求不定方程x+y+z+u+v+m=36的解数， 其中未知数皆不是5的倍数

白新岭

2024年3月28日21:17周四农历二月十九
今天对二三四生素数中项和合成分布做分析，还是从合成方法数与剩余类个数的
关系恒等式谈起，\((P-2)*(P-3)*(P-4)=P^3-9P^2+26P-24=P*(P^2-9P+26)-24\)
平均每个剩余类都拥有:\((P^2-9P+26)\),素数P满足一定条件后，也就最小
素数P问题，从内部合成来看，素数P≥11时就满足了最小条件，之前需具体
问题具体分析，它是弱化版的，或者说是化为“整体1”的存在。
只于后边的常数项-24是如何分配的，完全取决于内部合成。那缺少的24种
合成方法，分布到9个剩余类上，具体来说，它们的分布是：
‘±1≡N)(mod P),这里的N是合成值,一种合成方法；-6，4≡N)(mod P)，二种
合成方法；2，4，6≡N)(mod P，三种合成方法)；-2≡N)(mod P)，四种合成方法
0≡N)(mod P)，五种合成方法。
所以，它们的关系式为：
\((P-2)*(P-3)*(P-4)=1*(P^2-9P+21)+1*(P^2-9P+22)+3*(P^2-9P+23)\\+2*(P^2-9P+24)+2*(P^2-9P+2)+(P-9)*(P^2-9P+26)\)

孪生素数对        0        2               
中项置零        -1        1               
求其逆元        1        -1               

最密3生素数        0        2        6       
中项置零        -3        -1        3       
求其逆元        3        1        -3       

最密4生素数        0        2        6        8
中项置零        -4        -2        2        4
求其逆元        4        2        -2        -4

内部合成        3        1        -3       
1        4        2        -2       
-1        2        0        -4       

相对距离        统计2
4        1
2        2
0        1
-2        1
-4        1
合计        6

内部合成        4        2        0        -2        -4
4        8        6        4        2        0
2        6        4        2        0        -2
-2        2        0        -2        -4        -6
-4        0        -2        -4        -6        -8

统计1/2        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1
1        1        2        1        1        1

相对距离        统计3
8        1
6        3
4        3
2        3
0        5
-2        4
-4        2
-6        2
-8        1
合计        24

白新岭

素数        2        3        5        7        11        13
1        1        1        1        1        1        1
-1        1        2        4        6        10        12
未占剩余类        0        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        2        2        2        2
未占剩余类        申        占        3        3        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        4        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        5        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        8        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        9        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        10
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        11

素数        2        3        5        7        11        13
3        1        0        3        3        3        3
1        1        1        1        1        1        1
-3        1        0        2        4        8        10
未占剩余类        0        2        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        4        2        2        2
未占剩余类        申        占        申        5        4        4
未占剩余类        酉        占        酉        6        5        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        6        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        7        7
未占剩余类        子        占        子        占        9        8
未占剩余类        丑        占        丑        占        10        9
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        11
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        12

素数        2        3        5        7        11        13
4        0        1        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11
-4        0        2        1        3        7        9
未占剩余类        1        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        1        1        1
未占剩余类        申        占        申        6        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        5        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        6        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        8        7
未占剩余类        子        占        子        占        10        8
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        10
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        12

能解决问题是一回事
用一种新的方法，非传统方法解决问题又是一回事
数学的进展需要新鲜的血液。

白新岭

外部合成                       
二元合成                       
素数2        0               
0        0
三元合成       
素数2        0
1        1
合成除2余1的剩余类       

二元合成       
素数3        0
2        2
三元合成       
素数3        2
0        2
合成除3余2的剩余类       
素数2,3的作用结果，合成6n+5的正整数       

二元合成       
素数5        0        2        3
0        0        2        3
4        4        1        2

5剩余类        统计2
0        1
1        1
2        2
3        1
4        1
合计        6

三元合成                                       
素数5        0        1        2        3        4
0        0        1        2        3        4
能合成5的所有剩余类，即完全剩余系                                       

统计2        1        1        2        1        1
1        1        1        2        1        1

5剩余类        统计2
0        1
1        1
2        2
3        1
4        1
合计        6

