求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

mathe

shufubisheng 发表于 2018-9-16 14:16
能否将“在0＜x＜0.117时可以证明上面单调性”的详细过程叙述一遍？

前面点评里面已经提及。根据前面v'(x)的展开式可以知道v'(x)是单调减的，而且v'(0)=\infty而数值计算可以得出v'(0.117...)=e/2, 而另外我们有-1/2<u'(x)<0
? dv(x)=log(1+1/x)-1/(1+x)
%1 = (x)->log(1+1/x)-1/(1+x)
? solve(x=0.01,0.5, dv(x)-exp(1)/2)
%2 = 0.11726777583478896108434116283265149137
另外
? U(x)=(1+x)^(1/x)
%3 = (x)->(1+x)^(1/x)
? V(x)=(1+1/x)^x
%4 = (x)->(1+1/x)^x
? U(1/2)+V(1/4)
%5 = 3.7453487812212205419118989941409133954
? 1+exp(1)
%6 = 3.7182818284590452353602874713526624978
? U(1/4)+V(1/8)
%7 = 3.7574802629524924608192189017969990552
? U(1/8)+V(1/16)
%8 = 3.7595061283342480374639275930217468396
所以可以知道$1/16<x<=1$中都有$U(x)+V(x)>1+e$

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-17 07:36
前面点评里面已经提及。根据前面v'(x)的展开式可以知道v'(x)是单调减的，而且v'(0)=\infty而数值计算可 ...

根据图象观察，我发现一个双不等式，看你能证明否？https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... ;tid=15537#lastpost