求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

shufubisheng

wayne 发表于 2018-8-30 23:27
接着来， 由于$f'(x)=-1/(x^2)f'(1/x)$,于是得到 $f'(1)=0$， 所以 $f(x)=(1 + x)^(1/x) + (1 + 1/x)^x ...

极大值不一定是最大值

mathematica

mathe 发表于 2018-8-30 22:11
设$F(x)=(1+x)^{1/x}$,于是容易得出$F(x)$是单调减函数，而且$F(0)=e,F(1)=2,F(+\infty)=1$,显然有$3

你的a0 a1 a2 a3怎么来的？没看懂

mathematica

1. Series[(1 + 1/x)^x + (1 + x)^(1/x), {x, 1, 5}]

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对函数在x=1处泰勒展开
得到\[4+(x-1)^2 \left(2 \log ^2(2)-1\right)+(x-1)^3 \left(1-2 \log ^2(2)\right)+\frac{1}{6} (x-1)^4 \left(-4+\log ^4(2)+4 \log ^3(2)+9 \log ^2(2)-3 \log (2)\right)+(x-1)^5 \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3} \log ^4(2)-\frac{4 \log ^3(2)}{3}-\log ^2(2)+\log (2)\right)+O\left((x-1)^6\right)\]
数值化

\[4.0000000-0.039093972 (x-1.0000000)^2+0.039093972 (x-1.0000000)^3-0.032071785 (x-1.0000000)^4+0.025049598 (x-1.0000000)^5+O\left((x-1.0000000)^6\right)\]
也能算一个粗糙的证明，第二项是负数

\[4.-0.039094 (x-1.)^2+0.039094 (x-1.)^3-0.0320718 (x-1.)^4+0.0250496 (x-1.)^5+O\left((x-1.)^6\right)\]


看看函数与导数的图像，确实在1点是极值，但是怎么证明呢？证明是个难问题

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)
   
3. fx=D[f,x]
   
4. Plot[f,{x,0,10},PlotRange->Full]
   
5. Plot[fx,{x,0,10}]
   

复制代码

展开10项后
\[4.-0.039094 (x-1.)^2+0.039094 (x-1.)^3-0.0320718 (x-1.)^4+0.0250496 (x-1.)^5-0.0194211 (x-1.)^6+0.0151862 (x-1.)^7-0.0120533 (x-1.)^8+0.00973074 (x-1.)^9-0.00799002 (x-1.)^{10}+0.00666561 (x-1.)^{11}-0.00564113 (x-1.)^{12}+O\left((x-1.)^{13}\right)\]

mathe

通过软件先计算
$\frac{d}{dx}(ln(1+x)-\frac{x(3x+2)}{2(1+x)^2})=\frac{x^2}{(1+x)^3}>0, (x>0)$
由此可以得出在$x>0$时，$\ln(1+x)>\frac{x(3x+2)}{2(1+x)^2}$,或者说$\frac{2\ln(1+x)}{x^3}>\frac{3x+2}{x^2(1+x)^2}$
即
$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2})>0, (x>0)$
也就是函数$\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}$单调增

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)
   
3. (*求导数，然后合并，写成分数的形式*)
   
4. fx=Together@D[f,x]
   
5. (*取得分子，并且尽可能地化简*)
   
6. fxfz=FullSimplify@Numerator[fx]
   

复制代码

只要能计算出在x>1的时候函数单调减就可以了，
也就是计算导数在x>1上小于零，由于分母\(x^2 (x+1)\)
在x>1大于零，所以只需要计算分子在x>1小于零，
分子是\[\left(\frac{1}{x}+1\right)^x x^2 \left((x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right)-1\right)+(x+1)^{1/x} (x-(x+1) \log (x+1))\]
要证明他在x>1的时候小于零，就是证明它的导数小于零（当x=1的时候，分子等于零）
\[\frac{\left(\frac{1}{x}+1\right)^x x^3 \left(-2 x+(x+1) \log \left(\frac{1}{x}+1\right) \left(x+(x+1) x \log \left(\frac{1}{x}+1\right)+2\right)-3\right)+(x+1)^{1/x} \left(x^2+(x+1) \log (x+1) ((x+1) \log (x+1)-x (x+2))\right)}{x^2 (x+1)}\]

看函数图像是小于零的，但是就是不会证明

shufubisheng

mathematica 发表于 2018-8-31 12:22
对函数在x=1处泰勒展开
得到\[4+(x-1)^2 \left(2 \log ^2(2)-1\right)+(x-1)^3 \left(1-2 \log ^2(2)\ri ...

数值解不是证明。否则的话，黎曼猜想早就成为黎曼定理了。

shufubisheng

mathematica 发表于 2018-8-31 16:23
只要能计算出在x>1的时候函数单调减就可以了，
也就是计算导数在x>1上小于零，由于分母\(x^2 (x+1)\)
...

为何不画出y= (1+1/x)^x 与y= (1+x)^(1/x) 的图象（只要求0≤x≤1的图象）？

shufubisheng

mathe 发表于 2018-8-31 13:23
通过软件先计算
$\frac{d}{dx}(ln(1+x)-\frac{x(3x+2)}{2(1+x)^2})=\frac{x^2}{(1+x)^3}>0, (x>0)$
由此 ...

这是函数的基本性质，事先应该弄清楚。

mathe

shufubisheng 发表于 2018-8-31 16:38
数值解不是证明。否则的话，黎曼猜想早就成为黎曼定理了。

合理的数值计算方案是可以用来做证明的。
比如我们需要证明某个函数f在某个区间大于0,
如果能够事先证明在区间中导函数f'的绝对值有一个很粗糙的上界M,而且能够从图像中观察到f实际不小于正数a,那么我们只要让计算机在区间中采样密度不小于a/M,计算证明所有采样点的值不小于a,就证明了结论。
当然，这对于极值点还不够，这时在极值点领域需要证明二阶导数的符号，所以需要估计三阶导数的粗糙的界，然后由此证明二阶导数在邻域不变号

shufubisheng

mathe 发表于 2018-8-31 22:37
合理的数值计算方案是可以用来做证明的。
比如我们需要证明某个函数f在某个区间大于0,
如果能够事先 ...

1、你说的“合理”————也是需要证明的。没有证明“合理”的合理数值计算方案是不可以用来做证明的。
2、以 sin(1/x) 为例，x在区间（-1，1）内，能找出无穷多个点，使 sin(1/x) ＞0，但不能用来证明在区间（-1，1）内的所有点x，使 sin(1/x) ＞0，因为此结论不成立。