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楼主: 王守恩

[原创] 数字串的通项公式

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发表于 2019-3-23 10:00:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-3-23 10:04 编辑
dlpg070 发表于 2019-3-22 10:31
由前n项数字 求通项问题是不严密的,通常有许多种回答
例如你的题目改为:已知前16项是 02, 03, 04, 05, ...


有了递推公式,通项公式还是问题吗
下面是不漂亮,但好像简单正确的通项公式,
试试看,如有误,请告知
\(\text{an}=\sum _{k=1}^{n} \left(\left\lfloor \frac{k-1}{8}\right\rfloor +1\right)+1;\)

  1. \( \text{an}=\sum _{k=1}^{n} \left(\left\lfloor \frac{k-1}{8}\right\rfloor +1\right)+1;\)
复制代码

点评

谢谢 dlpg070!这几天还真是收获不少。  发表于 2019-3-23 12:56
正确!!!  发表于 2019-3-23 10:17
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-28 16:22:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-3-28 16:28 编辑
dlpg070 发表于 2019-3-23 10:00
有了递推公式,通项公式还是问题吗
下面是不漂亮,但好像简单正确的通项公式,
试试看,如有误,请告 ...


8 个数有 40320 道题,应该有普遍的通项公式!各位大侠可有线索?谢谢!
\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}\ \)是与\(\ 1,2,3,4,5,6,7,8\ \)顺序不同的数字串。

\((a_{1}+0),(a_{2}+0),(a_{3}+0),(a_{4}+0),(a_{5}+0),(a_{6}+0),(a_{7}+0),(a_{8}+0),\)
\((a_{1}+1),(a_{2}+1),(a_{3}+1),(a_{4}+1),(a_{5}+1),(a_{6}+1),(a_{7}+1),(a_{8}+1),\)
\((a_{1}+2),(a_{2}+2),(a_{3}+2),(a_{4}+2),(a_{5}+2),(a_{6}+2),(a_{7}+2),(a_{8}+2),\)
\((a_{1}+3),(a_{2}+3),(a_{3}+3),(a_{4}+3),(a_{5}+3),(a_{6}+3),(a_{7}+3),(a_{8}+3),\)
\((a_{1}+4),(a_{2}+4),(a_{3}+4),(a_{4}+4),(a_{5}+4),(a_{6}+4),(a_{7}+4),(a_{8}+4),\)
\((a_{1}+5),(a_{2}+5),(a_{3}+5),(a_{4}+5),(a_{5}+5),(a_{6}+5),(a_{7}+5),(a_{8}+5),\)
..............

譬如:\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}=1,7,2,6,3,5,4,8\)   
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 楼主| 发表于 2019-3-29 16:34:16 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-3-28 16:22
8 个数有 40320 道题,应该有普遍的通项公式!各位大侠可有线索?谢谢!
\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}, ...

82#的通项公式。也是 8 个数 40320 道题的通项公式。

\(a(n)=3\cos(\frac{n!\cdot\pi}{(n-7)!\times 16})(1-\lceil\frac{\mod(n-7,8)}{8}\rceil)+\cos(\frac{(n+1)!\cdot\pi}{(n-6)!\times 16})(1-\lceil\frac{\mod(n-6,8)}{8}\rceil)\)

\(+2\cos(\frac{(n+2)!\cdot\pi}{(n-5)!\times 16})(1-\lceil\frac{\mod(n-5,8)}{8}\rceil)-2\cos(\frac{(n+3)!\cdot\pi}{(n-4)!\times 16})(1-\lceil\frac{\mod(n-4,8)}{8}\rceil)\)

\(+\cos(\frac{(n+4)!\cdot\pi}{(n-3)!\times 16})(1-\lceil\frac{\mod(n-3,8)}{8}\rceil)-5\cos(\frac{(n+5)!\cdot\pi}{(n-2)!\times 16})(1-\lceil\frac{\mod(n-2,8)}{8}\rceil)\)

\(+\mod(n-1,8)+\lfloor\frac{n-1}{8}\rfloor+1\ \ \ \ \)n 从“1”开始
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 楼主| 发表于 2019-3-30 03:22:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-3-30 03:26 编辑
dlpg070 发表于 2019-3-23 10:00
有了递推公式,通项公式还是问题吗
下面是不漂亮,但好像简单正确的通项公式,
试试看,如有误,请告 ...


