用代数数逼近π

wayne · 发表于 2010-8-22 16:29:06

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我们知道，Pi是不能用有理系数多项式方程的根表示的。
那有没有什么方法可以找出Pi的一个最优的代数数表示呢？

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比如，用有理数逼近Pi，我们可以根据pi的连分数展开来逼近。
那，如果要是用二次方程，三次方程的根来逼近，最好的能逼近到什么程度呢

wayne · 发表于 2010-8-22 16:35:25

有点乱，感觉这样问很弱。
应该限定一下方程的系数的大小范围

无心人 · 发表于 2010-8-22 19:38:56

不超过十次根吧
根式嵌套不要超过三层

没——问题 · 发表于 2010-8-22 21:02:35

这个挺有意思的,要不就来个擂台赛吧,限定一个允许使用的字符集和最大字符数,看谁表示出的pi值最精确
比如字符集:"+-*/^0.123456789()",最多使用50个字符

无心人 · 发表于 2010-8-22 22:14:34

我用32个字符得到了一个精确到30位小数的结果
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279

无心人 · 发表于 2010-8-22 22:24:27

经过我紧张推算得到了精确到48位小数的结果
3.141 5926 5358 9793 2384 6264 3383 2795 0238 4197 1693 9937 5

没——问题 · 发表于 2010-8-22 23:04:46

额...看来pi本身最省字符...
没关系,那我可以耍赖~这样写"(2)*(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*(6/5)*(6/7)*(8/7)*..."

wayne · 发表于 2010-8-23 09:34:10

本帖最后由 wayne 于 2010-8-23 09:35 编辑

6# 无心人

这样的确没啥意思，

我的原意是这样的：对于给定精度的Pi值，对应的用一个最简单的整系数方程的根来逼近。
所谓最简单的整系数方程，就是方程的次数尽可能的小，而系数也尽可能的小

wayne · 发表于 2010-8-23 09:48:40

我感觉应该把整系数多项式方程的根作为代数领域的一等公民来看待，所以才有此问题。

wayne · 发表于 2010-8-23 10:08:46

比如，用${a+b*\sqrt(c)}/d$, a,b,c,d都不超过100，逼近Pi最好的不知道是不是：

${39 + \sqrt{66}}/15$

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