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楼主: mathematica

[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

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发表于 2018-8-30 23:23:22 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-8-30 22:11
设$F(x)=(1+x)^{1/x}$,于是容易得出$F(x)$是单调减函数,而且$F(0)=e,F(1)=2,F(+\infty)=1$,显然有$3

1+e ≤ (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-8-30 23:27:01 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-8-29 17:45
令$f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x,$则$f(x)=f(1/x),f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x).$
所以,只要证明 $x


接着来, 由于$f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x)$,于是得到 $f'(1)=0$, 所以 $f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x$ 在$x=1$取得极值, 再根据$f'(1)$附近的值得知,是极大值。
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发表于 2018-8-31 00:03:41 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-8-30 23:27
接着来, 由于$f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x)$,于是得到 $f'(1)=0$, 所以 $f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x ...

极大值不一定是最大值
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 楼主| 发表于 2018-8-31 12:15:45 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-8-30 22:11
设$F(x)=(1+x)^{1/x}$,于是容易得出$F(x)$是单调减函数,而且$F(0)=e,F(1)=2,F(+\infty)=1$,显然有$3

你的a0 a1 a2 a3怎么来的?没看懂

点评

因为F单调,所以这个数列唯一确定。当然如果我们能够证明$a_n->1$也能够解决本题,但是这个难度应该也不小  发表于 2018-9-1 07:07
$a_0=\infty$, 取$a_{n+1}$使得$F(1/{a_{n+1}})+F(a_n)=4$  发表于 2018-9-1 07:06
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 楼主| 发表于 2018-8-31 12:22:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-8-31 12:29 编辑
  1. Series[(1 + 1/x)^x + (1 + x)^(1/x), {x, 1, 5}]
复制代码

对函数在x=1处泰勒展开
得到\[4+(x-1)^2 \left(2 \log ^2(2)-1\right)+(x-1)^3 \left(1-2 \log ^2(2)\right)+\frac{1}{6} (x-1)^4 \left(-4+\log ^4(2)+4 \log ^3(2)+9 \log ^2(2)-3 \log (2)\right)+(x-1)^5 \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3} \log ^4(2)-\frac{4 \log ^3(2)}{3}-\log ^2(2)+\log (2)\right)+O\left((x-1)^6\right)\]
数值化

\[4.0000000-0.039093972 (x-1.0000000)^2+0.039093972 (x-1.0000000)^3-0.032071785 (x-1.0000000)^4+0.025049598 (x-1.0000000)^5+O\left((x-1.0000000)^6\right)\]
也能算一个粗糙的证明,第二项是负数

\[4.-0.039094 (x-1.)^2+0.039094 (x-1.)^3-0.0320718 (x-1.)^4+0.0250496 (x-1.)^5+O\left((x-1.)^6\right)\]


看看函数与导数的图像,确实在1点是极值,但是怎么证明呢?证明是个难问题
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)
  3. fx=D[f,x]
  4. Plot[f,{x,0,10},PlotRange->Full]
  5. Plot[fx,{x,0,10}]
复制代码


展开10项后
\[4.-0.039094 (x-1.)^2+0.039094 (x-1.)^3-0.0320718 (x-1.)^4+0.0250496 (x-1.)^5-0.0194211 (x-1.)^6+0.0151862 (x-1.)^7-0.0120533 (x-1.)^8+0.00973074 (x-1.)^9-0.00799002 (x-1.)^{10}+0.00666561 (x-1.)^{11}-0.00564113 (x-1.)^{12}+O\left((x-1.)^{13}\right)\]
QQ截图20180831122551.png

点评

感觉是找折腾,还是数值解万岁!  发表于 2018-8-31 12:39
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发表于 2018-8-31 13:23:38 | 显示全部楼层
通过软件先计算
$\frac{d}{dx}(ln(1+x)-\frac{x(3x+2)}{2(1+x)^2})=\frac{x^2}{(1+x)^3}>0, (x>0)$
由此可以得出在$x>0$时,$\ln(1+x)>\frac{x(3x+2)}{2(1+x)^2}$,或者说$\frac{2\ln(1+x)}{x^3}>\frac{3x+2}{x^2(1+x)^2}$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2})>0, (x>0)$
也就是函数$\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}$单调增
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 楼主| 发表于 2018-8-31 16:23:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-8-31 16:26 编辑
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)
  3. (*求导数,然后合并,写成分数的形式*)
  4. fx=Together@D[f,x]
  5. (*取得分子,并且尽可能地化简*)
  6. fxfz=FullSimplify@Numerator[fx]
复制代码

只要能计算出在x>1的时候函数单调减就可以了,
也就是计算导数在x>1上小于零,由于分母\(x^2 (x+1)\)
在x>1大于零,所以只需要计算分子在x>1小于零,
分子是\[\left(\frac{1}{x}+1\right)^x x^2 \left((x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right)-1\right)+(x+1)^{1/x} (x-(x+1) \log (x+1))\]
要证明他在x>1的时候小于零,就是证明它的导数小于零(当x=1的时候,分子等于零)
\[\frac{\left(\frac{1}{x}+1\right)^x x^3 \left(-2 x+(x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right) \left(x+(x+1) x \log \left(\frac{1}{x}+1\right)+2\right)-3\right)+(x+1)^{1/x} \left(x^2+(x+1) \log (x+1) ((x+1) \log (x+1)-x (x+2))\right)}{x^2 (x+1)}\]

看函数图像是小于零的,但是就是不会证明
QQ截图20180831162240.png
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发表于 2018-8-31 16:38:56 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-8-31 12:22
对函数在x=1处泰勒展开
得到\[4+(x-1)^2 \left(2 \log ^2(2)-1\right)+(x-1)^3 \left(1-2 \log ^2(2)\ri ...

数值解不是证明。否则的话,黎曼猜想早就成为黎曼定理了。
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发表于 2018-8-31 16:41:06 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-8-31 16:23
只要能计算出在x>1的时候函数单调减就可以了,
也就是计算导数在x>1上小于零,由于分母\(x^2 (x+1)\)
...

为何不画出y= (1+1/x)^x 与y= (1+x)^(1/x) 的图象(只要求0≤x≤1的图象)?

点评

这个能画:Plot[{(1 + 1/x)^x, (1 + x)^(1/x)}, {x, 0, 1}]  发表于 2018-9-30 17:35
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发表于 2018-8-31 17:36:05 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-8-31 13:23
通过软件先计算
$\frac{d}{dx}(ln(1+x)-\frac{x(3x+2)}{2(1+x)^2})=\frac{x^2}{(1+x)^3}>0, (x>0)$
由此 ...

这是函数的基本性质,事先应该弄清楚。
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