数字串的通项公式

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-4 08:19
回复140# ,与 137#类似
通项公式在如下代码中

谢谢  dlpg070 ！ 通项公式也可以这样：

\(\D a(n)=\sum_{k=1}^{\lfloor n/5\rfloor}(n-3k)\)

计算结果:
{2,3,4,5,6,11,13,15,17,19,27,30,33,36,39,50,54,58,62,66,80,85,90,95,100,117,123,129,135,141,161,168,175,182,189,212,220,228,236,244,270}

王守恩

dlpg070 发表于 2019-9-30 09:14
关于通项公式中函数名的说明:

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I --- BesselI --- (第一类修正贝塞尔函数)
K --- BeseelK --- (第二类修正贝塞尔函数)

谢谢  dlpg070 ！好像懂了一点，可以出来： 1,5,51,719,---
但还是出不来下面这串数：b(1)=1，b(2)=7，b(n)=b(n-2)+b(n-1)*(4n-2)
{1, 7, 71, 1001, 18089, 398959, 10391023, 312129649, 10622799089, 403978495031,
16977719590391, 781379079653017, 39085931702241241, 2111421691000680031,...}

dlpg070

你的141#的通项公式很好
不过,前面多4个0,
试试下面的修改是否正确?
\(\D a(n)=\sum_{k=1}^{\lfloor n/5+1\rfloor}(n+4-3k)\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-4 10:16
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I --- BesselI --- (第一类修正贝塞尔函数)
K --- BeseelK --- (第二类修正 ...

回复142#之一
递推公式求a(n)/b(n)

1. (*====递推公式求a(n)/b(n) ============
   
2. 1，分子：a(1)=1，a(2)=5，a(n)=a(n-2)+a(n-1)*(4n-2)
   
3. 2，分母：b(1)=1，b(2)=7，b(n)=b(n-2)+b(n-1)*(4n-2)
   
4. 3，分数：(a(n)/b(n)+2)向e靠拢的速度极快！  --- (e-2),波动
   
5. *)
   
6. Clear["Global`*"]
   
7. a[1]=1;
   
8. a[2]=5;
   
9. a[n_]:=a[n-2]+a[n-1]*(4n-2);
   
10. b[1]=1;
    
11. b[2]=7;
    
12. b[n_]:=b[n-2]+b[n-1]*(4n-2);
    
13. 
    
14. ta=Table[{"n="<>ToString[n]<>" ",a[n],"\n"},{n,1,10}];
    
15. Print["a(n):\n",ta]
    
16. tb=Table[{"n="<>ToString[n]<>" ",b[n],"\n"},{n,1,10}];
    
17. Print["b(n):\n",tb]
    
18. 
    
19. tab=Table[{"n="<>ToString[n]<>" ",N[a[n]/b[n],30],N[E-2-a[n]/b[n],10],"\n"},{n,1,10}];
    
20. Print["a(n)/b(n):快速趋向 e-2 \n",tab]
    
21. 
    
22. 
    

复制代码

计算结果:
a(n):
{{n=1 ,1,
},{n=2 ,5,
},{n=3 ,51,
},{n=4 ,719,
},{n=5 ,12993,
},{n=6 ,286565,
},{n=7 ,7463683,
},{n=8 ,224197055,
},{n=9 ,7630163553,
},{n=10 ,290170412069,
}}
b(n):
{{n=1 ,1,
},{n=2 ,7,
},{n=3 ,71,
},{n=4 ,1001,
},{n=5 ,18089,
},{n=6 ,398959,
},{n=7 ,10391023,
},{n=8 ,312129649,
},{n=9 ,10622799089,
},{n=10 ,403978495031,
}}
a(n)/b(n):快速趋向 e-2
{{n=1 ,1.00000000000000000000000000000,-0.2817181715,
},{n=2 ,0.714285714285714285714285714286,0.003996114173,
},{n=3 ,0.718309859154929577464788732394,-0.00002803069588,
},{n=4 ,0.718281718281718281718281718282,1.101773270*10^-7,
},{n=5 ,0.718281828735695726684725523799,-2.766504913*10^-10,
},{n=6 ,0.718281828458563411277850606203,4.818240824*10^-13,
},{n=7 ,0.718281828459045851404621084950,-6.160443336*10^-16,
},{n=8 ,0.718281828459045234757560631480,6.027268399*10^-19,
},{n=9 ,0.718281828459045235360753230188,-4.657588358*10^-22,
},{n=10 ,0.718281828459045235360287179900,2.914525762*10^-25,
}}

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-4 14:41
回复142#之一
递推公式求a(n)/b(n)

谢谢  dlpg070 ！

1，分子：a(1)=1，a(2)=5，a(n)=a(n-2)+a(n-1)*(4n-2)
2，分母：b(1)=1，b(2)=7，b(n)=b(n-2)+b(n-1)*(4n-2)
3，分数：(a(n)/b(n)+2)向e靠拢的速度极快！--- (e-2),波动(一正一负)

我就是想试一试用132#(133#)的公式往前走得远一点(但我不会)。
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I --- BesselI --- (第一类修正贝塞尔函数)
K --- BeseelK --- (第二类修正贝塞尔函数)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-4 10:16
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I --- BesselI --- (第一类修正贝塞尔函数)
K --- BeseelK --- (第二类修正 ...

