, 30,  33, 36, 40, 44, 47, 52, 56, 60,  65, 70, 74, 80, 85, 90, 96,
102, 107, 114, 120, 126, 133, 140, 146, 154, 161, 168, 176, 184, 191, 200, 208, 216, 225, 234, 242, 252, 261, 270, 280,
290, 299, 310, 320, 330, 341, 352, 362, 374, 385, 396, 408, 420, 431, 444, 456, 468, 481, 494, 506, 520, 533, 546, 560,
574, 587, 602, 616, 630, 645, 660, 674, 690, 705, 720, 736, 752, 767, 784, 800, 816, 833, 850, 866, 884, 901, 918, .......
       

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-31 11:02
A340445     n 分成不完全相同的 3 个部分的分区数   (2021 年 1 月 7 日)
   这通项公式是不是更好 ...

          A055899    [ Georg Fischer更正，2021 年 8 月 16 日]

       通项公式可以这样。\(\D\frac{1}{2}\ \sum_{i=0}^{n}\ \sum_{j=0}^{n-1}\ \bigg\lceil\frac{i*j}{2}\bigg\rceil*\bigg\lceil\frac{(n-j)(n-i+1)\ }{2}\bigg\rceil\)

  {0, 1, 7, 31, 101, 272, 636, 1340, 2600, 4725, 8135, 13391, 21217, 32536, 48496,
  70512, 100296, 139905, 191775, 258775, 344245, 452056, 586652, 753116, 957216,
1205477, 1505231, 1864695, 2293025, 2800400, 3398080, 4098496, 4915312, 5863521,
6959511, 8221167, 9667941, 11320960, 13203100,15339100,17755640,20481461,23547447,

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-1 08:06
A055899    [ Georg Fischer更正，2021 年 8 月 16 日]

       通项公式可以这样。\(\D\fra ...

       A006010          2020 年 7 月 8 日

    通项公式可以这样。 \(\D a(n)=\sum_{i=1}^{n}\ \sum_{j=1}^{n}\ \bigg\lceil\frac{i*j}{2}\bigg\rceil=2\bigg\lceil\frac{n}{2}\bigg\rceil^2\bigg(\bigg\lceil\frac{n}{2}\bigg\rceil^2+\cos(n\pi)\bigg\lceil\frac{n}{2}\bigg\rceil+\frac{1}{2}\bigg)\)

{1, 5, 20, 52, 117, 225, 400, 656, 1025, 1525, 2196, 3060, 4165, 5537, 7232, 9280, 11745, 14661,
18100, 22100, 26741, 32065, 38160, 45072, 52897, 61685, 71540, 82516, 94725, 108225, 123136,
139520, 157505, 177157, 198612, 221940, 247285, 274721, 304400, 336400, 370881, 407925,
447700, 490292, 535877, 584545, 636480, 691776, 750625, 813125}