数字串的通项公式

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-31 14:55
这是一条长不大的数字串。

\(\D S_{n}=\frac{\cos\big((n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor)\ \pi\big)\big(\lf ...

请见 A088226        递推公式:        a(1)=0, a(2)=0, a(3)=1; for n>3, a(n)=abs(a(n-1)-a(n-2)-a(n-3)).
A088226
MMA 代码

1. Clear["Global`*"]
   
2. RecurrenceTable[{a[1]==a[2]==0, a[3]==1, a[n]==Abs[a[n-1]-a[n-2]-a[n-3]]}, a, {n, 110}] (* From Harvey P. Dale, Apr 13 2012 *)

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王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-31 21:37
请见 A088226        递推公式:        a(1)=0, a(2)=0, a(3)=1; for n>3, a(n)=abs(a(n-1)-a(n-2)-a(n-3)).
A088226 ...

有这样一串数：0, 0, 2, 3, 4, 8, 10, 15, 18, 21, 28, 32, 40, 45, 54, 60, 66,
77, 84, 96, 104, 117, 126, 140, 150, 160, 176, 187, 204, 216, 234, 247, 266,
280, 300, 315, 330, 352, 368, 391, 408, 432, 450, 475, 494, 520, 540, ..........
0=0*1
0=0*2
2=1*2
3=1*3
4=1*4
8=2*4
10=2*5
15=3*5
18=3*6
21=3*7
28=4*7
32=4*8
40=5*8
45=5*9
54=6*9
60=6*10
66=6*11
77=7*11
84=7*12
96=8*12
104=8*13
117=9*13
126=9*14
140=10*14
150=10*15
160=10*16
176=11*16
187=11*17
204=12*17
216=12*18
234=13*18
247=13*19
266=14*19
280=14*20
300=15*20
315=15*21
330=15*22
352=16*22
368=16*23
391=17*23
''''''''''
规律是这样：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, .....
这串数在乘号的左边出现 3 次，乘号的右边出现 1 次，
通项公式可以这样

\(\D a(n)=\big\lbrack\frac{n+\sqrt{n}}{2}\big\rbrack*\big\lbrack\frac{n-\sqrt{n}}{2}\big\rbrack\)

问题：通项公式可以化简吗？

王守恩

王守恩 发表于 2019-11-16 17:20
有这样一串数：0, 0, 2, 3, 4, 8, 10, 15, 18, 21, 28, 32, 40, 45, 54, 60, 66,
77, 84, 96, 104,  ...

在 6 座岛屿之间建造 5 座桥，使它们能够联通，请问有几种建桥方案？

dlpg070

王守恩 发表于 2019-11-16 17:20
有这样一串数：0, 0, 2, 3, 4, 8, 10, 15, 18, 21, 28, 32, 40, 45, 54, 60, 66,
77, 84, 96, 104,  ...

如果把[]理解为下取整，似乎通项公式有误，试一下 a(3)=[(3+1.732)/2]*[(3-1.732)/2]=2*0=0

王守恩

dlpg070 发表于 2019-11-18 16:41
如果把[]理解为下取整，似乎通项公式有误，试一下 a(3)=[(3+1.732)/2]*[(3-1.732)/2]=2*0=0

圆周上 n 个点互相连接，连线最多将圆分成几个区域？
a(n)=1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214,
4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902, 20854, 24158, 27841, 31931,
36457, 41449, 46938, 52956, 59536, 66712, 74519, 82993, 92171, 102091, 112792, ...........

                                这也算“杨辉三角”

              01, 01, 01, 01, 001, 001, 001, 001, 001, 0001, 0001, 0001, 0001, 0001, ....
          1, 02, 03, 04, 05, 006, 007, 008, 009, 010, 0011, 0012, 0013, 0014, 0015, ....
       1, 2, 04, 07, 11, 16, 022, 029, 037, 046, 056, 0067, 0079, 0092, 0106, 0121, ....
   1, 2, 4, 08, 15, 26, 42, 064, 093, 130, 176, 232, 0299, 0378, 0470, 0576, 0697, ....
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, 3214, ....

