对变量有同余要求的不定方程计数问题

白新岭 · 发表于 2022-10-17 22:49:41

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王守恩发表于 2022-10-17 09:14
1楼说得好:题目意思写的不是很清楚。

小结一下，共4条。其中第1条,第2条已解决。

在数学中国的，哥德巴赫猜想专版，我对你有一个高度评价，除了你，任何人，都对x+y+z+u+v+m=N的正整数解组数没有研究，那个方程的限制条件是：未知数的取值为模5不为0的自然数，求N=36的解组数。

白新岭 · 发表于 2022-10-18 07:37:06

求x+y+z+u+v+m=N的解组数 (要求所有变量是自然数而且不是5的倍数）
http://www.mathchina.com/bbs/for ... 7&fromuid=37263
(出处: 数学中国)
这是我发在数学中国上的一个主题，感兴趣可以看一下。

mathe · 发表于 2022-10-19 09:20:23

白新岭发表于 2022-10-17 22:49
在数学中国的，哥德巴赫猜想专版，我对你有一个高度评价，除了你，任何人，都对x+y+z+u+v+m=N的正整数解 ...

限制变量不是5的倍数这个要求比较奇怪，所以大家没有兴趣很正常，不是说明题目有多困难。
这个问题需要对N关于5的余数进行分类，不同的类别采用不同的计算方案。
然后同样我们对x,y,z,u,v,m关于5的余数也进行分类，这时通常会出现不同变量余数相同的情况，可以合并计算，这样分类的数目就不会很多了。
而N除以5的余数分别为0~4时，得到变量关于5的余数分别有16或17类，具体计算结果如下:
T0:
1 1 1 1 2 4 Used 10 Weight 30
1 1 1 1 3 3 Used 10 Weight 15
1 1 1 2 2 3 Used 10 Weight 60
1 1 1 4 4 4 Used 15 Weight 20
1 1 2 2 2 2 Used 10 Weight 15
1 1 2 3 4 4 Used 15 Weight 180
1 1 3 3 3 4 Used 15 Weight 60
1 2 2 2 4 4 Used 15 Weight 60
1 2 2 3 3 4 Used 15 Weight 180
1 2 3 3 3 3 Used 15 Weight 30
1 3 4 4 4 4 Used 20 Weight 30
2 2 2 2 3 4 Used 15 Weight 30
2 2 2 3 3 3 Used 15 Weight 20
2 2 4 4 4 4 Used 20 Weight 15
2 3 3 4 4 4 Used 20 Weight 60
3 3 3 3 4 4 Used 20 Weight 15
Total 16 patterns 820 WeightSum
T1:
1 1 1 1 1 1 Used 6  Weight 1
1 1 1 1 3 4 Used 11 Weight 30
1 1 1 2 2 4 Used 11 Weight 60
1 1 1 2 3 3 Used 11 Weight 60
1 1 2 2 2 3 Used 11 Weight 60
1 1 2 4 4 4 Used 16 Weight 60
1 1 3 3 4 4 Used 16 Weight 90
1 2 2 2 2 2 Used 11 Weight 6
1 2 2 3 4 4 Used 16 Weight 180
1 2 3 3 3 4 Used 16 Weight 120
1 3 3 3 3 3 Used 16 Weight 6
1 4 4 4 4 4 Used 21 Weight 6
2 2 2 2 4 4 Used 16 Weight 15
2 2 2 3 3 4 Used 16 Weight 60
2 2 3 3 3 3 Used 16 Weight 15
2 3 4 4 4 4 Used 21 Weight 30
3 3 3 4 4 4 Used 21 Weight 20
Total 17 patterns 819 WeightSum
T2:
1 1 1 1 1 2 Used 7  Weight 6
1 1 1 1 4 4 Used 12 Weight 15
1 1 1 2 3 4 Used 12 Weight 120
1 1 1 3 3 3 Used 12 Weight 20
1 1 2 2 2 4 Used 12 Weight 60
1 1 2 2 3 3 Used 12 Weight 90
1 1 3 4 4 4 Used 17 Weight 60
1 2 2 2 2 3 Used 12 Weight 30
1 2 2 4 4 4 Used 17 Weight 60
1 2 3 3 4 4 Used 17 Weight 180
1 3 3 3 3 4 Used 17 Weight 30
2 2 2 2 2 2 Used 12 Weight 1
2 2 2 3 4 4 Used 17 Weight 60
2 2 3 3 3 4 Used 17 Weight 60
2 3 3 3 3 3 Used 17 Weight 6
2 4 4 4 4 4 Used 22 Weight 6
3 3 4 4 4 4 Used 22 Weight 15
Total 17 patterns 819 WeightSum
T3:
1 1 1 1 1 2 Used 7  Weight 6
1 1 1 1 4 4 Used 12 Weight 15
1 1 1 2 3 4 Used 12 Weight 120
1 1 1 3 3 3 Used 12 Weight 20
1 1 2 2 2 4 Used 12 Weight 60
1 1 2 2 3 3 Used 12 Weight 90
1 1 3 4 4 4 Used 17 Weight 60
1 2 2 2 2 3 Used 12 Weight 30
1 2 2 4 4 4 Used 17 Weight 60
1 2 3 3 4 4 Used 17 Weight 180
1 3 3 3 3 4 Used 17 Weight 30
2 2 2 2 2 2 Used 12 Weight 1
2 2 2 3 4 4 Used 17 Weight 60
2 2 3 3 3 4 Used 17 Weight 60
2 3 3 3 3 3 Used 17 Weight 6
2 4 4 4 4 4 Used 22 Weight 6
3 3 4 4 4 4 Used 22 Weight 15
Total 17 patterns 819 WeightSum
T4:
1 1 1 1 1 4 Used 9  Weight 6
1 1 1 1 2 3 Used 9  Weight 30
1 1 1 2 2 2 Used 9  Weight 20
1 1 1 3 4 4 Used 14 Weight 60
1 1 2 2 4 4 Used 14 Weight 90
1 1 2 3 3 4 Used 14 Weight 180
1 1 3 3 3 3 Used 14 Weight 15
1 2 2 2 3 4 Used 14 Weight 120
1 2 2 3 3 3 Used 14 Weight 60
1 2 4 4 4 4 Used 19 Weight 30
1 3 3 4 4 4 Used 19 Weight 60
2 2 2 2 2 4 Used 14 Weight 6
2 2 2 2 3 3 Used 14 Weight 15
2 2 3 4 4 4 Used 19 Weight 60
2 3 3 3 4 4 Used 19 Weight 60
3 3 3 3 3 4 Used 19 Weight 6
4 4 4 4 4 4 Used 24 Weight 1
Total 17 patterns 819 WeightSum