二元合成                                       
素数7        0        2        3        4        5
0        0        2        3        4        5
2        2        4        5        6        0
5        5        0        1        2        3
6        6        1        2        3        4

7剩余类        统计2
0        3
1        2
2        4
3        3
4        3
5        3
6        2
合计        20

三元合成                                                       
素数7        0        1        2        3        4        5        6
0        0        1        2        3        4        5        6
1        1        2        3        4        5        6        0
6        6        0        1        2        3        4        5
能合成7的所有剩余类，即完全剩余系                                                       

统计2        3        2        4        3        3        3        2
1        3        2        4        3        3        3        2
1        3        2        4        3        3        3        2
1        3        2        4        3        3        3        2

7剩余类        统计3
0        7
1        9
2        9
3        10
4        9
5        8
6        8
合计        60

白新岭

二元合成                                                                       
素数11        0        2        3        4        5        6        7        8        9
0        0        2        3        4        5        6        7        8        9
2        2        4        5        6        7        8        9        10        0
4        4        6        7        8        9        10        0        1        2
5        5        7        8        9        10        0        1        2        3
6        6        8        9        10        0        1        2        3        4
7        7        9        10        0        1        2        3        4        5
9        9        0        1        2        3        4        5        6        7
10        10        1        2        3        4        5        6        7        8

11剩余类        统计2
0        7
1        6
2        8
3        6
4        7
5        6
6        6
7        7
8        6
9        7
10        6
合计        72

三元合成                                                                                       
素数11        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
0        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
1        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        0
3        3        4        5        6        7        8        9        10        0        1        2
5        5        6        7        8        9        10        0        1        2        3        4
6        6        7        8        9        10        0        1        2        3        4        5
8        8        9        10        0        1        2        3        4        5        6        7
10        10        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9
合成11的所有剩余类，即完全剩余系                                                                                       

统计1/2        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6
1        7        6        8        6        7        6        6        7        6        7        6

11剩余类        统计3
0        43
1        48
2        45
3        47
4        45
5        46
6        45
7        46
8        47
9        44
10        48
合计        504

二元合成                                                                               
素数13        0        2        4        5        6        7        8        9        11        12
0        0        2        4        5        6        7        8        9        11        12
2        2        4        6        7        8        9        10        11        0        1
3        3        5        7        8        9        10        11        12        1        2
4        4        6        8        9        10        11        12        0        2        3
5        5        7        9        10        11        12        0        1        3        4
6        6        8        10        11        12        0        1        2        4        5
7        7        9        11        12        0        1        2        3        5        6
8        8        10        12        0        1        2        3        4        6        7
9        9        11        0        1        2        3        4        5        7        8
10        10        12        1        2        3        4        5        6        8        9
11        11        0        2        3        4        5        6        7        9        10

13剩余类        统计2
0        9
1        8
2        10
3        8
4        9
5        8
6        8
7        8
8        8
9        9
10        8
11        9
12        8
合计        110

三元合成                                                                       
素数13        0        1        3        5        6        7        8        10        12
0        0        1        3        5        6        7        8        10        12
1        1        2        4        6        7        8        9        11        0
2        2        3        5        7        8        9        10        12        1
3        3        4        6        8        9        10        11        0        2
4        4        5        7        9        10        11        12        1        3
5        5        6        8        10        11        12        0        2        4
6        6        7        9        11        12        0        1        3        5
7        7        8        10        12        0        1        2        4        6
8        8        9        11        0        1        2        3        5        7
9        9        10        12        1        2        3        4        6        8
10        10        11        0        2        3        4        5        7        9
11        11        12        1        3        4        5        6        8        10
12        12        0        2        4        5        6        7        9        11
合成13的所有剩余类，即完全剩余系                                                                       

统计2        1        1        1        1        1        1        1        1        1
9        9        9        9        9        9        9        9        9        9
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
10        10        10        10        10        10        10        10        10        10
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
9        9        9        9        9        9        9        9        9        9
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
9        9        9        9        9        9        9        9        9        9
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8
9        9        9        9        9        9        9        9        9        9
8        8        8        8        8        8        8        8        8        8

13剩余类        统计3
0        73
1        78
2        75
3        78
4        75
5        77
6        75
7        76
8        77
9        76
10        78
11        74
12        78
合计        990

白新岭

mathe 发表于 2022-10-19 09:32
后面计算就不难了，但是对于N除以5的余数需要分类，我们现在可以以N除以5的余数为1举例，比如N=36,其中有17 ...

