用代数数逼近π

mathe

${49+23*sqrt(75)}/79$
如果限定b=1,结果为
${54+sqrt(78)}/20$

wayne

，咋算的

mathe

穷举，改成3位数可以达到
${66+68*sqrt(789)}/629$不过就有点慢了

1. 
   
2. #include <stdio.h>
   
3. #include <math.h>
   
4. #define MAX 999
   
5. int main()
   
6. {
   
7.     int a,b,c;
   
8.     double berr=10.0;
   
9.     int ba,bb,bc,bd;
   
10.     for(a=0;a<=MAX;a++)for(b=-MAX;b<=MAX;b++)for(c=0;c<=MAX;c++){
    
11.         double e=a+b*sqrt(c);
    
12.         double f=e/M_PI;
    
13.         int d=(int)ceil(f);
    
14.         if(-MAX<=d&&d<=MAX){
    
15.               double err=fabs(e/d-M_PI);
    
16.               if(err<berr){
    
17.                  berr=err;ba=a;bb=b;bc=c;bd=d;
    
18.               }
    
19.         }
    
20.         d=(int)floor(f);
    
21.         if(-MAX<=d&&d<=MAX){
    
22.               double err=fabs(e/d-M_PI);
    
23.               if(err<berr){
    
24.                  berr=err;ba=a;bb=b;bc=c;bd=d;
    
25.               }
    
26.        }
    
27.     }
    
28.     printf("(%d+%d*sqrt(%d))/%d:err %g\n",ba,bb,bc,bd,berr);
    
29. }
    
30. 
    

复制代码

wayne

在理论上有没有可以分析的余地呢

wayne

我感觉超越数是一个很大的盲区，似乎很少有这方面的研究。
总感觉 能在超越数的幂 的线性组合(权是整数)中找出名堂来

wayne

13# mathe

可以用floor(d+0.5)来实现 round 函数的功能，

wayne

错了，有点乱，

zgg___

用代数数来逼近某个具体数值的方法是已有一定研究的，有兴趣可以了解一下传说中的LLL算法，Mathematica中是集成了这个算法的，大家可以敲入下面的话来试一试效果先……

1. 
   
2. << NumberTheory`Recognize`
   
3. f = Recognize[N[Pi, 25], 10, t]
   
4. N[Solve[f == 0, t], 30] // MatrixForm
   
5. N[Pi, 30]

复制代码

没——问题

15# wayne
就连超越数之和是不是超越数都很难证...

无心人

${453 + 802*sqrt(1000)}/8217$
======================
我的精度比mathe的最后的那个高一点
呵呵