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楼主: mathematica

[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

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 楼主| 发表于 2018-9-5 14:52:41 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-5 14:28
令$f(x)=4-(1+x)^(1/x)-(1+1/x)^x$,
则$f(x)=(1-2 ln(2)^2) (x-1)^2+(-1+2 ln(2)^2) (x-1)^3+1/6 (4+3 ln( ...

你第一次让我看到了希望,不过要证明系数符号是交错的,难度不小!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-5 14:54:38 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-5 14:28
令$f(x)=4-(1+x)^(1/x)-(1+1/x)^x$,
则$f(x)=(1-2 ln(2)^2) (x-1)^2+(-1+2 ln(2)^2) (x-1)^3+1/6 (4+3 ln( ...

能否利用泰勒展开的
拉格朗日(Lagrange)余项
来证明呢?
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发表于 2018-9-5 20:10:59 | 显示全部楼层
设$F(x)=exp(f(x))$,于是$F'(x)=F(x)f'(x)$,两边同时取n-1阶导数可以得到递推式$F^{(n)}(x)=\sum_{h=0}^{n-1}C_{n-1}^h F^{(h)}(x)f^{(n-h)}(x)$
那么如果$f(x)$的偶数阶导数都大于0而奇数阶导数小于0,利用数学归纳法我们就可以使用上面递推式得出$F(x)$的偶数阶导数也大于0而奇数阶导数小于0
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发表于 2018-9-5 20:33:53 | 显示全部楼层
26#定义了$u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$,得出$u^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} \sum_{h=n+1}^{+\infty} \frac{x^h}{h(x+1)^h}$
所以$u^{(n)}(1)=n!(-1)^n \sum_{h=n+1}^{+\infty} \frac{1}{h2^h}$
如果我们再定义$v(x)=x\ln(1+1/x)=-x\ln(1-\frac{1}{1+x})=\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1+x-1}{h(1+x)^h}=1-\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(h+1)h(1+x)^h}$
于是$v'(x)=\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(h+1)(1+x)^{h+1}},v''(x)=-\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(1+x)^{h+2}},...,v^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\sum_{h=n+1}^{\infty}\frac{(h-1)!}{(h-n+1)!(1+x)^h$,$v(1)=1-\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(h+1)h2^h},v^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}\sum_{h=n+1}^{\infty}\frac{(h-1)!}{(h-n+1)!2^h$
而在$h>=n+1>n>=1$时,$C_{h+1}^n>=C_{h+1}^1=h+1$,所以$\frac{(h+1)!}{(h-n+1)!n!}>h+1$,得出$\frac{(h-1)!}{(h-n+1)!}>\frac{n!}{h}$
由此我们可以得出在$n>=1$时,$|v^{(n)}(1)|>|u^{(n)}(1)|$
现在我们记$U(x)=exp(u(x)),V(x)=exp(v(x))$
我们可以使用归纳法利用43#递推式证明对于$n>=1$,有$|V^{(n)}(1)|>=|U^{(n)}(1)|$而且$V^{(n)}(1)$和$v^{(n)}(1)$同号,$U^{(n)}(1)$和$u^{(n)(1)$同号,它们都是交错正负的。
由此我们可以得出$V^{(n)}(1)+U^{(n)}(1)$的符号同$V^{(n)}(1)$相同,n是奇数时是正,n是偶数时是负(不包含n=0)
这就是40#需要的结论

点评

发现还有一个问题,很不幸V(1)和V'(1)都是正数,所以上面关于V的归纳假设还有问题  发表于 2018-9-6 07:08
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发表于 2018-9-5 21:10:38 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-5 20:33
26#定义了$u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$,得出$u^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} \sum_{h=n+1}^{+\infty}  ...

这与f(x)有关系否?
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发表于 2018-9-6 20:26:56 | 显示全部楼层
$v(x)=x\ln(1+x)-x\ln(x)$,所以$v'(x)=ln(1+1/x)-1/{1+x}$,而对于$n>=2$,$v^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!x}{(1+x)^n}+(-1)^{n-2}\frac{n(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}-(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n-1}}-(-1)^{n-2}\frac{n(n-2)!}{x^{n-1}}$
所以$v(1)=\ln(2)$,$v'(1)=\ln(2)-\frac1 2$,而对于$n>=2$,$v^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}(n-2)!(1-\frac{n+1}{2^n})$
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发表于 2018-9-7 13:00:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2018-9-7 13:09 编辑

$v(x)=xln(1+1/x)=ln2-(ln2-1/2)(1-x)-sum_{n=2}^{∞}1/(n(n-1))(1-(n+1)/2^n)(1-x)^n$
$u(x)=1/xln(1+x)=sum_{n=0}^∞(ln2-\sum_{k=1}^n1/(2^k*k))(1-x)^n=ln2/x-sum_{n=0}^∞(\sum_{k=1}^n1/(2^k*k))(1-x)^n$
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发表于 2018-9-7 15:19:06 | 显示全部楼层
math.se上有人给出解答了:

math.se.jpg
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发表于 2018-9-7 17:18:16 | 显示全部楼层
f concave并不能说明$\frac1{1+x}f(x)+\frac x{1+x}f(1/x)<=f(2)$
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发表于 2018-9-7 17:38:19 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-7 15:19
math.se上有人给出解答了:

那如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4呢?
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