mathe · 发表于 2022-10-19 09:32:00

后面计算就不难了，但是对于N除以5的余数需要分类，我们现在可以以N除以5的余数为1举例，比如N=36,其中有17个分类，每个分类都要类似处理，比如其中第二个分类
1 1 1 1 3 4 Used 11 Weight 30
由于6个余数已经使用了11，所以余下还有(36-11)/5=5个5的倍数可以自由分配到6个变量，每个变量可以最少分配到0个5的倍数，最多5个5的倍数。使用隔板法可以知道这种分配方案共$C_{5+6-1}^5=252$种。由于这个类别中通过交换变量位置又有30种不同的选择，所以共252*30=7560种。
依次处理所有的17个类别累加就可以得到结果了。
而上面的计算过程也说明对于通常情况，只要N充分大（不小于24），我们就可以把结果写成5个N的5次多项式(N除以5的每个余数使用一个)
比如可以得到$N -= h (mod 5)$而且$N \ge 20$时，数目为 $f_h(N)$,其中
$f_0(x)=\frac{27500x-2125x^3+41x^5}{18750}$
$f_1(x)=\frac{- 139048+ 145090x + 7495x^2- 13795x^3 - 15x^4 +273x^5 }{125000}$
$f_2(x)=\frac{-86136+82390x+4685x^2-13255x^3-5x^4+273x^5}{125000}$
$f_3(x)=\frac{86136+82390x-4685x^2-13255x^3+5x^4+273x^5}{125000}$
$f_4(x)=\frac{139048+145090x-7495x^2-13795x^3+15x^4+273x^5}{125000}$

另外$f_1(36)=126826$,所以N=36时应该126826组解（交换不同变量的值代表不同解)

王守恩 · 发表于 2022-10-19 12:57:17

mathe 发表于 2022-10-19 09:32
后面计算就不难了，但是对于N除以5的余数需要分类，我们现在可以以N除以5的余数为1举例，比如N=36,其中有17 ...

把5串数串起来！

Table[(41 n^5 - 2125 n^3 + 27500 n)/18750*Floor[(n + 5)/5 - Floor[(n + 4)/5]]

+ (273 n^5 - 15n^4 - 13795 n^3 + 7495 n^2+145090 n-139048)/125000*Floor[(n + 4)/5 - Floor[(n + 3)/5]]

+ (273 n^5 - 5 n^4 - 13255 n^3 + 4685 n^2 + 82390 n - 86136)/125000*Floor[(n + 3)/5 - Floor[(n + 2)/5]]

+ (273 n^5+ 5 n^4 - 13255 n^3 - 4685 n^2 + 82390 n + 86136)/125000*Floor[(n + 2)/5 - Floor[(n + 1)/5]]

+ (273 n^5+15n^4 - 13795 n^3 - 7495 n^2+145090 n +139048)/125000*Floor[(n + 1)/5 - Floor[n/5]], {n, 1, 36}]

{0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 21, 56, 120, 222, 372, 582, 882, 1300, 1863, 2598, 3513, 4668, 6120, 7924, 10149, 12774,

15899, 19620, 24024, 29274, 35274, 42174, 50120, 59220, 69825, 81690, 95025, 110040, 126826}

王守恩 · 发表于 2022-10-20 07:47:08

王守恩发表于 2022-10-19 12:57
把5串数串起来！

Table[(41 n^5 - 2125 n^3 + 27500 n)/18750*Floor[(n + 5)/5 - Floor[(n + 4)/5]]
...

