数字串的通项公式

dlpg070

王守恩 发表于 2019-3-8 18:30
用 “一个算式” 把不同的 “数字串” 串起来！
A000670：\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{1^k*k^ ...

这一组数列的通项公式化简后可以写为:
通项 1/(k + 1) HurwitzLerchPhi[k/({k + 1)), -n, 0] k >= 1

有趣的是：1 无穷想求和表示整数数列
              2 超越函数表示整数数列
             3  A004123的通项公式和你的一样

dlpg070

王守恩 发表于 2019-3-9 09:34
这一楼(公约数是 1)比 62 楼(公约数大于 1)还漂亮些，就是找不到编号！
A000670：\(\D a(n)=\sum_{k=0}^ ...

这一组数列的通项公式化简后可以写为:
通项 1/((k + 1) k) HurwitzLerchPhi[k/({k + 1)), -n, 0] k >= 1

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-11 09:09
这一组数列的通项公式化简后可以写为:
通项 1/((k + 1) k) HurwitzLerchPhi[k/({k + 1)), -n, 0] k >= 1

用 “一个算式” 把不同的 “数字串” 串起来！中括号[a]是a取圆整，即四舍五入。
A018900：\(\D a(n)=2^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+2^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038464：\(\D a(n)=3^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+3^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038470：\(\D a(n)=4^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+4^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038474：\(\D a(n)=5^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+5^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038478：\(\D a(n)=6^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+6^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038481：\(\D a(n)=7^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+7^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038484：\(\D a(n)=8^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+8^{[\sqrt{2n}\ ]}\)
A038487：\(\D a(n)=9^{(1-[\sqrt{2n}\ ])\cdot\frac{1}{2}\cdot[\sqrt{2n}\ ]+n-1}+9^{[\sqrt{2n}\ ]}\)






   
  

dlpg070

王守恩 发表于 2019-3-11 11:36
用 “一个算式” 把不同的 “数字串” 串起来！中括号[a]是a取圆整，即四舍五入。
A018900：\(\D a(n)=2 ...

这一组数列很有趣，我愿意多学习一些
这些公式可以写为：

\(k^{\frac{1}{2} \left(1-\text{Round}\left[\sqrt{2 n}\right]\right) \text{Round}\left[\sqrt{2 n}\right]+n-1}+k^{\text{Round}\left[\sqrt{2 n}\right]}\)
k>=2

需要指出的是:
1 楼主的公式很复杂，用了四舍五入取整，但验证后表明公式正确
   特别希望知道聪明的脑袋怎么得到这些公式，
   暂时没有找到化简的方法
2 楼主总结的8个数列正确而耗时，A139369已经给出总结，共 11项
=====================================================
k....|.n=1.|.n=2.|.n=3.|..n=4.|..n=5.|..n=6.|...n=7.|...n=8.|..n=9.|.n=10|.OEIS.
=====================================================
k=2..|..3..|...5.|..6..|....9.|...10.|...12.|....17.|...18..|...20.|..24.|A018900
k=3..|..4..|..10.|.12..|...28.|...30.|...36.|....82.|...84..|...90.|..108|A038464
k=4..|..5..|..17.|.20..|...65.|...68.|...80.|...257.|..260..|..272.|..320|A038470
k=5..|..6..|..26.|.30..|..126.|..130.|..150.|...626.|..630..|..650.|..750|A038474
k=6..|..7..|..37.|.42..|..217.|..222.|..252.|..1297.|..1302.|.1332.|.1512|A038478
k=7..|..8..|..50.|.56..|..344.|..350.|..392.|..2402.|..2408.|.2450.|.2744|A038481
k=8..|..9..|..65.|.72..|..513.|..520.|..576.|..4097.|..4104.|.4160.|.4608|A038484
k=9..|.10..|..82.|.90..|..730.|..738.|..810.|..6562.|..6570.|.6642.|.7290|A038487
k=10.|.11..|.101.|.110.|.1001.|.1010.|.1100.|.10001.|.10010.|10100.|11000|A038444 *****
k=11.|.12..|.122.|.132.|.1332.|.1342.|.1452.|.14642.|.14652.|14762.|15972|A038490
k=12.|.13..|.145.|.156.|.1729.|.1740.|.1872.|.20737.|.20748.|20880.|22464|A038492
========================================================
3 OEIS 提供的Mathematica代码仅有1行，共发现4个变种，都非常简单

