求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

mathematica

\[f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x+(1+x)^{1/x}\]
求证：\(x=1\)的时候`f(x)`取到最大值 4。

mathematica

1. NMaximize[{(1 + 1/x)^x + (1 + x)^(1/x), x > 0}, x]

复制代码

求解结果
{4., {x -> 1.}}
导数是这个
\[\frac{\frac{(x+1)^{1/x} (x-(x+1) \log (x+1))}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+1\right)^x \left((x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right)-1\right)}{x+1}\]
但是求解应该很难吧,估计只能数值的办法证明了

lsr314

令$f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x,$则$f(x)=f(1/x),f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x).$
所以，只要证明 $x<1$时$f(x)$递增。

shufubisheng

此命题————可采用“无穷归纳法”进行证明。

mathematica

shufubisheng 发表于 2018-8-30 09:31
此命题————可采用“无穷归纳法”进行证明。

talk is cheap ,show me your proof

shufubisheng

mathematica 发表于 2018-8-30 14:12
talk is cheap ,show me your proof

你先在同一坐标系里画出y= (1+1/x)^x 与y= (1+x)^(1/x) 的图象（只要求0≤x≤1的图象），我再教你“无穷归纳法”的具体步骤。

shufubisheng

mathematica 发表于 2018-8-30 14:12
talk is cheap ,show me your proof

最好是使用能进行添加和补充的图像软件。

mathe

设$F(x)=(1+x)^{1/x}$,于是容易得出$F(x)$是单调减函数，而且$F(0)=e,F(1)=2,F(+\infty)=1$,显然有$3<=F(x)+F(1/x)<=2+e$
可以通过计算得方法，先取
$a_0=+\infty$
$a_1=9.4571968331467687581968692399246678802$,
$a_2=5.3485022362780353380225475878381108009$,
$a_3=3.9539378360198062916804086028581421264$
$a_4=3.2459393909376898304302094466549171295$
$a_5=2.8156636425945336163536107022130137096$
$a_6=2.5256843939088398456649534022050523298$
$a_7=2.3166245637417730066421385301719829478$
$a_8=2.1585661869448305362788325489560347085$
$a_9=2.0347677682080807580260832775590510074$
$a_10=1.9351165663786338362827287774905947015$
这些序列满足$F(a_i)+F(1/{a_{i+1}})=4$
于是对于$a_i<x<a_{i+1}$,容易计算出$F(x)+F(1/x)<F(a_i)+F(1/{a_{i+1}})=4$
由此得出对于$x>=2$,有$F(x)+F(1/x)<=4$,于是对于$0<x<1/2$显然不等式也成立
余下$1/2<=x<=2$，我们可以利用切线法构造，
如果能够证明在这个区间有$F(x)<=2-2(-1/2+\ln(2))\ln(x)$即可
对应差之图像为(从图像看出应该能够成立,但是证明应该还需要不少计算量）

shufubisheng

mathe 发表于 2018-8-30 22:11
设$F(x)=(1+x)^{1/x}$,于是容易得出$F(x)$是单调减函数，而且$F(0)=e,F(1)=2,F(+\infty)=1$,显然有$3

1+e ≤ (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

wayne

lsr314 发表于 2018-8-29 17:45
令$f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x,$则$f(x)=f(1/x),f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x).$
所以，只要证明 $x

接着来， 由于$f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x)$,于是得到 $f'(1)=0$， 所以 $f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x$ 在$x=1$取得极值， 再根据$f'(1)$附近的值得知，是极大值。