求不定方程x+y+z+u+v+m=36的解数，其中未知数皆不是5的倍数

白新岭 · 发表于 2024-3-28 21:44:53

2024年3月28日21:17周四农历二月十九
今天对二三四生素数中项和合成分布做分析，还是从合成方法数与剩余类个数的
关系恒等式谈起，\((P-2)*(P-3)*(P-4)=P^3-9P^2+26P-24=P*(P^2-9P+26)-24\)
平均每个剩余类都拥有:\((P^2-9P+26)\),素数P满足一定条件后，也就最小
素数P问题，从内部合成来看，素数P≥11时就满足了最小条件，之前需具体
问题具体分析，它是弱化版的，或者说是化为“整体1”的存在。
只于后边的常数项-24是如何分配的，完全取决于内部合成。那缺少的24种
合成方法，分布到9个剩余类上，具体来说，它们的分布是：
‘±1≡N)(mod P),这里的N是合成值,一种合成方法；-6，4≡N)(mod P)，二种
合成方法；2，4，6≡N)(mod P，三种合成方法)；-2≡N)(mod P)，四种合成方法
0≡N)(mod P)，五种合成方法。
所以，它们的关系式为：
\((P-2)*(P-3)*(P-4)=1*(P^2-9P+21)+1*(P^2-9P+22)+3*(P^2-9P+23)\\+2*(P^2-9P+24)+2*(P^2-9P+2)+(P-9)*(P^2-9P+26)\)

孪生素数对 0 2
中项置零 -1 1
求其逆元 1 -1

最密3生素数 0 2 6
中项置零 -3 -1 3
求其逆元 3 1 -3

最密4生素数 0 2 6 8
中项置零 -4 -2 2 4
求其逆元 4 2 -2 -4

内部合成 3 1 -3
1 4 2 -2
-1 2 0 -4

相对距离统计2
4 1
2 2
0 1
-2 1
-4 1
合计 6

内部合成 4 2 0 -2 -4
4 8 6 4 2 0
2 6 4 2 0 -2
-2 2 0 -2 -4 -6
-4 0 -2 -4 -6 -8

统计1/2 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1
1 1 2 1 1 1

相对距离统计3
8 1
6 3
4 3
2 3
0 5
-2 4
-4 2
-6 2
-8 1
合计 24

白新岭 · 发表于 2024-3-28 22:02:53

素数 2 3 5 7 11 13
1 1 1 1 1 1 1
-1 1 2 4 6 10 12
未占剩余类 0 0 0 0 0 0
未占剩余类未占 2 2 2 2
未占剩余类申占 3 3 3 3
未占剩余类酉占酉 4 4 4
未占剩余类戌占戌 5 5 5
未占剩余类亥占亥占 6 6
未占剩余类子占子占 7 7
未占剩余类丑占丑占 8 8
未占剩余类寅占寅占 9 9
未占剩余类卯占卯占卯 10
未占剩余类辰占辰占辰 11

素数 2 3 5 7 11 13
3 1 0 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
-3 1 0 2 4 8 10
未占剩余类 0 2 0 0 0 0
未占剩余类未占 4 2 2 2
未占剩余类申占申 5 4 4
未占剩余类酉占酉 6 5 5
未占剩余类戌占戌占 6 6
未占剩余类亥占亥占 7 7
未占剩余类子占子占 9 8
未占剩余类丑占丑占 10 9
未占剩余类寅占寅占寅 11
未占剩余类卯占卯占卯 12

素数 2 3 5 7 11 13
4 0 1 4 4 4 4
2 0 2 2 2 2 2
-2 0 1 3 5 9 11
-4 0 2 1 3 7 9
未占剩余类 1 0 0 0 0 0
未占剩余类未占未 1 1 1
未占剩余类申占申 6 3 3
未占剩余类酉占酉占 5 5
未占剩余类戌占戌占 6 6
未占剩余类亥占亥占 8 7
未占剩余类子占子占 10 8
未占剩余类丑占丑占丑 10
未占剩余类寅占寅占寅 12

