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楼主: 王守恩

[原创] 数字串的通项公式

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 楼主| 发表于 2019-2-17 17:56:30 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-2-14 18:56
我们要的是方法!     

A047354:\(\D a(n)=\frac{7n-4*((n-1)\mod3)-7}{3}\)

        我们有的是方法!     A111384       
1, 4, 9, 18, 30, 48, 70, 100, 135, 180, 231, 294, 364, 448, 540, 648,
765, 900, 1045, 1210, 1386, 1584, 1794, 2028, 2275, 2548, 2835, 3150,
3480, 3840, 4216, 4624, 5049, 5508, 5985, 6498, 7030, 7600, 8190, 8820,
9471, 10164, 10879, 11638, 12420, 13248, 14100, 14100, 15925, 16900, .....

\(\D a(n)=\sum_{k=0}^n\sum_{m=0}^{k/2}(k-m)\)



毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-22 09:43:23 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2019-2-14 15:11
可以进一步化简:
     a(n)=-1 + n + 2 Floor[(3 + n)/6]
供参考,

          A015220
4, 10, 20, 56, 84, 120, 220, 286, 364, 560, 680, 816, 1140, 1330, 1540, 2024,
2300, 2600, 3276, 3654, 4060, 4960, 5456, 5984, 7140, 7770, 8436, 9880, 10660,
11480, 13244, 14190, 15180, 17296, 18424, 19600, 22100, 23426, 24804, 27720, 29260

\(\D a(n)=\frac{(\frac{4n-((n-1)\mod3)+8}{3})!}{(\frac{4n-((n-1)\mod3)-1}{3})!*6}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-23 13:12:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2019-2-23 13:18 编辑
王守恩 发表于 2019-2-22 09:43
A015220
4, 10, 20, 56, 84, 120, 220, 286, 364, 560, 680, 816, 1140, 1330, 1540, 2024,
...


通项公式正确
可以化简为
\( \frac{\Gamma \left(n+\left\lfloor \frac{n+2}{3}\right\rfloor +3\right)}{6 \Gamma \left(n+\left\lfloor \frac{n+2}{3}\right\rfloor \right)} \)

不够简单
Mod仍可以化为Floor

点评

谢谢 dlpg070!您的算法是比我的算法简单多了。  发表于 2019-2-25 11:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-25 11:08:47 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2019-2-23 13:12
通项公式正确
可以化简为
\( \frac{\Gamma \left(n+\left\lfloor \frac{n+2}{3}\right\rfloor +3\rig ...

一排 n 个座位,n 人依次入座,每人入座时,尽量不与已入座者相邻,有几种不同坐法?
   可以有通项公式吗? 也许下面的几项就已经有错的了?
a(1)=1
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=12
a(5)=48
a(6)=180
a(7)=1004
a(8)=5648
a(9)=36000
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-27 16:05:06 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-2-25 11:08
一排 n 个座位,n 人依次入座,每人入座时,尽量不与已入座者相邻,有几种不同坐法?
   可以有通项公式 ...

一排 n 个座位,n 人依次入座,每人入座时,尽量不与已入座者相邻,有几种不同坐法?
  前面几项是这样的(54楼有错), 可以有通项公式吗?
a(1)=1
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=12
a(5)=48
a(6)=192
a(7)=1008
a(8)=5760
a(9)=36000
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-2-28 08:57:19 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-2-27 16:05
一排 n 个座位,n 人依次入座,每人入座时,尽量不与已入座者相邻,有几种不同坐法?
  前面几项是这样 ...

请检查 a(7) a(9)是否正确
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-2-28 09:21:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-2-28 12:28 编辑

杨辉三角万岁!伟大的杨辉三角万岁! 中国人的杨辉三角万岁!