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-12 13:44
这一组数列很有趣，我愿意多学习一些
这些公式可以写为：

谢谢 dlpg070 关注！ 63 楼是循着 58 楼的想法而来的。
63楼：我是先敲前面几个数，跳出0EIS编码的。我要是知道有A139369，就不会重复63楼了。
挺羡慕您是怎么找出A139369的，这串数可以有规律吗？

dlpg070

王守恩 发表于 2019-3-12 14:30
谢谢 dlpg070 关注！ 63 楼是循着 58 楼的想法而来的。63楼：我是先敲前面几个数，跳出0EIS编码的。我 ...

我特别喜欢这几串数列，有规律，与三角有关
特别喜欢你的复杂有些奇怪的公式，对我有点不可思议
58#的公式太不可思议了，所以我没有呼应，我怀疑你的计算有误，不知是否验算了
你的数列在OEIS查不到，如果你确认无误，可申报
至于与Axxxxxx重复不是坏事，印证了你的工作无误。
关键是你的公式太特别了
我准备再发点有趣的相关资料

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-12 18:05
我特别喜欢这几串数列，有规律，与三角有关
特别喜欢你的复杂有些奇怪的公式，对我有点不可思议
58# ...

到这里来我是闹着 “玩” 的，数学研发的题库，我还真的入迷了。
如同1楼所说：承蒙各位大师的错爱，一年多来真是进步不少，谢谢各位大师......
58楼简单：分子(m-k)+k=m=n   分母(m-2k+1)+(3k-m)=k+1(分子)
别发太多资料，我已经看不懂很多了，可又不敢问。

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-12 13:44
这一组数列很有趣，我愿意多学习一些
这些公式可以写为：

            A139369     可以有通项公式！！！  
3, 4, 5, 5, 10, 6, 6, 17, 12, 9, 7, 26, 20, 28, 10, 8, 37, 30, 65, 30,
12, 9, 50, 42, 126, 68, 36, 17, 10, 65, 56, 217, 130, 80, 82, 18, 11,
82, 72, 344, 222, 150, 257, 84, 20, 12, 101, 90, 513, 350, 252, 626,
260, 90, 24, 13, 122, 110, 730, 520, 392, 1297, 630, 272, 108

\(a(n)=m^u+m^v\ \ \ \)

\(m=[\sqrt{2n}]-\frac{1}{2}[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])-n+2\)

\(u=\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }\ \bigg]\)

\(v=\frac{1}{2}\bigg([\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\bigg)-\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }\ \bigg]\)

\(-\frac{1}{2}\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }-1\ \bigg]\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }-2\ \bigg]\)
      
\(a(n)=([\sqrt{2n}]-\frac{1}{2}[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])-n+2)^{\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }\ \bigg]}+([\sqrt{2n}]-\frac{1}{2}[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])-n+2)^{\frac{1}{2}\bigg([\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\bigg)-\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }\ \bigg]
-\frac{1}{2}\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }-1\ \bigg]\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }-2\ \bigg]}\)