能解决问题是一回事
用一种新的方法，非传统方法解决问题又是一回事
数学的进展需要新鲜的血液。

白新岭 · 发表于 2024-3-28 22:35:18

外部合成
二元合成
素数2 0
0 0
三元合成
素数2 0
1 1
合成除2余1的剩余类

二元合成
素数3 0
2 2
三元合成
素数3 2
0 2
合成除3余2的剩余类
素数2,3的作用结果，合成6n+5的正整数

二元合成
素数5 0 2 3
0 0 2 3
4 4 1 2

5剩余类统计2
0 1
1 1
2 2
3 1
4 1
合计 6

三元合成
素数5 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
能合成5的所有剩余类，即完全剩余系

统计2 1 1 2 1 1
1 1 1 2 1 1

5剩余类统计2
0 1
1 1
2 2
3 1
4 1
合计 6

二元合成
素数7 0 2 3 4 5
0 0 2 3 4 5
2 2 4 5 6 0
5 5 0 1 2 3
6 6 1 2 3 4

7剩余类统计2
0 3
1 2
2 4
3 3
4 3
5 3
6 2
合计 20

三元合成
素数7 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
6 6 0 1 2 3 4 5
能合成7的所有剩余类，即完全剩余系

统计2 3 2 4 3 3 3 2
1 3 2 4 3 3 3 2
1 3 2 4 3 3 3 2
1 3 2 4 3 3 3 2

7剩余类统计3
0 7
1 9
2 9
3 10
4 9
5 8
6 8
合计 60

白新岭 · 发表于 2024-3-28 23:38:07

二元合成
素数11 0 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 5 6 7 8 9 10 0
4 4 6 7 8 9 10 0 1 2
5 5 7 8 9 10 0 1 2 3
6 6 8 9 10 0 1 2 3 4
7 7 9 10 0 1 2 3 4 5
9 9 0 1 2 3 4 5 6 7
10 10 1 2 3 4 5 6 7 8

11剩余类统计2
0 7
1 6
2 8
3 6
4 7
5 6
6 6
7 7
8 6
9 7
10 6
合计 72

三元合成
素数11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
3 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
5 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
8 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
合成11的所有剩余类，即完全剩余系

统计1/2 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6
1 7 6 8 6 7 6 6 7 6 7 6

11剩余类统计3
0 43
1 48
2 45
3 47
4 45
5 46
6 45
7 46
8 47
9 44
10 48
合计 504

二元合成
素数13 0 2 4 5 6 7 8 9 11 12
0 0 2 4 5 6 7 8 9 11 12
2 2 4 6 7 8 9 10 11 0 1
3 3 5 7 8 9 10 11 12 1 2
4 4 6 8 9 10 11 12 0 2 3
5 5 7 9 10 11 12 0 1 3 4
6 6 8 10 11 12 0 1 2 4 5
7 7 9 11 12 0 1 2 3 5 6
8 8 10 12 0 1 2 3 4 6 7
9 9 11 0 1 2 3 4 5 7 8
10 10 12 1 2 3 4 5 6 8 9
11 11 0 2 3 4 5 6 7 9 10

13剩余类统计2
0 9
1 8
2 10
3 8
4 9
5 8
6 8
7 8
8 8
9 9
10 8
11 9
12 8
合计 110

三元合成
素数13 0 1 3 5 6 7 8 10 12
0 0 1 3 5 6 7 8 10 12
1 1 2 4 6 7 8 9 11 0
2 2 3 5 7 8 9 10 12 1
3 3 4 6 8 9 10 11 0 2
4 4 5 7 9 10 11 12 1 3
5 5 6 8 10 11 12 0 2 4
6 6 7 9 11 12 0 1 3 5
7 7 8 10 12 0 1 2 4 6
8 8 9 11 0 1 2 3 5 7
9 9 10 12 1 2 3 4 6 8
10 10 11 0 2 3 4 5 7 9
11 11 12 1 3 4 5 6 8 10
12 12 0 2 4 5 6 7 9 11
合成13的所有剩余类，即完全剩余系

统计2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

13剩余类统计3
0 73
1 78
2 75
3 78
4 75
5 77
6 75
7 76
8 77
9 76
10 78
11 74
12 78
合计 990

白新岭 · 发表于 2024-4-8 22:37:47

mathe 发表于 2022-10-19 09:32
后面计算就不难了，但是对于N除以5的余数需要分类，我们现在可以以N除以5的余数为1举例，比如N=36,其中有17 ...

