求证(1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

mathe

函数$h(x)=(2^x-(x+1))(\ln(4)-1)-{x(x-1)}/(x+1)$的导函数为$h'(x)=(2^x\ln(2)-1)(\ln(4)-1)+1-2/(x+1)^2$,显然在$x>=1$时,$h'(x)>0$,而且$h(3)=4(\ln(4)-11/8)>0$,由此我们得出对于$x>=3$,有$h(x)>0$
另外$|u^{(n)}(1)|<={n!}/{(n+1)2^n}$
于是对于$n>=3,{2^n}/{(n-2)!}((\ln(4)-1)|v^{(n)}(1)|-|u^{(n)}(1)|)>=(2^n-(n+1))(\ln(4)-1)-{n(n-1)}/{n+1}>0$
于是我们知道对于$n>=3$,有$\ln(4) |v^{(n)}(1)| >=|u^{(n)}(1)|+|v^{(n)}(1)|$

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-8 11:31
函数$h(x)=(2^x-(x+1))(\ln(4)-1)-{x(x-1)}/(x+1)$的导函数为$h'(x)=(2^x\ln(2)-1)(\ln(4)-1)+1-2/(x+1)^2$ ...

看不出————函数h(x)有何意义？

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

还真是奇了怪了————如此“重大成果”，怎会无人捧场呢？难道楼主另有玄机？

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

通过细心研究，还是发现问题————
1、f[(1-a)x+ay]≥(1-a)f(x)+af(y)是凹函数的基本性质，是推广后的琴生不等式之一。
2、而函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象有凸有凹，不满足使用琴生不等式的充分条件。

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

怎会出现如此奇怪的数学矛盾现象呢？
1、用函数分析法，函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)是凹函数；
2、用图像观察法，函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象有凸有凹。

lsr314

shufubisheng 发表于 2018-9-12 18:52
怎会出现如此奇怪的数学矛盾现象呢？
1、用函数分析法，函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)是凹函数；
2、用图像观 ...

你观察错了……

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-12 19:08
你观察错了……

看看错在哪里？
首先，函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象存在渐近线：y=x+1。
其次，渐近线y=x+1在函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)图象的下方。
再次，当x→ ∞ 时，函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)图象，只有是凸函数，才能接近渐近线y=x+1。

lsr314

shufubisheng 发表于 2018-9-12 19:22
看看错在哪里？
首先，函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象存在渐近线：y=x+1。
其次，渐近线y=x+1在函数f(x) ...

$y=x+1$不是渐近线，$f(x)≈1+x+ln(x)$

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-12 20:15
$y=x+1$不是渐近线，$f(x)≈1+x+ln(x)$

f(x)≈1+x+ln(x)是如何来的？

lsr314

shufubisheng 发表于 2018-9-12 20:42
f(x)≈1+x+ln(x)是如何来的？

直接Mathematica验证吧……