中括号[a]是a取圆整，即四舍五入。

——
a(n) =a(n)= m^u + m^v
a(01)= 03 = 2^1 + 2^0
——
a(02)= 04 = 3^1 + 3^0
a(03)= 05 = 2^2 + 2^0
——
a(04)= 05 = 4^1 + 4^0
a(05)= 10 = 3^2 + 3^0
a(06)= 06 = 2^2 + 2^1
——
a(07)= 06 = 5^1 + 5^0
a(08)= 17 = 4^2 + 4^0
a(09)= 12 = 3^2 + 3^1
a(10)= 09 = 2^3 + 2^0
——
a(11)= 07 = 6^1 + 6^0
a(12)= 26 = 5^2 + 5^0
a(13)= 20 = 4^2 + 4^1
a(14)= 28 = 3^3 + 3^0
a(15)= 10 = 2^3 + 2^1
——
a(16)= 08 = 7^1 + 7^0
a(17)= 37 = 6^2 + 6^0
a(18)= 30 = 5^2 + 5^1
a(19)= 65 = 4^3 + 4^0
a(20)= 30 = 3^3 + 3^1
a(21)= 12 = 2^3 + 2^2
——
a(22)= 09 = 8^1 + 8^0
a(23)= 50 = 7^2 + 7^0
a(24)= 42 = 6^2 + 6^1
a(25)=126= 5^3 + 5^0
a(26)= 68 = 4^3 + 4^1
a(27)= 36 = 3^3 + 3^2
a(28)= 17 = 2^4 + 2^0
——
a(29)= 10 = 9^1 + 9^0
a(30)= 65 = 8^2 + 8^0
a(31)= 56 = 7^2 + 7^1
a(32)=217= 6^3 + 6^0
a(33)=130= 5^3 + 5^1
a(34)= 80 = 4^3 + 4^2
a(35)= 82 = 3^4 + 3^0
a(36)= 18 = 2^4 + 2^1
——

王守恩

王守恩 发表于 2019-3-14 09:31
A139369     可以有通项公式吗？
3, 4, 5, 5, 10, 6, 6, 17, 12, 9, 7, 26, 20, 28, 10, ...

  A139369     可以有通项公式！！！  
看看这乱七八糟的数字都能找出通项来！！！心里挺高兴的！
大家不鼓鼓掌吗？这是论坛的财富(我是这样想的)，众多网友们共同努力的结果。
\(v=\frac{1}{2}\bigg([\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\bigg)-\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }\ \bigg]\)

\(-\frac{1}{2}\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }-1\ \bigg]\bigg[\sqrt{[\sqrt{2n}](1-[\sqrt{2n}])+2n\ }-2\ \bigg]\)

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-12 13:44
这一组数列很有趣，我愿意多学习一些
这些公式可以写为：

谢谢 dlpg070！
我好奇您是怎么把这乱七八糟的A139369找出来的，有方法吗？
A139369     可以有通项公式！！！  大家可有现成资料？提供一下？  
3, 4, 5, 5, 10, 6, 6, 17, 12, 9, 7, 26, 20, 28, 10, 8, 37, 30, 65, 30,
12, 9, 50, 42, 126, 68, 36, 17, 10, 65, 56, 217, 130, 80, 82, 18, 11,
82, 72, 344, 222, 150, 257, 84, 20, 12, 101, 90, 513, 350, 252, 626,
260, 90, 24, 13, 122, 110, 730, 520, 392, 1297, 630, 272, 108

A139369是按左下到右上排列，倒过来按右上到左下排列，
得到新的数字串也可以有通项公式！！！大家可有现成资料？提供一下？  
3, 5, 4, 6, 10, 5, 9, 12, 17, 6, 10, 28, 20, 26, 7, 12, 30, 65, 30, 37,
8, 17, 36, 68, 126, 42, 50, 9, 18, 82, 80, 130, 217, 56, 65, 10, 20,

\(a(n)=m^u+m^v\)

\(m=\frac{1}{2}[\sqrt{2n}\ ]\cdot(1-[\sqrt{2n}])+1 + n\)

\(u=\big[\sqrt{[\sqrt{ 2( [\sqrt{2 n}]^2 + 1 -  n)}]\cdot(1 - [\sqrt{2( [\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}])+2([\sqrt{2n}]^2 + 1 -  n)}\big]\)

\(v=\frac{1}{2} \big([\sqrt{ 2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]\cdot (1 -   [\sqrt{2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]) + 2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)\big) \)
  \(-\big [\sqrt{[\sqrt{2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]\cdot (1 - [\sqrt{2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]) + 2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}\big] \)
  \(-\frac{1}{2} \big[\sqrt{[\sqrt{2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]\cdot (1 -  [\sqrt{2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)]}) +2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)} - 1\big]\)
\(\big[\sqrt{[\sqrt{ 2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]\cdot (1 -  [\sqrt{2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)}]) + 2 ([\sqrt{2 n}]^2 + 1 - n)} - 2\big]\)