可以有 9 个数 362880 道题的通项公式。

\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9}\) 是与 \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) 顺序不同的数字串。

\((a_{1}+0),(a_{2}+0),(a_{3}+0),(a_{4}+0),(a_{5}+0),(a_{6}+0),(a_{7}+0),(a_{8}+0),(a_{9}+0),\)
\((a_{1}+1),(a_{2}+1),(a_{3}+1),(a_{4}+1),(a_{5}+1),(a_{6}+1),(a_{7}+1),(a_{8}+1),(a_{9}+1),\)
\((a_{1}+2),(a_{2}+2),(a_{3}+2),(a_{4}+2),(a_{5}+2),(a_{6}+2),(a_{7}+2),(a_{8}+2),(a_{9}+2),\)
\((a_{1}+3),(a_{2}+3),(a_{3}+3),(a_{4}+3),(a_{5}+3),(a_{6}+3),(a_{7}+3),(a_{8}+3),(a_{9}+3),\)
\((a_{1}+4),(a_{2}+4),(a_{3}+4),(a_{4}+4),(a_{5}+4),(a_{6}+4),(a_{7}+4),(a_{8}+4),(a_{9}+4),\)
\((a_{1}+5),(a_{2}+5),(a_{3}+5),(a_{4}+5),(a_{5}+5),(a_{6}+5),(a_{7}+5),(a_{8}+5),(a_{9}+5),\)

..............

譬如:\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9}=4,7,5,9,2,6,8,1,3\)
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 楼主| 发表于 2019-3-30 03:47:01 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-3-30 03:22
可以有 9 个数 362880 道题的通项公式。

\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9} ...

可以有 k 个数的通项公式。

\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots\cdots,a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\) 是与 \(1,2,3,4,5,\cdots\cdots,{k-2},{k-1},{k}\) 顺序不同的数字串。

\((a_{1}+0),(a_{2}+0),(a_{3}+0),(a_{4}+0),(a_{5}+0),\cdots\cdots,(a_{k-2}+0),(a_{k-1}+0),(a_{k}+0),\)
\((a_{1}+1),(a_{2}+1),(a_{3}+1),(a_{4}+1),(a_{5}+1),\cdots\cdots,(a_{k-2}+1),(a_{k-1}+1),(a_{k}+1),\)
\((a_{1}+2),(a_{2}+2),(a_{3}+2),(a_{4}+2),(a_{5}+2),\cdots\cdots,(a_{k-2}+2),(a_{k-1}+2),(a_{k}+2),\)
\((a_{1}+3),(a_{2}+3),(a_{3}+3),(a_{4}+3),(a_{5}+3),\cdots\cdots,(a_{k-2}+3),(a_{k-1}+3),(a_{k}+3),\)
\((a_{1}+4),(a_{2}+4),(a_{3}+4),(a_{4}+4),(a_{5}+4),\cdots\cdots,(a_{k-2}+4),(a_{k-1}+4),(a_{k}+4),\)
\((a_{1}+5),(a_{2}+5),(a_{3}+5),(a_{4}+5),(a_{5}+5),\cdots\cdots,(a_{k-2}+5),(a_{k-1}+5),(a_{k}+5),\)

..............

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 楼主| 发表于 2019-3-30 03:52:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-3-30 04:00 编辑
王守恩 发表于 2019-3-30 03:47
可以有 k 个数的通项公式。

\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots\cdots,a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\)  ...


一般地,可以有 k 个任意数的通项公式。这是我个人的想法,更是论坛共同的财富!谢谢各位大侠!


