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楼主: wayne

[讨论] 果树种植最优解精美图形作法探讨

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发表于 2020-1-9 21:45:45 | 显示全部楼层
中心对称映射为轴对称的统一规则为
i)将对称中心映射到无穷远点,比如上图中BC中点需要映射到无穷远点。
ii)无穷远直线映射为y轴作为对称轴
iii)将任意满足中心对称的两个点映射为关于对称轴左右对称关系,也就是两点纵坐标相等,横坐标互为相反数
比如图中A,D需要关于y轴对称;E,T需要关于y轴对称
iv)如果选择四点映射成矩形(比如ADTE),为了避免将已知点映射成无穷远点,那么需要保证这四点对边交点的连线上没有有用点。比如这个例子中由于AD和TE交点为对称中心,只要保证DT和AE的交点和对称中心连线上没有有用点就可以了,由于图像对称性,在原图,DT必然和AE平行,所以只要保证过中心做DT的平行线上没有有用点(包括无穷远点)即可。
所以如果我们换成选择HTEW就不行了,HT过中心的平行线经过HT上无穷远点,是有用的。事实上只要避开和原图上四个无穷远方向即可
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-10 11:11:03 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2020-1-9 19:45
有关139#得到的结果不太理想~~

初始数据
我这边的Mathematica代码的输入数据类似是这种格式
ACDFEFGKCIJKBEJLCEHMBFIMBCGNFHLNDGJOAHKOAGLPDINPBDHQAEIQAJMRBKPRCOQRDLMSENOSFPQS
然后你的格式不方便 大家交流, 我需要人眼+手工才能还原出出来,^_^

我通过编辑器字符串替换得到数据是
  1. MNOPABCDEFGHTUVWAFJPANQWAMRVBEMUBFNRBIOSBJKVBGPWCFMTCINUCJORCGQSCHPVDGIMDHKNDPSUEIKPENSVFOQVFILWGJNTGKOUHLOTPQRTEOWXHRUX
复制代码

然后作图,找到一种最紧凑的图案,24-30:


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点评

这几个图还需要优化~  发表于 2020-1-10 11:57
第二幅图是对称的  发表于 2020-1-10 11:57
你们之前的讨论我没仔细看, ^O^  发表于 2020-1-10 11:56
哦哦,我还是之前的代码,没有考虑AD对称的映射.  发表于 2020-1-10 11:52
感觉A和D关于对称轴MNOP稍微有点不对称  发表于 2020-1-10 11:47
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发表于 2020-1-10 19:11:06 | 显示全部楼层
157#结果:








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发表于 2020-1-22 09:17:21 | 显示全部楼层
又发现一个21棵24行整数解,和81#,86#的不等价

        A(1/6,3/2)
        B(1/6,1/2)
        C(1/4,9/8)
        D(+1,3)
        E(+1,+0)
        F[+1,-3/2,0];
        G(-1/3,+1)
        H(-1/3,+0)
        I(-1/2,3/4)
        J(1/6,3/4)
        K(+0,+1)
        L(1/3,3/2)
        M[+1,3/2,0];
        N(-1/3,1/2)
        O(+0,3/4)
        P(+1,3/2)
        Q(1/3,1/2)
        R[+0,+1,0];
        S(1/3,+1)
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
ALPUABJRFJKQIJOUHJMSGHNRDEPRFMRUKORTLQRSKLMNDGIMEGOQDHLOFINTMPQTNOPSEHTUGKSUCJLTCIKPBNQUCEFSBDST
(不对称)

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发表于 2020-1-22 11:20:04 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-12-2 15:18
21棵树24行的新结果

        [t^3-2*t^2+t-1=0]


