求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

mathe

设$F(x)=exp(f(x))$,于是$F'(x)=F(x)f'(x)$,两边同时取n-1阶导数可以得到递推式$F^{(n)}(x)=\sum_{h=0}^{n-1}C_{n-1}^h F^{(h)}(x)f^{(n-h)}(x)$
那么如果$f(x)$的偶数阶导数都大于0而奇数阶导数小于0，利用数学归纳法我们就可以使用上面递推式得出$F(x)$的偶数阶导数也大于0而奇数阶导数小于0

mathe

26#定义了$u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，得出$u^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} \sum_{h=n+1}^{+\infty} \frac{x^h}{h(x+1)^h}$
所以$u^{(n)}(1)=n!(-1)^n \sum_{h=n+1}^{+\infty} \frac{1}{h2^h}$
如果我们再定义$v(x)=x\ln(1+1/x)=-x\ln(1-\frac{1}{1+x})=\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1+x-1}{h(1+x)^h}=1-\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(h+1)h(1+x)^h}$
于是$v'(x)=\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(h+1)(1+x)^{h+1}},v''(x)=-\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(1+x)^{h+2}},...,v^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\sum_{h=n+1}^{\infty}\frac{(h-1)!}{(h-n+1)!(1+x)^h$,$v(1)=1-\sum_{h=1}^{\infty}\frac{1}{(h+1)h2^h},v^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}\sum_{h=n+1}^{\infty}\frac{(h-1)!}{(h-n+1)!2^h$
而在$h>=n+1>n>=1$时，$C_{h+1}^n>=C_{h+1}^1=h+1$,所以$\frac{(h+1)!}{(h-n+1)!n!}>h+1$,得出$\frac{(h-1)!}{(h-n+1)!}>\frac{n!}{h}$
由此我们可以得出在$n>=1$时，$|v^{(n)}(1)|>|u^{(n)}(1)|$
现在我们记$U(x)=exp(u(x)),V(x)=exp(v(x))$
我们可以使用归纳法利用43#递推式证明对于$n>=1$,有$|V^{(n)}(1)|>=|U^{(n)}(1)|$而且$V^{(n)}(1)$和$v^{(n)}(1)$同号，$U^{(n)}(1)$和$u^{(n)(1)$同号，它们都是交错正负的。
由此我们可以得出$V^{(n)}(1)+U^{(n)}(1)$的符号同$V^{(n)}(1)$相同，n是奇数时是正，n是偶数时是负(不包含n=0）
这就是40#需要的结论

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-5 20:33
26#定义了$u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，得出$u^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} \sum_{h=n+1}^{+\infty}  ...

这与f(x)有关系否？

mathe

$v(x)=x\ln(1+x)-x\ln(x)$,所以$v'(x)=ln(1+1/x)-1/{1+x}$,而对于$n>=2$,$v^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!x}{(1+x)^n}+(-1)^{n-2}\frac{n(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}-(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n-1}}-(-1)^{n-2}\frac{n(n-2)!}{x^{n-1}}$
所以$v(1)=\ln(2)$,$v'(1)=\ln(2)-\frac1 2$,而对于$n>=2$,$v^{(n)}(1)=(-1)^{n-1}(n-2)!(1-\frac{n+1}{2^n})$

lsr314

$v(x)=xln(1+1/x)=ln2-(ln2-1/2)(1-x)-sum_{n=2}^{∞}1/(n(n-1))(1-(n+1)/2^n)(1-x)^n$
$u(x)=1/xln(1+x)=sum_{n=0}^∞(ln2-\sum_{k=1}^n1/(2^k*k))(1-x)^n=ln2/x-sum_{n=0}^∞(\sum_{k=1}^n1/(2^k*k))(1-x)^n$

lsr314

math.se上有人给出解答了：

mathe

f concave并不能说明$\frac1{1+x}f(x)+\frac x{1+x}f(1/x)<=f(2)$

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-7 15:19
math.se上有人给出解答了：

那如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4呢？

lsr314

mathe 发表于 2018-9-7 17:18
f concave并不能说明$\frac1{1+x}f(x)+\frac x{1+x}f(1/x)

f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1-a)x+ay)=f(x/(1+x)+1/(1+x))=f(1)=4\geq  (1-a)f(x)+af(y)=1/(1+x)(1+x)^(1+1/x)+x/(1+x)(1+1/x)^(1+x)$

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

看来问题基本得到解决。