求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-12 21:15
直接Mathematica验证吧……

1、直接Mathematica验证————是郑人买履、囫囵吞枣。
2、还是自己先琢磨一下。

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-12 21:15
直接Mathematica验证吧……

琢磨过程如下：

1、f(x)=(1+x)^(1+1/x)=(1+x)g(x)

2、（x→∞ ）[f(x)-(1+x)]
  =（x→∞ ）(1+x)[g(x)-1]
  =（x→∞ ）[g(x)-1]/[(x+1)^(-1)]

3、由洛比塔法则得
  （x→∞ ）[f(x)-(1+x)]
=（x→∞ ）[-(1+x)^2][1/x-1/(1+x)-(1/x^2)ln(1+x)]g(x)
=（x→∞ ）[-1+lnx]

4、化简得（x→∞ ）f(x)≈ x+lnx  （问题出在以上的哪一步呢？）

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

欢迎指导《 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ＞1+e》https://bbs.emath.ac.cn/thread-15537-1-1.html

mathe

shufubisheng 发表于 2018-9-13 15:46
欢迎指导《 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ＞1+e》https://bbs.emath.ac.cn/thread-15537-1-1.html

这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们需要证明$U(x)+V(x)>U(0)+V(0)=e+1$
由于$U'(x)=U(x)u'(x)<0,V'(x)=V(x)v'(x)>0,1<|U(x)|<e,1<|V(x)|<e$
前面已经得出$v'(x)=\sum_{h=2}^{\infty}\frac{1}{h(1+x)^h},u'(x)=-\sum_{h=2}^{\infty}\frac{x^h}{h(1+x)^h}$
所以我们得出对于$0<x<1/e$,有$V'(x)+U'(x)>=v'(x)+e u'(x)=\sum_{h=2}^{\infty}\frac{1-ex^h}{h(1+x)^h}>0$,所以对于$0<x<1/e$,$U(x)+V(x)$单调增所以不小于$U(0)+V(0)=e+1$
另外由于$U(x)$单调减，$V(x)$单调增，所以对于$1/2<=x<=1$,有$U(x)+V(x)>=U(1)+V(1/2)=2+\sqrt(3)>1+e$,同样对于$1/4<x<=1/2$,有$U(x)+V(x)>=U(1/2)+V(1/4)=9/4+5^(1/4)>1+e$
综合上面结果，所以对于任意$0<x<=1$,都有$U(x)+V(x)>1+e$

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

1、关于两个导函数u′(x)、v′(x)的有理级数是如何来的？

2、此处u′(x)的有理级数与26楼u′(x)的有理级数不一致。

王守恩

shufubisheng 发表于 2018-9-15 16:18
1、关于两个导函数u′(x)、v′(x)的有理级数是如何来的？

2、此处u′(x)的有理级数与26楼u′(x)的有 ...

说得不好，大家别见笑。
\(第1步：(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证：x=n时k的值与x=\frac{1}{n}时k的值是相同的\)。
     \(也就是说，我们不妨约定x\geqslant 1\)。
\(第2步：x\geqslant 1，(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证：当(1+\frac{1}{x})^x=(1+x)^{\frac{1}{x}}时，k有极大值4\)。
\(第3步：x\geqslant 1，(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证：当x\to\infty 时，k有极小值e+1\)。

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

1、v′(x)的有理级数是对的。

2、u′(x)的有理级数是错的。

3、第一步的级数证明法有问题。

4、后两步的计算证明法是对的。

shufubisheng

王守恩 发表于 2018-9-16 09:39
说得不好，大家别见笑。
\(第1步：(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证：x=n时k的 ...

此乃只是提问，还是没有证明。

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

能否将“在0＜x＜0.117时可以证明上面单调性”的详细过程叙述一遍？

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

由于v′(x)+eu′(x)有理级数的第一项是负的、其分子是(1-e)，不知 x＜0.117 是如何确定的？