把这些公式同分，即把分母变成一致。则f0（x），分子，分母同乘20，则分子最高此项的系数由原来的41→820，分母是375000；f1（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000；f2（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000；f3（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000；f4（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000。然后仅仅把分子中的最高此项的系数（常数项）加在一起，即820+819+819+819+819=4096=\(4^6\),如果把未知数看成“位置”，每个“位置”有4种选法，排列乘一个有序的6段组码，其选择方法数是4096，与排列组合结合到一起。

白新岭 · 发表于 2024-4-8 23:07:49

本帖最后由白新岭于 2024-4-8 23:10 编辑

mathe 发表于 2022-10-19 09:32
后面计算就不难了，但是对于N除以5的余数需要分类，我们现在可以以N除以5的余数为1举例，比如N=36,其中有17 ...

同分后，分母是375000，这个数字是：（6-1）！*\(5^5\)=120*\(5^5\),谁知道，为什么是未知数的个数减1的阶乘，而不是6的阶乘吗？给排列组合中的隔板法关联吗？例如：\(X_1+X_2+X_3+......+X_{10}=100\),求其正整数解组数，我们可以把100个1排列成一排，然后我们把它分成有序的10个块区，这10个有序的块区，分别对应着10个未知数（变量），它们之间形成了一一对应关系，所以，这100个1的划分成10个块区的方法数就是，线性不定方程的正整数解组数。根据排列组合中的隔板法，它的正整数解组数为：\(C_{99}^9\),100个1之间有99个空隙，隔入9块挡板，就分成有序的10块区。

白新岭 · 发表于 2024-5-7 20:35:14

本帖最后由白新岭于 2024-5-7 20:36 编辑

2024年5月7日20:09周二农历三月廿九
我们分析这样的多元合成，都要从合成方法与剩余类个数的关系恒等式着手。
二元合成:\((P-2)^2=P^2-4P+4=P*(P-4)+4\),这里常数项4，如何分配，由内部合成
决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

三元合成:\((P-2)^3=P^3-6P^2+12P-8=P*(P^2-6P+12)-8\),这里常数项-8，如何分配
，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

四元合成:\((P-2)^4=P^4-8P^3+24P^2-32P+16=P*(P^3-8P^2+24P-32)+16\),这里常数项16，
如何分配，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

五元合成:\((P-2)^5=P^5-10P^4+40P^3-80P^2+80P-32=P*(P^4-10P^3+40P^2-80P+80)-32\),
这里常数项-32，如何分配，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

六元合成:\((P-2)^6=P^6-12P^5+60P^4-160P^3+240P^2-192P+64\\=P*(P^5-12P^4+60P^3-160P^2+240P-192)+64\)
这里常数项64，如何分配，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

白新岭 · 发表于 2024-5-18 23:25:17

N 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
7 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
8 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
9 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
10 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
11 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
13 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
14 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
15 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

tj5 1 5 10 15 25 36 55 85 105 145 190
1 1 5 10 15 25 36 55 85 105 145 190
5 5 25 50 75 125 180 275 425 525 725 950
10 10 50 100 150 250 360 550 850 1050 1450 1900
15 15 75 150 225 375 540 825 1275 1575 2175 2850
25 25 125 250 375 625 900 1375 2125 2625 3625 4750
36 36 180 360 540 900 1296 1980 3060 3780 5220 6840
55 55 275 550 825 1375 1980 3025 4675 5775 7975 10450
85 85 425 850 1275 2125 3060 4675 7225 8925 12325 16150
105 105 525 1050 1575 2625 3780 5775 8925 11025 15225 19950
145 145 725 1450 2175 3625 5220 7975 12325 15225 21025 27550
190 190 950 1900 2850 4750 6840 10450 16150 19950 27550 36100

N tj10
10 1
11 10
12 45
13 130
14 300
15 622
16 1195
17 2190
18 3865
19 6490
20 10526
这是解\(X_1+X_2+X_3+......+X_9+X_{10}=N\) 对于N对应的满足条件的正整数解组数。其中变量（未知数）不能取5的倍数，及除5余3的正整数。

