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楼主: mathematica

[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

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发表于 2018-9-12 20:42:59 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-12 20:15
$y=x+1$不是渐近线,$f(x)≈1+x+ln(x)$

f(x)≈1+x+ln(x)是如何来的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-12 21:15:42 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-12 20:42
f(x)≈1+x+ln(x)是如何来的?

直接Mathematica验证吧……
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发表于 2018-9-12 22:58:57 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-12 21:15
直接Mathematica验证吧……

1、直接Mathematica验证————是郑人买履、囫囵吞枣。
2、还是自己先琢磨一下。
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发表于 2018-9-13 13:09:33 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-12 21:15
直接Mathematica验证吧……

琢磨过程如下:

1、f(x)=(1+x)^(1+1/x)=(1+x)g(x)

2、(x→∞ )[f(x)-(1+x)]
  =(x→∞ )(1+x)[g(x)-1]
  =(x→∞ )[g(x)-1]/[(x+1)^(-1)]

3、由洛比塔法则得
  (x→∞ )[f(x)-(1+x)]
=(x→∞ )[-(1+x)^2][1/x-1/(1+x)-(1/x^2)ln(1+x)]g(x)
=(x→∞ )[-1+lnx]

4、化简得(x→∞ )f(x)≈ x+lnx  (问题出在以上的哪一步呢?)
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发表于 2018-9-13 15:46:40 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

欢迎指导《 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) >1+e》https://bbs.emath.ac.cn/thread-15537-1-1.html
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发表于 2018-9-15 13:18:00 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-13 15:46
欢迎指导《 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) >1+e》https://bbs.emath.ac.cn/thread-15537-1-1.html


这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们需要证明$U(x)+V(x)>U(0)+V(0)=e+1$
由于$U'(x)=U(x)u'(x)<0,V'(x)=V(x)v'(x)>0,1<|U(x)|<e,1<|V(x)|<e$
前面已经得出$v'(x)=\sum_{h=2}^{\infty}\frac{1}{h(1+x)^h},u'(x)=-\sum_{h=2}^{\infty}\frac{x^h}{h(1+x)^h}$
所以我们得出对于$0<x<1/e$,有$V'(x)+U'(x)>=v'(x)+e u'(x)=\sum_{h=2}^{\infty}\frac{1-ex^h}{h(1+x)^h}>0$,所以对于$0<x<1/e$,$U(x)+V(x)$单调增所以不小于$U(0)+V(0)=e+1$
另外由于$U(x)$单调减,$V(x)$单调增,所以对于$1/2<=x<=1$,有$U(x)+V(x)>=U(1)+V(1/2)=2+\sqrt(3)>1+e$,同样对于$1/4<x<=1/2$,有$U(x)+V(x)>=U(1/2)+V(1/4)=9/4+5^(1/4)>1+e$
综合上面结果,所以对于任意$0<x<=1$,都有$U(x)+V(x)>1+e$
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发表于 2018-9-15 16:18:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-15 16:56 编辑
mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...


1、关于两个导函数u′(x)、v′(x)的有理级数是如何来的?

2、此处u′(x)的有理级数与26楼u′(x)的有理级数不一致。
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发表于 2018-9-16 09:39:14 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-15 16:18
1、关于两个导函数u′(x)、v′(x)的有理级数是如何来的?

2、此处u′(x)的有理级数与26楼u′(x)的有 ...

说得不好,大家别见笑。
\(第1步:(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证:x=n时k的值与x=\frac{1}{n}时k的值是相同的\)。
     \(也就是说,我们不妨约定x\geqslant 1\)。
\(第2步:x\geqslant 1,(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证:当(1+\frac{1}{x})^x=(1+x)^{\frac{1}{x}}时,k有极大值4\)。
\(第3步:x\geqslant 1,(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证:当x\to\infty 时,k有极小值e+1\)。

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发表于 2018-9-16 11:08:19 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

1、v′(x)的有理级数是对的。

2、u′(x)的有理级数是错的。

3、第一步的级数证明法有问题。

4、后两步的计算证明法是对的。

点评

是的,手机来回翻看公式弄错了。由于$-1/2<u'(x)<0$,数值计算大概$x=0.117..$时$v'(x)~=e/2$,所以在$0<x<0.117$时可以证明上面单调性。于是上面区间还需要多计算几个即可  发表于 2018-9-16 13:28
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发表于 2018-9-16 11:12:36 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-9-16 09:39
说得不好,大家别见笑。
\(第1步:(1+\frac{1}{x})^x+(1+x)^{\frac{1}{x}}=k\)
     \(求证:x=n时k的 ...

此乃只是提问,还是没有证明。
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