回复142#之二
通项公式 a(n),b(n) 可以进一步化简
a[n_]:=2 I^(2 n) Sqrt[\[Pi]/E] BesselI[3/2+n,1/2]+1/2 (5 BesselI[3/2,1/2]+BesselI[5/2,1/2]) BesselK[3/2+n,1/2];

b[n_]:=(-1)^(1+n) Sqrt[\[Pi]/E] BesselI[3/2+n,1/2]+1/2 (7 BesselI[3/2,1/2]+BesselI[5/2,1/2]) BesselK[3/2+n,1/2];


下面给出用通项公式 a[n] ,b[n]求a[n]/b[n]的代码
计算结果完全与之一1(144#)相同,不再列出

1. (*  ====化简后通项公式求a(n)/b(n) ============
   
2. 
   
3. 1，分子：a(1)=1，a(2)=5，a(n)=a(n-2)+a(n-1)*(4n-2)
   
4. 2，分母：b(1)=1，b(2)=7，b(n)=b(n-2)+b(n-1)*(4n-2)
   
5. 3，分数：(a(n)/b(n)+2)向e-2靠拢的速度极快！确实特别特别快 !!!
   
6. *)
   
7. 
   
8. Clear["Global`*"]
   
9. 
   
10. a[n_]:=2 I^(2 n) Sqrt[\[Pi]/E] BesselI[3/2+n,1/2]+1/2 (5 BesselI[3/2,1/2]+BesselI[5/2,1/2]) BesselK[3/2+n,1/2];
    
11. 
    
12. b[n_]:=(-1)^(1+n) Sqrt[\[Pi]/E] BesselI[3/2+n,1/2]+1/2 (7 BesselI[3/2,1/2]+BesselI[5/2,1/2]) BesselK[3/2+n,1/2];
    
13. 
    
14. ta=Table[{"n="<>ToString[n]<>" ",IntegerPart[N[a[n],10]],"\n"},{n,0,10}];
    
15. Print["a(n):\n",ta]
    
16. tb=Table[{"n="<>ToString[n]<>" ",IntegerPart[N[b[n],10]],"\n"},{n,0,10}];
    
17. Print["b(n):\n",tb]
    
18. 
    
19. tab=Table[{"n="<>ToString[n]<>" ",N[a[n]/b[n],30],N[E-2-a[n]/b[n],10],"\n"},{n,0,10}];
    
20. Print["a(n)/b(n):快速趋向 e-2 \n",tab]
    
21. 
    
22. 
    

复制代码

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-4 16:04
回复142#之二
通项公式 a(n),b(n) 可以进一步化简
a[n_]:=2 I^(2 n) Sqrt[\/E] BesselI[3/2+n,1/2]+1 ...

a(n)+b(n)+c(n)能跑遍所有正整数吗？每个数恰好出现1次，不能多也不会少。为什么？

a(n)={1, 4, 07, 09, 12, 15, 16, 19, 22, 25, 27, 30, 32, 34, 37, 40, 43, 45, 47, 50, 52, 55, 58, 60, 63, 65, 68,...}
b(n)={2, 5, 08, 11, 14, 18, 20, 23, 26, 29, 33, 36, 38, 41, 44, 48, 51, 54, 56, 59, 62, 66, 69, 72, 75, 77, 81,...}
c(n)={3, 6, 10, 13, 17, 21, 24, 28, 31, 35, 39, 42, 46, 49, 53, 57, 61, 64, 67, 71, 74, 79, 82, 85, 89, 92, 97,...}

\(\D a(n)=n+\lfloor n*\sqrt[4]{1/2}\rfloor+\lfloor n*\sqrt[4]{1/4}\rfloor\)

\(\D b(n)=n+\lfloor n*\sqrt[4]{1/2}\rfloor+\lfloor n*\sqrt[4]{2}\rfloor\)

\(\D c(n)=n+\lfloor n*\sqrt[4]{4}\rfloor+\lfloor n*\sqrt[4]{2}\rfloor\)

用这样的方法，把正整数分类，您喜欢吗？

补充内容 (2019-10-10 20:37):
题目错了：a(n),b(n),c(n) 合在一起刚好跑遍了所有正整数，且每个正整数恰好出现 1 次，不会多也不会少。为什么？

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-10 07:11
a(n)+b(n)+c(n)能跑遍所有正整数吗？每个数恰好出现1次，不能多也不会少。为什么？

a(n)={1, 4, 07, ...