dlpg070

通项公式较多
下面黑出图形演示 n=2---10

王守恩

王守恩 发表于 2019-11-18 15:56
在 6 座岛屿之间建造 5 座桥，使它们能够联通，请问有几种建桥方案？

在 7 座岛屿之间建造 6 座桥，使它们能够联通，共有 16807 种建桥方案。
16807=6×1296+15×432+20×108+15×24+6×5+1×1
每种建桥方案必须有 “1”，出现 “1” 有6种可能：
出现1个 “1”：6×1296=12，13，14，15，16，17 各出现1296(由2,3,4,5,6,7组成其余5座桥)次。
出现2个 “1”：15×432=12,13，12,14，12,15，12,16，12,17，13,14，13,15，...，15,16，15,17，16,17
      各出现432(由2,3,4,5,6,7组成其余4座桥)次，
出现3个 “1”：20×108=12,13,14，12,13,15，12,13,16，12,13,17，12,14,15，...，14,15,17，14,16,17，15,16,17
     各出现108(由2,3,4,5,6,7组成其余3座桥)次，
出现4个 “1”：15×24=12,13,14,15，12,13,14,16，12,13,14,17，12,13,15,16，...，13,14,16,17，13,15,16,17，14,15,16,17
     各出现24(由2,3,4,5,6,7组成其余2座桥)次，
出现5个 “1”：6×5=12,13,14,15,16，12,13,14,15,17，12,13,14,16,17，12,13,15,16,17，12,14,15,16,17，13,14,15,16,17
     各出现5(由2,3,4,5,6,7组成其余1座桥)次，
出现6个 “1”：1×1=12,13,14,15,16,17出现1次。
简单一点：
1296=1×6^4，432=2×6^3，108=3×6^2，24=4×6^1，5=5×6^0，1=6×6^(-1)
最简单的：如何把 16807 与 7×7×7×7×7 扯上号！我没想好。

王守恩

dlpg070 发表于 2019-12-5 17:37
通项公式较多
下面黑出图形演示 n=2---10

这样的通项不是更好吗？
a(n)=1, 11, 60, 244, 857, 2787, 8704, 26624, 80601, 242803, 729740, 2190948,
6575041, 19727867, 59186976, 177565024, 532699985, 1598105787, 4794324220,
14382980660, 43148951241, 129446864371, 388340605280, 1165021829664, ..........

\(\D a(n)=\sum_{x=1}^n\big(\ 3^{n-x}\ x^3\ \big)\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-12-30 13:21
这样的通项不是更好吗？
a(n)=1, 11, 60, 244, 857, 2787, 8704, 26624, 80601, 242803, 729740, 219094 ...

题  x1,x2,…,xn 是从左到右依次排列的n盏灯，x1 在任何情况下都可以开关，
对 i=2,3,…,n ，xn 必须在它的左边只有 x(n-1) 一盏灯开灯时，才能开关。
如果所有灯都处于开灯状态，要将 xn关闭，至少需要几次开关操作？
答案：1, 1, 2, 3, 6, 11, 22, 43, 86, 171, 342, 683, 1366, 2731, 5462,......

更一般地，
操作 0 次，a(00)=0
操作 1 次，a(01)=1
操作 2 次，a(02)=11
操作 3 次，a(03)=01
操作 4 次，a(04)=011
操作 5 次，a(05)=111
操作 6 次，a(06)=101
操作 7 次，a(07)=001
操作 8 次，a(08)=0011
操作 9 次，a(09)=1011
操作10次，a(10)=1111
操作11次，a(11)=0111
操作12次，a(12)=0101
操作13次，a(13)=1101
操作14次，a(14)=1001
操作15次，a(15)=0001
操作16次，a(16)=00011
操作17次，a(17)=10011
操作18次，a(18)=11011
操作19次，a(19)=01011
操作20次，a(20)=01111
操作21次，a(21)=11111
操作22次，a(22)=10111
操作23次，a(23)=00111
操作24次，a(24)=00101
操作25次，a(25)=10101
操作26次，a(26)=11101
操作27次，a(27)=01101
操作28次，a(28)=01001
操作29次，a(29)=11001
操作30次，a(30)=10001
操作31次，a(31)=00001
操作32次，a(32)=000011
操作33次，a(33)=100011
操作34次，a(34)=110011
操作35次，a(35)=010011
操作36次，a(36)=011011
操作37次，a(37)=111011
操作38次，a(38)=101011
操作39次，a(39)=001011
操作40次，a(40)=001111
操作41次，a(41)=101111
操作42次，a(42)=111111
操作43次，a(43)=011111
操作44次，a(44)=010111
操作45次，a(45)=110111
操作46次，a(46)=100111
操作47次，a(47)=000111
操作48次，a(48)=000101
操作49次，a(49)=100101
操作50次，a(50)=110101
操作51次，a(51)=010101
操作52次，a(52)=011101
操作53次，a(53)=111101
操作54次，a(54)=101101
操作55次，a(55)=001101
操作56次，a(56)=001001
操作57次，a(57)=101001
操作58次，a(58)=111001
操作59次，a(59)=011001
操作60次，a(60)=010001
操作61次，a(61)=110001
操作62次，a(62)=100001
操作63次，a(63)=000001
操作64次，a(64)=0000001
操作65次，a(65)=1000001
操作66次，a(66)=1100001
操作67次，a(67)=0100001
操作68次，a(68)=0110001
操作69次，a(69)=1110001
操作70次，a(70)=1010001
.............
问：操作 n 次，a(n)的通项公式可以有吗？

dlpg070

王守恩 发表于 2020-1-30 10:49
题  x1,x2,…,xn 是从左到右依次排列的n盏灯，x1 在任何情况下都可以开关，
对 i=2,3,…,n ，xn 必须 ...

谢谢你的有趣数列
显然，你是有答案的，不然，怎么能给出数列的那么多项
我也找到了通项公式，等我消化之后再讨论吧，正在考虑如何简便的"汉字换数字"呢