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楼主: wayne

[提问] 用代数数逼近π

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发表于 2010-8-24 10:29:22 | 显示全部楼层
双根式形式的,再搜个分母不限定大小,分子四个部分1000以内的,就算了,太大的计算复杂度受不了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-8-24 10:30:15 | 显示全部楼层
50# chyanog
sage很另类,把浏览器当做它的用户交互平台,俺不是很习惯,不过想想到时候自己的sage程序草稿可以直接输出为html,倒是很不错的。
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 楼主| 发表于 2010-8-24 10:35:10 | 显示全部楼层
51# 无心人

zgg透漏了一个信息,这个问题跟 “数的身份识别”是属于同一范畴的,就是给一个小数,找出它的最可能的精确表达。
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可惜我看不懂 LLL算法,格点理论,
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 楼主| 发表于 2010-8-24 10:46:23 | 显示全部楼层
18# zgg___

在新版本的Mathematica里面,是用RootApproximant函数,不过,很奇怪,找不到mathe给的那个式子:
  1. Table[{a = N[Pi, p], b = RootApproximant[a, 2], N[b, 20]}, {p, 1, 10, 1}]
复制代码
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发表于 2010-8-24 10:52:14 | 显示全部楼层
多项式$S(x)=a_{0}*x^{n}+...+a_{n}$。
如果S(pi)=0,
那么$a_{0}*pi^{n}+...+a_{n}=0$,现在可以由LLL算法来求出$a_{0},...,a_{n}$.
求得$a_{0},...,a_{n}$之后,我们再考察S(x)=0,求得pi的近似的根式表达式。
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 楼主| 发表于 2010-8-24 11:09:40 | 显示全部楼层
55# medie2005
是这么回事的,俺从一开始就是期望这样的答案,但怎么用LLL呢
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发表于 2010-8-24 11:10:10 | 显示全部楼层
$(1267256520886661761545611563843081 + sqrt(13541836862246176906707231322058777709819099266534540061242195281)) /440421808859358185420682749898720$
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 楼主| 发表于 2010-8-24 11:41:14 | 显示全部楼层
57# medie2005


你能写一个函数,入参是 方程系数所允许的最大值,方程的次数, 输出参数是方程的所有系数吗
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发表于 2010-8-24 11:43:55 | 显示全部楼层
话说一个叫Henri Cohen的,按照http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Cohen的纪录,写了几本书,其中“A Course In Computational Algebraic Number Theory”深入浅出的呢。它从来回来去平方求幂、辗转相除法开始,到算方程的Galois群、计算类数、弄椭圆曲线还有大家喜欢的素性检测和分解(有NFS的),而且包含了算法,比较适合爱看算法的人,如果大家感兴趣,或许可以去研读一下,作为Donald Knuth书的进阶。可以看出,作者在书中对LLL算法是很欣赏的,这使我花了些时间去看这个算法。上面medie2005关于LLL的说法是很对的,这是为什么它可以用来“拟合”。
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发表于 2010-8-24 11:51:43 | 显示全部楼层
57#的精度不小吧
=================
算出了精度是
$2.525*10^(-100)$
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