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楼主: mathematica

[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

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发表于 2018-9-16 14:16:07 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

能否将“在0<x<0.117时可以证明上面单调性”的详细过程叙述一遍?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-16 19:28:46 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-15 13:18
这个容易很多
$v(x)=x\ln(1+1/x), u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}, U(x)=e^{u(x)},V(x)=e^{v(x)}$
于是我们 ...

由于v′(x)+eu′(x)有理级数的第一项是负的、其分子是(1-e),不知 x<0.117 是如何确定的?
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发表于 2018-9-17 07:36:56 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-16 14:16
能否将“在0<x<0.117时可以证明上面单调性”的详细过程叙述一遍?


前面点评里面已经提及。根据前面v'(x)的展开式可以知道v'(x)是单调减的,而且v'(0)=\infty而数值计算可以得出v'(0.117...)=e/2, 而另外我们有-1/2<u'(x)<0
? dv(x)=log(1+1/x)-1/(1+x)
%1 = (x)->log(1+1/x)-1/(1+x)
? solve(x=0.01,0.5, dv(x)-exp(1)/2)
%2 = 0.11726777583478896108434116283265149137
另外
? U(x)=(1+x)^(1/x)
%3 = (x)->(1+x)^(1/x)
? V(x)=(1+1/x)^x
%4 = (x)->(1+1/x)^x
? U(1/2)+V(1/4)
%5 = 3.7453487812212205419118989941409133954
? 1+exp(1)
%6 = 3.7182818284590452353602874713526624978
? U(1/4)+V(1/8)
%7 = 3.7574802629524924608192189017969990552
? U(1/8)+V(1/16)
%8 = 3.7595061283342480374639275930217468396
所以可以知道$1/16<x<=1$中都有$U(x)+V(x)>1+e$
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发表于 2018-9-17 16:32:18 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-17 07:36
前面点评里面已经提及。根据前面v'(x)的展开式可以知道v'(x)是单调减的,而且v'(0)=\infty而数值计算可 ...

根据图象观察,我发现一个双不等式,看你能证明否?https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... ;tid=15537#lastpost
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