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楼主: 王守恩

[原创] 数字串的通项公式

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 楼主| 发表于 2018-12-21 12:16:15 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-16 10:21
有这样一串数:0, 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341, 682, 1365, 2730, 5461, 10922, 21845, 43690,
...

有这样一串数:0, 1, 3, 5, 8, 11, 15, 21, 28, 36, 44, 58, 72, 86, 102,
118, 145, 172, 202, 232, 264, 296, 351, 406, 465, 527, 589, 653,717,
827, 937, 1056, 1179, 1305, 1431, 1559, 1687, 1908, 2125 ,2363, 2610,
2861, 3115, 3369, 3625, 3881, 4320, 4759, 5234, 5728, 6231, 6738,.........

缺憾就是找不到通项公式的灵感,各位朋友!能来点启示吗?谢谢!

这串数的来历:4柱汉诺塔问题。
甲柱有 1~n 号盘,甲柱自留n,n-2,n-4,n-6,n-8,....总数的一半,
移动到乙柱为 n-1,n-3,n-5,n-7,n-9,...总数的一半,
问:至少要移动多少次?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-22 14:01:15 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-21 12:16
有这样一串数:0, 1, 3, 5, 8, 11, 15, 21, 28, 36, 44, 58, 72, 86, 102,
118, 145, 172, 202, 232, 2 ...

有见过下面这串数的朋友!给个链接!谢谢!

1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161,
193, 225, 257, 289, 321, 353, 385, 449, 513, 577, 641, 705, 769, 833, 897, 1025,
1153, 1281, 1409, 1537, 1665, 1793, 1921, 2049, 2305, 2561, 2817, 3073, 3329, 3585,
3841, 4097, 4353, 4609, 5121, 5633, 6145, 6657, 7169, 7681, 8193, 8705, 9217, 9729,...........

这串数的来历:4柱汉诺塔问题。
甲柱上有 1~n 号盘,要把甲柱上的盘全部移走,
问:至少要移动多少次?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-22 15:16:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-22 14:01
有见过下面这串数的朋友!给个链接!谢谢!

1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 33, 41, 49, 57, 65, ...

好不容易,我在"OEIS"找到下面这串数(A007664):

1, 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 161, 193, 225, 257, 289,
321, 385, 449, 513, 577, 641, 705, 769, 897, 1025, 1153, 1281, 1409, 1537, 1665,
1793, 2049, 2305, 2561, 2817, 3073, 3329, 3585, 3841, 4097, 4609, 5121, 5633,.....

上面说些什么,我看不太懂,但这串数的通项公式还是可以有的:

\(a(n)=(n-\frac{A^2-A}{2}-1)\times 2^A+1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)}{2}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)}{2}\)

说明:这串数与 12 楼的那串数是不一样的。


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-22 15:40:36 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-22 15:16
好不容易,我在"OEIS"找到下面这串数(A007664):

1, 3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 65, 81, 97,  ...

12 楼的通项公式找到了!谢谢大家!

1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161,
193, 225, 257, 289, 321, 353, 385, 449, 513, 577, 641, 705, 769, 833, 897, 1025,
1153, 1281, 1409, 1537, 1665, 1793, 1921, 2049, 2305, 2561, 2817, 3073, 3329, 3585,
3841, 4097, 4353, 4609, 5121, 5633, 6145, 6657, 7169, 7681, 8193, 8705, 9217, 9729,...........

\(a(n)=(n-\frac{B^2+B}{2}-1)\times 2^B+1\)

其中,\(B\ \ \)由下式确定:

\(\frac{(B+1)(B+2)}{2}\leqslant n\leqslant\frac{(B+2)(B+3)}{2}\)

这串数的来历:4柱汉诺塔问题。
甲柱上有 1~n 号盘,要把甲柱上的盘全部移走,
问:至少要移动多少次?

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-23 08:23:00 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-22 15:40
12 楼的通项公式找到了!谢谢大家!

1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, ...

  5 柱汉诺塔问题。"OEIS"(A007665):
1, 3, 5, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87, 95, 103, 111, 127,
143, 159, 175, 191, 207, 223, 239, 255, 271, 287, 303, 319, 335, 351, 383, 415,
447, 479, 511, 543, 575, 607, 639, 671, 703, 735, 767, 799, 831, 863, 895, 927,
959, 991, 1023, 1087, 1151, 1215, 1279, 1343, 1407, 1471, 1535, 1599, 1663,...