独立的 5 串数，可以有统一的递推公式。(若 5 换一换，是否有启发)

$a(n) == 6 a(n - 1) - 15 a(n - 2) + 20 a(n - 3)- 15 a(n - 4) + 6 a(n - 5) - a(n - 6)$

LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-56, 0, 0, 1, 222, 1863}, 15]

{-56, 0, 0, 1, 222, 1863, 7924, 24024, 59220, 126826, 245232, 438723, 738298, 1182489, 1818180}

LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-21, 0, 0, 6, 372, 2598}, 15]

{-21, 0, 0, 6, 372, 2598, 10149, 29274, 69825, 146076, 277542, 489798, 815298, 1294194, 1975155}

LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-6, 0, 0, 21, 582, 3513}, 15]

{-6, 0, 0, 21, 582, 3513, 12774, 35274, 81690, 167286, 312732, 544923, 897798, 1413159, 2141490}

LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-1, 0, 0, 56, 882, 4668}, 15]

{-1, 0, 0, 56, 882, 4668, 15899, 42174, 95025, 190736, 351162, 604548, 986348, 1540044, 2317965}

LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {0, 0, 0, 120, 1300, 6120}, 15]

{0, 0, 0, 120,1300,6120, 19620, 50120,110040,216720, 393240, 669240,1081740,1675960, 2506140}

王守恩 · 发表于 2022-10-20 19:00:41

x+y+z+u+v+m=N的解组数，限制条件未知数取数不能取4的倍数

   N是4的倍数余数是0，  LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-21,0, 0, 0,21, 267}, 15]

{-21,0, 0, 0,21, 267, 1308, 4263, 10983, 24234, 47880, 87066, 148401, 240141, 372372, 557193, 808899, 1144164}

   N是4的倍数余数是1，  LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-6, 0, 0, 0, 50, 426}, 15]

{-6, 0, 0, 0, 50, 426, 1812, 5482, 13482, 28812, 55608, 99324, 166914, 267014, 410124, 608790, 877786, 1234296}

   N是4的倍数余数是2，  LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {-1, 0, 0, 1, 96, 651}, 15]

{-1, 0, 0, 1, 96, 651, 2487, 7062, 16653, 34538, 65178,114399, 189574, 299805, 456105, 671580, 961611, 1344036}

   N是4的倍数余数是3，  LinearRecurrence[{6, -15, 20, -15, 6, -1}, {0, 0, 0, 6, 162, 932}, 15]

{0, 0, 0, 6,162, 932, 3282, 8862, 20188, 40824, 75564, 130614, 213774, 334620, 504686, 737646,1049496,1458736}

白新岭 · 发表于 2022-10-20 19:36:18

模5矩阵 0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.8 1 1.2 1.4 1.6
5的剩余类统计2
0.4 1
0.6 2
0.8 3
1 4
1.2 3
1.4 2
1.6 1
合计 16

白新岭 · 发表于 2022-10-20 19:37:07

5的剩余类 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0.4 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
1.2 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
1.4 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
1.6 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

统计2 1 2 3 4 3 2 1
1 1 2 3 4 3 2 1
2 2 4 6 8 6 4 2
3 3 6 9 12 9 6 3
4 4 8 12 16 12 8 4
3 3 6 9 12 9 6 3
2 2 4 6 8 6 4 2
1 1 2 3 4 3 2 1

分值统计4
0.8 1
1 4
1.2 10
1.4 20
1.6 31
1.8 40
2 44
2.2 40
2.4 31
2.6 20
2.8 10
3 4
3.2 1
合计 256

白新岭 · 发表于 2022-10-20 19:38:13

5的剩余类 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
1 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
1.2 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
1.4 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
1.6 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
1.8 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6
2.2 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
2.4 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
2.6 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
2.8 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4
3 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6
3.2 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8

统计2 1 2 3 4 3 2 1
1 1 2 3 4 3 2 1
4 4 8 12 16 12 8 4
10 10 20 30 40 30 20 10
20 20 40 60 80 60 40 20
31 31 62 93 124 93 62 31
40 40 80 120 160 120 80 40
44 44 88 132 176 132 88 44
40 40 80 120 160 120 80 40
31 31 62 93 124 93 62 31
20 20 40 60 80 60 40 20
10 10 20 30 40 30 20 10
4 4 8 12 16 12 8 4
1 1 2 3 4 3 2 1

分值统计6
1.2 1
1.4 6
1.6 21
1.8 56
2 120
2.2 216
2.4 336
2.6 456
2.8 546
3 580
3.2 546
3.4 456
3.6 336
3.8 216
4 120
4.2 56
4.4 21
4.6 6
4.8 1
合计 4096

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