数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
楼主: mathematica

[提问] 如何证明 (1+1/x)^x + (1+x)^(1/x) ≤ 4

[复制链接]
发表于 2018-9-7 18:15:00 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-7 17:18
f concave并不能说明$\frac1{1+x}f(x)+\frac x{1+x}f(1/x)

f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1-a)x+ay)=f(x/(1+x)+1/(1+x))=f(1)=4\geq  (1-a)f(x)+af(y)=1/(1+x)(1+x)^(1+1/x)+x/(1+x)(1+1/x)^(1+x)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-7 19:09:08 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

看来问题基本得到解决。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-8 11:31:28 | 显示全部楼层
函数$h(x)=(2^x-(x+1))(\ln(4)-1)-{x(x-1)}/(x+1)$的导函数为$h'(x)=(2^x\ln(2)-1)(\ln(4)-1)+1-2/(x+1)^2$,显然在$x>=1$时,$h'(x)>0$,而且$h(3)=4(\ln(4)-11/8)>0$,由此我们得出对于$x>=3$,有$h(x)>0$
另外$|u^{(n)}(1)|<={n!}/{(n+1)2^n}$
于是对于$n>=3,{2^n}/{(n-2)!}((\ln(4)-1)|v^{(n)}(1)|-|u^{(n)}(1)|)>=(2^n-(n+1))(\ln(4)-1)-{n(n-1)}/{n+1}>0$
于是我们知道对于$n>=3$,有$\ln(4) |v^{(n)}(1)| >=|u^{(n)}(1)|+|v^{(n)}(1)|$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-8 12:10:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-8 18:26 编辑
mathe 发表于 2018-9-8 11:31
函数$h(x)=(2^x-(x+1))(\ln(4)-1)-{x(x-1)}/(x+1)$的导函数为$h'(x)=(2^x\ln(2)-1)(\ln(4)-1)+1-2/(x+1)^2$ ...


看不出————函数h(x)有何意义?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-8 12:14:51 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

还真是奇了怪了————如此“重大成果”,怎会无人捧场呢?难道楼主另有玄机?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-8 18:52:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-8 18:54 编辑
lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...


通过细心研究,还是发现问题————
1、f[(1-a)x+ay]≥(1-a)f(x)+af(y)是凹函数的基本性质,是推广后的琴生不等式之一。
2、而函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象有凸有凹,不满足使用琴生不等式的充分条件。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-12 18:52:12 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-7 18:15
f concave得出$f((1-a)x+ay)\geq (1-a)f(x)+af(y)$
令$f(x)=(1+x)^(1+1/x),a=x/(1+x),y=1/x$,则
$f((1- ...

怎会出现如此奇怪的数学矛盾现象呢?
1、用函数分析法,函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)是凹函数;
2、用图像观察法,函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象有凸有凹。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-12 19:08:55 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-12 18:52
怎会出现如此奇怪的数学矛盾现象呢?
1、用函数分析法,函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)是凹函数;
2、用图像观 ...

你观察错了……
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-12 19:22:02 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-12 19:08
你观察错了……

看看错在哪里?
首先,函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象存在渐近线:y=x+1。
其次,渐近线y=x+1在函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)图象的下方。
再次,当x→ ∞ 时,函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)图象,只有是凸函数,才能接近渐近线y=x+1。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-12 20:15:08 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-12 19:22
看看错在哪里?
首先,函数f(x)=(1+x)^(1+1/x)的图象存在渐近线:y=x+1。
其次,渐近线y=x+1在函数f(x) ...

$y=x+1$不是渐近线,$f(x)≈1+x+ln(x)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-9-23 21:38 , Processed in 0.057813 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表