把这些公式同分，即把分母变成一致。则f0（x），分子，分母同乘20，则分子最高此项的系数由原来的41→820，分母是375000；f1（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000；f2（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000；f3（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000；f4（x），分子，分母同乘3，则分子最高此项的系数由原来的273→819，分母是375000。然后仅仅把分子中的最高此项的系数（常数项）加在一起，即820+819+819+819+819=4096=\(4^6\),如果把未知数看成“位置”，每个“位置”有4种选法，排列乘一个有序的6段组码，其选择方法数是4096，与排列组合结合到一起。

白新岭

mathe 发表于 2022-10-19 09:32
后面计算就不难了，但是对于N除以5的余数需要分类，我们现在可以以N除以5的余数为1举例，比如N=36,其中有17 ...

同分后，分母是375000，这个数字是：（6-1）！*\(5^5\)=120*\(5^5\),谁知道，为什么是未知数的个数减1的阶乘，而不是6的阶乘吗？给排列组合中的隔板法关联吗？例如：\(X_1+X_2+X_3+......+X_{10}=100\),求其正整数解组数，我们可以把100个1排列成一排，然后我们把它分成有序的10个块区，这10个有序的块区，分别对应着10个未知数（变量），它们之间形成了一一对应关系，所以，这100个1的划分成10个块区的方法数就是，线性不定方程的正整数解组数。根据排列组合中的隔板法，它的正整数解组数为：\(C_{99}^9\),100个1之间有99个空隙，隔入9块挡板，就分成有序的10块区。

白新岭

2024年5月7日20:09周二农历三月廿九
我们分析这样的多元合成，都要从合成方法与剩余类个数的关系恒等式着手。
二元合成:\((P-2)^2=P^2-4P+4=P*(P-4)+4\),这里常数项4，如何分配，由内部合成
决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

三元合成:\((P-2)^3=P^3-6P^2+12P-8=P*(P^2-6P+12)-8\),这里常数项-8，如何分配
，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

四元合成:\((P-2)^4=P^4-8P^3+24P^2-32P+16=P*(P^3-8P^2+24P-32)+16\),这里常数项16，
如何分配，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

五元合成:\((P-2)^5=P^5-10P^4+40P^3-80P^2+80P-32=P*(P^4-10P^3+40P^2-80P+80)-32\),
这里常数项-32，如何分配，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

六元合成:\((P-2)^6=P^6-12P^5+60P^4-160P^3+240P^2-192P+64\\=P*(P^5-12P^4+60P^3-160P^2+240P-192)+64\)
这里常数项64，如何分配，由内部合成决定；而具体分布，有素数P的外部合成所决定。

白新岭

N        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15
5        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20
6        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21
7        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22
8        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23
9        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24
10        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25
11        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25        26
12        17        18        19        20        21        22        23        24        25        26        27
13        18        19        20        21        22        23        24        25        26        27        28
14        19        20        21        22        23        24        25        26        27        28        29
15        20        21        22        23        24        25        26        27        28        29        30

tj5        1        5        10        15        25        36        55        85        105        145        190
1        1        5        10        15        25        36        55        85        105        145        190
5        5        25        50        75        125        180        275        425        525        725        950
10        10        50        100        150        250        360        550        850        1050        1450        1900
15        15        75        150        225        375        540        825        1275        1575        2175        2850
25        25        125        250        375        625        900        1375        2125        2625        3625        4750
36        36        180        360        540        900        1296        1980        3060        3780        5220        6840
55        55        275        550        825        1375        1980        3025        4675        5775        7975        10450
85        85        425        850        1275        2125        3060        4675        7225        8925        12325        16150
105        105        525        1050        1575        2625        3780        5775        8925        11025        15225        19950
145        145        725        1450        2175        3625        5220        7975        12325        15225        21025        27550
190        190        950        1900        2850        4750        6840        10450        16150        19950        27550        36100