        a(1)=1×1!×0!=
    a(2)=2×1!×1!=
a(3)=1×1!×2!+1×2!×1!=
         a(4)=3×2!×2!=
    a(5)=3×2!×3!+1×3!×2!=
a(6)=1×2!×4!+4×3!×3!=
         a(7)=6×3!×4!+01×4!×3!=
    a(8)=4×3!×5!+05×4!×4!=
a(9)=1×3!×6!+10×4!×5!+01×5!×04!=
         a(10)=10×4!×6!+06×5!×05!=
    a(11)=05×4!×7!+15×5!×06!+01×6!×05!=
a(12)=01×4!×8!+20×5!×07!+07×6!×06!=
          a(13)=15×5!×08!+21×6!×07!+01×7!×06!=
     a(14)=06×5!×09!+35×6!×08!+08×7!×07!=
a(15)=01×5!×10!+35×6!×09!+28×7!×08!+001×8!×07!=
          a(16)=21×6!×10!+56×7!×09!+009×8!×08!=
     a(17)=07×6!×11!+70×7!×10!+036×8!×09!+001×9!×08!=
a(18)=01×6!×12!+56×7!×11!+084×8!×10!+010×9!×09!=
           a(19)=28×7!×12!+126×8!×11!+045×9!×10!+001×10!×09!=
     a(20)=08×7!×13!+126×8!×12!+120×9!×11!+011×10!×10!=
a(21)=01×7!×14!+084×8!×13!+210×9!×12!+055×10!×11!+001×11!×10!=
           a(22)=036×8!×14!+252×9!×13!+165×10!×12!+012×11!×11!=
     a(23)=009×7!×13!+210×9!×14!+330×10!×13!+066×11!×12!+001×12!×11!=
a(24)=001×7!×14!+120×9!×15!+462×10!×14!+220×11!×13!+013×12!×12!=
            a(25)=045×9!×16!+462×10!×15!+495×11!×14!+078×12!×13!+001×13!×12!=
      a(26)=010×9!×17!+330×10!×16!+792×11!×15!+286×12!×14!+014×13!×13!=
a(27)=001×9!×18!+165×10!×17!+924×11!×16!+715×12!×15!+091×13!×14!+001×14!×13!=
            a(28)=055×10!×18!+792×11!×17!+1287×12!×16!+364×13!×15!+015×14!×14!=
      a(29)=011×10!×19!+495×11!×18!+1716×12!×17!+1001×13!×16!+105×14!×15!+001×15!×14!=
a(30)=001×10!×20!+220×11!×19!+1716×12!×18!+2002×13!×17!+455×14!×16!+016×15!×15!=
              a(31)=066×11!×20!+1287×12!×19!+3003×13!×18!+1365×14!×17!+120×15!×16!+001×16!×15!=
       a(32)=012×11!×21!+715×12!×20!+3432×13!×19!+3003×14!×18!+560×15!×17!+017×16!×16!=
a(33)=001×11!×22!+286×12!×21!+3003×13!×20!+5005×14!×19!+1820×15!×18!+136×16!×17!+001×17!×16!=
             a(34)=078×12!×22!+2002×13!×21!+6435×14!×20!+4368×15!×19!+680×16!×18!+018×17!×17!=

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 楼主| 发表于 2019-2-28 09:43:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-2-28 16:11 编辑

一排 n 个座位,n 人依次入座,每人入座时,尽量不与已入座者相邻,有几种不同坐法?
  
a(1)=1
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=12
a(5)=48
a(6)=192
a(7)=1008
a(8)=5760
a(9)=36000

通项自然就来了!
\[\D a(n)=\sum_{m=n}^n\sum_{k=[\frac{m+1}{3}]}^{[\frac{2m+1}{4}]}\frac{(m-k)!\ (k+1)!\ k!}{(m-2k+1)!\ (3k-m)!}\]      中括号[a]是a取圆整,即四舍五入。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-8 18:30:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-3-8 18:35 编辑
dlpg070 发表于 2019-2-13 09:12
“一个算式“的通项公式化简后
f(n,k)= \(\sum _{m=0}^{\frac{k}{n}} \frac{\sec (\pi  m) 2^{k-m (n+1) ...

用 “一个算式” 把不同的 “数字串” 串起来!
A000670:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{1^k*k^n}{2^{k+1}}\)
A004123:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{2^k*k^n}{3^{k+1}}\)
A032033:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{3^k*k^n}{4^{k+1}}\)
A094417:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{4^k*k^n}{5^{k+1}}\)
A094418:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{5^k*k^n}{6^{k+1}}\)
A094419:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{6^k*k^n}{7^{k+1}}\)
A238464:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{7^k*k^n}{8^{k+1}}\)
A238465:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{8^k*k^n}{9^{k+1}}\)
A238466:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{9^k*k^n}{10^{k+1}}\)
A238467:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{10^k*k^n}{11^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{11^k*k^n}{12^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{12^k*k^n}{13^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{13^k*k^n}{14^{k+1}}\)

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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-9 09:34:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-3-9 10:55 编辑
王守恩 发表于 2019-3-8 18:30
用 “一个算式” 把不同的 “数字串” 串起来!
A000670:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{1^k*k^ ...

这一楼(公约数是 1)比 62 楼(公约数大于 1)还漂亮些,就是找不到编号!
A000670:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{1^{k-1}*k^n}{2^{k+1}}\)
A050351:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{2^{k-1}*k^n}{3^{k+1}}\)
A050352:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{3^{k-1}*k^n}{4^{k+1}}\)
A050353:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{4^{k-1}*k^n}{5^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{5^{k-1}*k^n}{6^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{6^{k-1}*k^n}{7^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{7^{k-1}*k^n}{8^{k+1}}\)
..............:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{8^{k-1}*k^n}{9^{k+1}}\)

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