白新岭 · 发表于 2024-5-19 16:48:08

线性不定方程：\(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6=N\),未知数（或变量）不能取5的倍数，及除5余3的正整数，能取其余的正整数，求N对应的满足条件的正整数解组数。
利用待定系数法，先求出前6周的实际数据（T=5,6周为30，即求出N=30以前所有结果）
公式表达式:\({at^5+bt^4+ct^3+dt^2+et+f}\over{120}\)
最终系数为：
f 120e 120d 120c 120b 120a
0 120 120 120 120 120
0 -48 70 260 -430 148
0 52 -30 160 -330 148
0 60 100 -200 -100 140
0 72 -30 -165 -30 153
0 -40 -150 -100 150 140
合计 0 96 -40 -45 -740 729

f 120e 120d 120c 120b 120a 1周 2周 3周 4周
0 120 120 120 120 120 1T 2T 3T 4T
0 -48 70 260 -430 148 0 1 72 492
0 52 -30 160 -330 148 0 6 112 642
0 60 100 -200 -100 140 0 15 180 890
0 72 -30 -165 -30 153 0 26 252 1152
0 -40 -150 -100 150 140 0 45 350 1440
0 96 -40 -45 -740 729 0 93 966 4616

5周 6周 7周 8周 9周 10周
5T 6T 7T 8T 9T 10T
1898 5433 12894 26880 50940 89721
2298 6308 14574 29820 55740 97146
2940 7665 17080 34020 62280 106755
3653 9288 20349 40040 72630 123606
4290 10465 22260 42840 76380 128205
15079 39159 87157 173600 317970 545433

白新岭 · 发表于 2024-5-22 15:51:34

2024年5月22日14:59周三农历四月十五
我们利用二项式展开式定理来分析合成结果，a代表模5余1的正整数，b代表模5余2的正整数。
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),形成三种不同的组合，它们的乘法形式，与其加法形式同构，
是一一对应的关系，所以，二维加法组合，与其结果，完全对称：a^2对应(2a)，2ab对应着2*(a+b)
b^2对应着(2b)，小括号的模5运算结果，(2a)是模5余2的正整数；（a+b）是模5余3的正整数；
(2b)是模5余4的正整数.所以，二元二维运算，只能合成模5的3个剩余类。
随着维次的增加，合成数，剩余类个数增加，与二项式展开式的，同类项合并结果一致。
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),有四种不同组合，所以，能合成4个剩余类（模5的）。
\((a+b)^=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\),有五种不同组合，所以，能合成5个剩余类（模5的）。
也就是说，如果，仅仅用5的2个剩余类，进行加法合成，未知数的个数（变量的个数）只有达到
4个以上，才能合成模5的所有剩余类。从这里，我们可以看出，单一的剩余类是无法多样化的。
它就好像乘法运算中的单位1一样，只能随着维数的增大，向不同的剩余类变来变去，但是，
任何一步，都是获得一个剩余类（而得不到2个剩余类以上），直到永远。
例如，就拿模5余1的正整数来说，两个这样的数相加，是得到模5余2的数；三个相加是
得到模5余3的数；四个数相加是得到模5余4的数；五个数相加是得到模5余0的数；六个数
相加是得到模5余1的数；七个数相加是得到模5余2的数；……周而复始，任何m元相加只能
得到模5的一个剩余类，永远得不到2个以上的剩余类，所以要想“多样化”，获得不同的
剩余类，就需要自变量（未知数）至少能取两种以上的剩余类才行。
如果用5的三个剩余类，则在2维空间中就能全部合成了：\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
比如，a是模5余1的正整数，b是模5余2的正整数，c是模5余3的正整数（其实它们可以是模5余中，
5个剩余类的任意组合,有\(C_5^3=20种\),a^2对应模5余2的数,b^2对应模5余4的数,c^2对应模5余1的数
(ab)对应模5余3的数,(bc)对应模5余0的数,(ca)对应模5余4的数,所以，合成模5余4的数是最多的。

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[提问] 求不定方程x+y+z+u+v+m=36的解数，其中未知数皆不是5的倍数

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