\(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots\cdots,a_{k-2},a_{k-1},a_{k}\) 是一个任意的数字串。

\((a_{1}+0),(a_{2}+0),(a_{3}+0),(a_{4}+0),(a_{5}+0),\cdots\cdots,(a_{k-2}+0),(a_{k-1}+0),(a_{k}+0),\)
\((a_{1}+1),(a_{2}+1),(a_{3}+1),(a_{4}+1),(a_{5}+1),\cdots\cdots,(a_{k-2}+1),(a_{k-1}+1),(a_{k}+1),\)
\((a_{1}+2),(a_{2}+2),(a_{3}+2),(a_{4}+2),(a_{5}+2),\cdots\cdots,(a_{k-2}+2),(a_{k-1}+2),(a_{k}+2),\)
\((a_{1}+3),(a_{2}+3),(a_{3}+3),(a_{4}+3),(a_{5}+3),\cdots\cdots,(a_{k-2}+3),(a_{k-1}+3),(a_{k}+3),\)
\((a_{1}+4),(a_{2}+4),(a_{3}+4),(a_{4}+4),(a_{5}+4),\cdots\cdots,(a_{k-2}+4),(a_{k-1}+4),(a_{k}+4),\)
\((a_{1}+5),(a_{2}+5),(a_{3}+5),(a_{4}+5),(a_{5}+5),\cdots\cdots,(a_{k-2}+5),(a_{k-1}+5),(a_{k}+5),\)
..................
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-4-1 16:13:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-4-1 20:10 编辑
dlpg070 发表于 2019-3-23 10:00
有了递推公式,通项公式还是问题吗
下面是不漂亮,但好像简单正确的通项公式,
试试看,如有误,请告 ...


0, 1, 2, 4, 7, 10, 13, 17, 22, 27, 32, 38, 45, 52, 59, 67, 76,
85, 94, 104, 115, 126, 137, 149, 162, 175, 188, 202, 217, 232,
247, 263, 280, 297, 314, 332, 351, 370, 389, 409, 430, 451, 472,
494, 517, 540, 563, 587, 612, 637, 662, 688, .........

这也是蛮好玩的一串数。

a(01)+a(02)=1^2×2-1
a(03)+a(04)=2^2×2-2
a(05)+a(06)=3^2×2-1
a(07)+a(08)=4^2×2-2
a(09)+a(10)=5^2×2-1
a(11)+a(12)=6^2×2-2
a(13)+a(14)=7^2×2-1
a(15)+a(16)=8^2×2-2
a(17)+a(18)=9^2×2-1
........

再看看每两个数之间的差:
1,1,2,3,3,3,4,5,5,5,6,7,7,7,8,9,9,9,10,11,11,11,12,13,13,13,.......

\[a_{n}=\frac{\cos\big(90°k(k+1)\big)+(k+2)(k+3)-3}{4}\]

点评

谢谢 dlpg070!我是在做90#题目时 “捡” 到的。  发表于 2019-4-9 10:54
请见 A194172 Partial sums of A194171.  发表于 2019-4-8 21:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-4-8 19:33:22 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-4-1 16:13
0, 1, 2, 4, 7, 10, 13, 17, 22, 27, 32, 38, 45, 52, 59, 67, 76,
85, 94, 104, 115, 126, 137, 14 ...

2.5
4.5
7
10
13.5
17.5
22
27
32.5
38.5
45
52
59.5
67.5
76
85
94.5
104.5
115
126
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-8 19:34:18 | 显示全部楼层
cos(90k(k+1))=1
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-8 20:22:41 | 显示全部楼层

2, 4, 7, 10, 13, 17, 22, 27, 32, 38, 45, 52, 59, 67, 76, 85, 94,
104, 115, 126, 137, 149, 162, 175, 188, 202, 217, 232,247, 263,
280, 297, 314, 332, 351, 370, 389, 409, 430, 451, 472, 494, 517,
540, 563, 587, 612, 637, 662, 688, .........

当\(\ n\ \)是上面数字串中的某个数时,  \(\D\sum_{k=1}^{n}\ \frac{1}{\sqrt{k}}\ \)的得数是一个很接近正整数的数。
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