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[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

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发表于 2018-8-29 16:30:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x+(1+x)^{1/x}\]
如何证明这个表达式的最大值是\(4\),
\(x=1\)的时候有最大值。
我用数值的办法得到最大值了,但是能不能有解析的办法证明呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-8-29 16:34:52 | 显示全部楼层
  1. NMaximize[{(1 + 1/x)^x + (1 + x)^(1/x), x > 0}, x]
复制代码

求解结果
{4., {x -> 1.}}
导数是这个
\[\frac{\frac{(x+1)^{1/x} (x-(x+1) \log (x+1))}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+1\right)^x \left((x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right)-1\right)}{x+1}\]
但是求解应该很难吧,估计只能数值的办法证明了
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-29 17:45:40 | 显示全部楼层
令$f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x,$则$f(x)=f(1/x),f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x).$
所以,只要证明 $x<1$时$f(x)$递增。

点评

看起来不错,我画过函数的图像与倒数的图像,就不知道如何用分析的办法证明  发表于 2018-8-30 09:15
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-29 19:35:08 来自手机 | 显示全部楼层
两个分别不超过2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-29 20:18:16 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-8-29 19:35
两个分别不超过2

两个的上限都是$e$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-30 09:31:54 | 显示全部楼层
此命题————可采用“无穷归纳法”进行证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-8-30 14:12:09 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-8-30 09:31
此命题————可采用“无穷归纳法”进行证明。

talk is cheap ,show me your proof
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-30 15:12:45 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-8-30 14:12
talk is cheap ,show me your proof


你先在同一坐标系里画出y= (1+1/x)^x 与y= (1+x)^(1/x) 的图象(只要求0≤x≤1的图象),我再教你“无穷归纳法”的具体步骤。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-30 15:21:10 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-8-30 14:12
talk is cheap ,show me your proof

最好是使用能进行添加和补充的图像软件。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-8-30 22:11:00 | 显示全部楼层
设$F(x)=(1+x)^{1/x}$,于是容易得出$F(x)$是单调减函数,而且$F(0)=e,F(1)=2,F(+\infty)=1$,显然有$3<=F(x)+F(1/x)<=2+e$
可以通过计算得方法,先取
$a_0=+\infty$
$a_1=9.4571968331467687581968692399246678802$,
$a_2=5.3485022362780353380225475878381108009$,
$a_3=3.9539378360198062916804086028581421264$
$a_4=3.2459393909376898304302094466549171295$
$a_5=2.8156636425945336163536107022130137096$
$a_6=2.5256843939088398456649534022050523298$
$a_7=2.3166245637417730066421385301719829478$
$a_8=2.1585661869448305362788325489560347085$
$a_9=2.0347677682080807580260832775590510074$
$a_10=1.9351165663786338362827287774905947015$
这些序列满足$F(a_i)+F(1/{a_{i+1}})=4$
于是对于$a_i<x<a_{i+1}$,容易计算出$F(x)+F(1/x)<F(a_i)+F(1/{a_{i+1}})=4$
由此得出对于$x>=2$,有$F(x)+F(1/x)<=4$,于是对于$0<x<1/2$显然不等式也成立
余下$1/2<=x<=2$,我们可以利用切线法构造,
如果能够证明在这个区间有$F(x)<=2-2(-1/2+\ln(2))\ln(x)$即可
对应差之图像为(从图像看出应该能够成立,但是证明应该还需要不少计算量)
gp.png
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