N        tj10
10        1
11        10
12        45
13        130
14        300
15        622
16        1195
17        2190
18        3865
19        6490
20        10526
这是解\(X_1+X_2+X_3+......+X_9+X_{10}=N\)  对于N对应的满足条件的正整数解组数。其中变量（未知数）不能取5的倍数，及除5余3的正整数。

白新岭

线性不定方程：\(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6=N\),未知数（或变量）不能取5的倍数，及除5余3的正整数，能取其余的正整数，求N对应的满足条件的正整数解组数。
       利用待定系数法，先求出前6周的实际数据（T=5,6周为30，即求出N=30以前所有结果）
公式表达式:\({at^5+bt^4+ct^3+dt^2+et+f}\over{120}\)
最终系数为：
        f        120e        120d        120c        120b        120a
        0        120        120        120        120        120
        0        -48        70        260        -430        148
        0        52        -30        160        -330        148
        0        60        100        -200        -100        140
        0        72        -30        -165        -30        153
        0        -40        -150        -100        150        140
合计        0        96        -40        -45        -740        729

f        120e        120d        120c        120b        120a        1周        2周        3周        4周
0        120        120        120        120        120        1T        2T        3T        4T
0        -48        70        260        -430        148        0        1        72        492
0        52        -30        160        -330        148        0        6        112        642
0        60        100        -200        -100        140        0        15        180        890
0        72        -30        -165        -30        153        0        26        252        1152
0        -40        -150        -100        150        140        0         45        350        1440
0        96        -40        -45        -740        729        0         93        966        4616

5周        6周        7周        8周        9周        10周
5T        6T        7T        8T        9T        10T
1898        5433        12894        26880        50940        89721
2298        6308        14574        29820        55740        97146
2940        7665        17080        34020        62280        106755
3653        9288        20349        40040        72630        123606
4290        10465        22260        42840        76380        128205
15079        39159        87157        173600        317970        545433

白新岭

2024年5月22日14:59周三农历四月十五
我们利用二项式展开式定理来分析合成结果，a代表模5余1的正整数，b代表模5余2的正整数。
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\),形成三种不同的组合，它们的乘法形式，与其加法形式同构，
是一一对应的关系，所以，二维加法组合，与其结果，完全对称：a^2对应(2a)，2ab对应着2*(a+b)
b^2对应着(2b)，小括号的模5运算结果，(2a)是模5余2的正整数；（a+b）是模5余3的正整数；
(2b)是模5余4的正整数.所以，二元二维运算，只能合成模5的3个剩余类。
     随着维次的增加，合成数，剩余类个数增加，与二项式展开式的，同类项合并结果一致。
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\),有四种不同组合，所以，能合成4个剩余类（模5的）。
\((a+b)^=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\),有五种不同组合，所以，能合成5个剩余类（模5的）。
也就是说，如果，仅仅用5的2个剩余类，进行加法合成，未知数的个数（变量的个数）只有达到
4个以上，才能合成模5的所有剩余类。从这里，我们可以看出，单一的剩余类是无法多样化的。
它就好像乘法运算中的单位1一样，只能随着维数的增大，向不同的剩余类变来变去，但是，
任何一步，都是获得一个剩余类（而得不到2个剩余类以上），直到永远。
    例如，就拿模5余1的正整数来说，两个这样的数相加，是得到模5余2的数；三个相加是
得到模5余3的数；四个数相加是得到模5余4的数；五个数相加是得到模5余0的数；六个数
相加是得到模5余1的数；七个数相加是得到模5余2的数；……周而复始，任何m元相加只能
得到模5的一个剩余类，永远得不到2个以上的剩余类，所以要想“多样化”，获得不同的
剩余类，就需要自变量（未知数）至少能取两种以上的剩余类才行。
如果用5的三个剩余类，则在2维空间中就能全部合成了：\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
比如，a是模5余1的正整数，b是模5余2的正整数，c是模5余3的正整数（其实它们可以是模5余中，
5个剩余类的任意组合,有\(C_5^3=20种\),a^2对应模5余2的数,b^2对应模5余4的数,c^2对应模5余1的数
(ab)对应模5余3的数,(bc)对应模5余0的数,(ca)对应模5余4的数,所以，合成模5余4的数是最多的。