通项公式可以是这样:

\(a(n)=(n-\frac{A^3-A}{6}−A+1)×2^A-1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)(A+2)}{6}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)(A+3)}{6}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-23 09:44:44 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-23 08:23
5 柱汉诺塔问题。"OEIS"(A007665):
1, 3, 5, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79,  ...
王守恩 发表于 2018-12-22 15:40
12 楼的通项公式找到了!谢谢大家!

1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, ...


  6 柱汉诺塔问题。"OEIS"(A182058):
1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 57, 65, 73,
81, 89, 97, 105, 113, 121, 129, 137, 145, 153, 161, 169, 177, 185,
193, 201, 209, 225, 241, 257, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, .....  

通项公式可以是这样:

\(a(n)=(n-\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)}{24}−\frac{A(A-1)}{2}-1)×2^A+1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)(A+2)(A+3)}{24}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)}{24}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-23 10:58:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-12-23 11:01 编辑
王守恩 发表于 2018-12-23 09:44
6 柱汉诺塔问题。"OEIS"(A182058):
1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 5 ...



  7 柱汉诺塔问题。"OEIS"好像不能显示?
1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67,
71, 79, 87, 95, 103, 111, 119, 127, 135, 143, 151, 159, 167, 175, 183,
191, 199, 207, 215, 223, 231, 239, 247, 255, 263, 271, 279, 287, 295,
303, 311, 319, 327, 335, 343, 351, 367, 383, 399, 415, 431, 447, .......   

通项公式可以是这样:

\(a(n)=(n-\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)(A+3)}{120}−\frac{A(A-1)(A+1)}{6}-A+1)×2^A-1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)}{120}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)}{120}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-23 14:42:01 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-23 10:58
7 柱汉诺塔问题。"OEIS"好像不能显示?
1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47 ...
王守恩 发表于 2018-12-23 09:44
6 柱汉诺塔问题。"OEIS"(A182058):
1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 5 ...



  8 柱汉诺塔问题。我们不得不喊:杨辉三角万岁!
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57,
61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 105, 113, 121, 129, 137,
145, 153, 161, 169, 177, 185, 193, 201, 209, 217, 225, 233,.....  

通项公式可以是这样:

\(a(n)=(n-\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)}{720}−\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)}{24}-\frac{A(A-1)}{2}-1)×2^A+1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)}{720}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)(A+6)}{720}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-23 17:35:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-12-23 19:17 编辑
王守恩 发表于 2018-12-23 14:42
8 柱汉诺塔问题。我们不得不喊:杨辉三角万岁!
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 21, 25, 29, 33,  ...

王守恩 发表于 2018-12-23 10:58
7 柱汉诺塔问题。"OEIS"好像不能显示?
1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47 ...

王守恩 发表于 2018-12-23 09:44
6 柱汉诺塔问题。"OEIS"(A182058):
1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 5 ...



  9 柱汉诺塔问题。我们不得不喊:二进制万岁!
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51,
55, 59, 63, 67,71, 75, 79, 83, 87, 91, 95,99, 103, 107, 111,
115, 119, 123, 127, 135, 143, 151, 159, 167, 175, 183,......
  
通项公式可以是这样:

\(a(n)=(n-\frac{(A-1)A(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)}{7!}−\frac{(A-1)A(A+1)(A+2)(A+3)}{5!}-\frac{(A-1)A(A+1)}{3!}-\frac{A-1}{1!})×2^A-1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)(A+6)}{7!}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)(A+6)(A+7)}{7!}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-23 19:10:27 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-12-23 17:35
9 柱汉诺塔问题。我们不得不喊:二进制万岁!
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 23, 27, 31 ...

  10 柱汉诺塔问题。小结。
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57,
61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117 121,
125, 129, 133, 137, 141, 145, 149, 153, 157, 161, 169, 177, 185,.....  
  
通项公式可以是这样:

\(a(n)=(n-\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)(A+6)}{8!}−\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)}{6!}-\frac{A(A-1)(A+1)(A+2)}{4!}-\frac{A(A-1)}{2!}-\frac{1}{0!})×2^A+1\)

其中,\(A\ \ \)由下式确定:

\(\frac{A(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)(A+6)(A+7)}{8!}\leqslant n\leqslant\frac{(A+1)(A+2)(A+3)(A+4)(A+5)(A+6)(A+7)(A+8)}{8!}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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