求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

mathe

这是导函数的问题，所以我们需要分析出导函数有界才行。

mathe

比如16楼分析出$\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}$单调，由此可以得出其取值在-1/2和0之间，可以由此证明题目中函数导数的绝对值在[1/2,2]区间不超过40
于是在这个区间，扣掉1邻域中取值和4差值小于0.01的区间，其余部分采样密度不大于1/4000就可以通过数值计算证明在这个区域函数值都不大于4.但是在x=1的领域，我们就需要通过数值计算证明在这个领域中函数二阶导数恒小于某个负数了，同样我们先需要给三阶导数估计一个上界判断需要的采样密度，而对于[1/2,2]以外部分，由于导函数会无解，10楼的数值计算方法更好

mathe

好像函数$\frac{\ln(1+x)}{x}$的各阶导数均是恒正或恒负的函数，而且在x趋向无穷时趋向0

mathe

$u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$的确是一个很特殊的函数
我们有u的n阶导函数$u^{(n)}(x)=C_n^0(-1)^n \frac{n!\ln(1+x)}{x^{n+1}}+\sum_{h=1}^n C_n^h \frac{(-1)^{n-1}(n-h)!(h-1)!}{x^{n-h+1}(1+x)^h}$
所以
$u^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} (\ln(1+x)-\sum_{h=1}^n \frac{x^h}{h(x+1)^h})$
而
$\ln(1+x)=-\ln(\frac1{1+x})=-\ln(1-\frac x{1+x})=\sum_{h=1}^{+\infty}\frac{x^h}{h(1+x)^h}$
所以我们得出$u^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} \sum_{h=n+1}^{+\infty} \frac{x^h}{h(x+1)^h}$
由此证明了$u(x)$各阶导函数是恒正或恒负的函数，其中偶数阶恒正，奇数阶恒负
所以其各阶导函数都是单调函数，偶数阶单调减，奇数阶单调增
又因为$u(x)=\sum_{h=1}^{+\infty} (-1)^{h-1}\frac{x^{h-1}}{h}$
所以$u^{(n)}(0)=\frac{(-1)^{n-1}n!}{n+1}$,也就是$|u^{(n)}(x)|<=\frac{n!}{n+1}$

mathe

本题中函数为$e^{u(x)}+e^{u(1/x)}$,计算然后利用上面一楼的结果可以放缩得到其三阶导数的绝对值不超过
${21e}/8+{21e}/{8x^6}+{17e}/{6x^5}+{3e}/{x^4}$
于是在区间$[1/2,2]$中$e^{u(x)}+e^{u(1/x)}$的三阶导数绝对值不超过841
由于在x=1附近二阶导数应该约等于-0.078,所以我们只要枚举x=1附近二阶导数，相邻点间距离不超过$9*10^-5$即可证明二阶导数在x=1附近恒小于0，也就是在x=1附近函数值恒不超过4

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-1 10:18
比如16楼分析出$\frac{1}{x(1+x)}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}$单调，由此可以得出其取值在-1/2和0之间，可以由此 ...

你是如何证明此函数是单调的呢？难道是数值计算证明的？

mathe

函数在x=0取0,而导函数形式直接看出大于0,所以对于x>0,函数大于0

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-1 14:58
好像函数$\frac{\ln(1+x)}{x}$的各阶导数均是恒正或恒负的函数，而且在x趋向无穷时趋向0

这是因为：x的无限极点是一阶极点。ln(1+x)的无限极点是零阶极点。

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-1 17:59
函数在x=0取0,而导函数形式直接看出大于0,所以对于x>0,函数大于0

还可以将此定理进行推广————函数在x=0取+，而导函数形式直接看出大于0，所以对于x>0，函数大于0。

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-1 17:59
函数在x=0取0,而导函数形式直接看出大于0,所以对于x>0,函数大于0

能否证明出1+e ≤ (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4？