很有趣
OEIS有代码和证明
有不止一种拆分方法

王守恩

dlpg070 发表于 2019-10-11 10:13
很有趣
OEIS有代码和证明
有不止一种拆分方法

旧题重提。
分子表示得数(F(n))，分母表示拆分的方法，譬如：n=10 可以有 9+1=8+2=7+3=6+4=5+5
\(F(00)=001\)
\(F(01)=001\)
\(F(02)=002=\frac{001×1+001×1}{001×1+000×0}\)
\(F(03)=003=\frac{002×1+001×1}{002×1+001×0}\)
\(F(04)=005=\frac{003×1+002×1}{003×1+002×0}=\frac{002×2+001×1}{002×2+001×1}\)
\(F(05)=008=\frac{005×1+003×1}{004×1+003×0}=\frac{003×2+002×1}{003×2+002×1}\)
\(F(06)=013=\frac{008×1+005×1}{005×1+004×0}=\frac{005×2+003×1}{004×2+003×1}=\frac{003×3+002×2}{003×3+002×2}\)
\(F(07)=021=\frac{013×1+008×1}{006×1+005×0}=\frac{008×2+005×1}{005×2+004×1}=\frac{005×3+003×2}{004×3+003×2}\)
\(F(08)=034=\frac{021×1+013×1}{007×1+006×0}=\frac{013×2+008×1}{006×2+005×1}=\frac{008×3+005×2}{005×3+004×2}=\frac{005×5+03×3}{004×4+03×3}\)
\(F(09)=055=\frac{034×1+021×1}{008×1+007×0}=\frac{021×2+013×1}{007×2+006×1}=\frac{013×3+008×2}{006×3+005×2}=\frac{008×5+05×3}{005×4+04×3}\)
\(F(10)=089=\frac{055×1+034×1}{009×1+008×0}=\frac{034×2+021×1}{008×2+007×1}=\frac{021×3+013×2}{007×3+006×2}=\frac{013×5+08×3}{006×4+05×3}=\frac{08×8+05×5}{05×5+04×4}\)
\(F(11)=144=\frac{089×1+055×1}{010×1+009×0}=\frac{055×2+034×1}{009×2+008×1}=\frac{034×3+021×2}{008×3+007×2}=\frac{021×5+13×3}{007×4+06×3}=\frac{13×8+08×5}{06×5+05×4}\)
\(F(12)=233=\frac{144×1+089×1}{011×1+010×0}=\frac{089×2+055×1}{010×2+009×1}=\frac{055×3+034×2}{009×3+008×2}=\frac{034×5+21×3}{008×4+07×3}=\frac{21×8+13×5}{07×5+06×4}=\frac{13×13+08×8}{06×03+05×5}\)
\(F(13)=377=\frac{233×1+144×1}{012×1+011×0}=\frac{144×2+089×1}{011×2+010×1}=\frac{089×3+055×2}{010×3+009×2}=\frac{055×5+34×3}{009×4+08×3}=\frac{34×8+21×5}{08×5+07×4}=\frac{21×13+13×8}{07×04+06×5}\)
\(F(14)=610=\frac{377×1+233×1}{013×1+012×0}=\frac{233×2+144×1}{012×2+011×1}=\frac{144×3+089×2}{011×3+010×2}=\frac{089×5+55×3}{010×4+09×3}=\frac{55×8+34×5}{09×5+08×4}=\frac{34×13+21×8}{08×05+07×5}=\frac{21×21+13×13}{07×02+06×06}\)
\(F(15)=987=\frac{610×1+377×1}{014×1+013×0}=\frac{377×2+233×1}{013×2+012×1}=\frac{233×3+144×2}{012×3+011×2}=\frac{144×5+89×3}{011×4+10×3}=\frac{89×8+55×5}{10×5+09×4}=\frac{55×13+34×8}{09×06+08×5}=\frac{34×21+21×13}{08×07+07×06}\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-10-10 07:11
a(n)+b(n)+c(n)能跑遍所有正整数吗？每个数恰好出现1次，不能多也不会少。为什么？

a(n)={1, 4, 07, ...

正整数数列拆分为3个子数列，根据王守恩提供公式

1. r = 2^(1/4); s = 2^(1/2); t = 2^(3/4);
   
2. c[n_] := n + Floor[n*s/r] + Floor[n*t/r];
   
3. b[n_] := n + Floor[n*r/s] + Floor[n*t/s];
   
4. a[n_] := n + Floor[n*r/t] + Floor[n*s/t];
   
5. Table[a[n], {n, 1, 33}]  
   
6. Table[b[n], {n, 1, 33}]  
   
7. Table[c[n], {n, 1, 33}]  
   

复制代码

输出：
Out[126]= {1,4,7,9,12,15,16,19,22,25,27,30,32,34,37,40,43,45,47,50,52,55,58,60,63,65,68,70,73,76,78,80,83}
Out[127]= {2,5,8,11,14,18,20,23,26,29,33,36,38,41,44,48,51,54,56,59,62,66,69,72,75,77,81,84,87,90,93,96,99}
Out[128]= {3,6,10,13,17,21,24,28,31,35,39,42,46,49,53,57,61,64,67,71,74,79,82,85,89,92,97,100,104,107,110,115,118}