81#最后一个图的对称分析拥有三阶对称性,其中A->C->B, D->E->F ...
对于三阶对称的情况,我们以前还没有找到比较好的对称计算方案。
现在发现通过对射影变换本身进行分析就可以有效的找出对称方案。
由于我们已经知道存在一种自同构变换A->C->B, D->E->F使得这个图转变为自身,我们先查看这是否为一个射影变换
所以我们可以先查看将(A,C,B,D) 变化为(C,B,A,E)的射影变换,对于81#最后一个图
        A(1/2,-1)
        B(-1,3/2)
        C(2/3,2)
        D(+1,-2)
        E(2/3,+1)
        F(-1/2,3/2)
        G(1/2,-3/2)
        H(-2/3,+1)
        I(+1,2)
        J(1/2,3/2)
        K(-1,2)
        L(2/3,-1)
        M(+0,+1)
        N(+1,+0)
        O[+1,-3,0];
        P(+0,-1)
        Q[+1,3,0];
        R(-1,+0)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
OQSUMPSTNRTUEJNODLMOFKMNIJMRGLNQHKOPEIPQFHQRDGPRDINSEHMUFGOTCJQTBKRSALPUBFJUCELSADKTAGJSCIKUBHLT
计算可得,上面变换的变换矩阵为
\(S=\begin{bmatrix}0&\frac13&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}\)
计算可以知道\(S^3=\begin{bmatrix}\frac13&0&0\\0&\frac13&0\\0&0&\frac13\end{bmatrix}\)
所以可以知道使用S对任何点连续变换三次将变回自身(射影坐标每个分量乘上非零常数还是代表同一个点)
由此确认这个图经过S变换三次后每个点会变换自身,这很显然就是一个旋转变换。
由于\(S^3=\frac13 E\),其中$E$代表单位阵,实矩阵S不是单位阵,所以其特征方程为\(x^3-\frac13=0\)
由此得出其三个特征值分别为\(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{\omega}{\sqrt[3]{3}},\frac{\bar{\omega}}{\sqrt[3]{3}} \), 其中$\omega$是三次单位根。
我们还可以计算三个特征值对应的特征向量并且将三个特征向量作为列向量构成矩阵H(实特征根的特征向量放在最后一列),于是我们可以得出
\(H^{-1}SH=\frac1{\sqrt[3]{3}}\begin{bmatrix}\omega&0&0\\0&\bar{\omega}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)
然后我们使用矩阵\(K=H\begin{bmatrix}\frac i2&\frac 12&0\\-\frac i2&\frac12&0\\0&0&1\end{bmatrix}\),发现K变回实矩阵,而且
可以得出\(K^{-1}SK=\frac1{\sqrt[3]{3}}\begin{bmatrix}\cos(\frac{2\pi}3)&-\sin(\frac{2\pi}3)&0\\\sin(\frac{2\pi}3)&\cos(\frac{2\pi}3)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)
然后我们只要将所有原始点的射影坐标使用变换阵$K^{-1}$做变换即可得出需要的对称图形(唯一缺陷是坐标无法继续是整数了):

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发表于 2020-1-22 13:36:17 | 显示全部楼层
类似方法可以解决81#第一个图:
        [t^3-2*t^2+t-1=0]
        A(t+(t-1)^2,2-t-(t-1)^2)
        B(1-2*t-(t-1)^2,t)
        C((t-1)^2,1-(t-1)^2)
        D(1-2*t-(t-1)^2,-(t-1)^2)
        E(-t,1-t-(t-1)^2)
        F(1-t,2-t-(1-t)^2)
        G[+1,t-2,0];
        H(+0,+1)
        I(+1,+0)
        J(-t,+0)
        K[+1,1-(t-1)^2,0];
        L(+0,-(t-1)^2)
        M(1-2*t-(t-1)^2,1-t-(t-1)^2)
        N(1-t,-(t-1)^2)
        O(-t,2-t-(t-1)^2)
        P(1-t,1-(t-1)^2)
        Q(t+(t-1)^2,1-t-(t-1)^2)
        R(t+(t-1)^2,1-(t-1)^2)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];                                                                                                                                          DJKPEKLRFJLQGKSUHLSTIJTUEJOSFKMTDLNUFNPSEMQUDORTHMOPIMNRGNOQAGIPBGHRCHIQCPRUBPQTAQRSBDMSAFOUCENT

只是对称图中A,B,C这三个点远远离开其它点,所以上图中不得不使用了两个不同比例的图,左图放大了右图的中间部分
其中变换矩阵为:
[0.18066346602452514998154532506462558492 -0.46126278415371923823856119697708858054 0]
[0.10430610074199040380288374617186294593 0.26631019259830604763227588128297303618 0.33333333333333333333333333333333333333]
[-0.20861220148398080760576749234372589185 -0.53262038519661209526455176256594607236 0.33333333333333333333333333333333333333]

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发表于 2020-1-22 14:02:03 | 显示全部楼层
81#第二图:
        [+1*t^2+4*t+2]
        A(-1-t,+1)
        B(+1,7+2*t)
        C(-1-2*t,-3-t)
        D(-1/2*t,-1-1/2*t)
        E(-2-t,7+2*t)
        F(-1-2*t,4+t)
        G(+1,+0)
        H[+1,-17-5*t,0];
        I(+0,+1)
        J(+0,4+t)
        K[+1,-5-3/2*t,0];
        L(-1/2*t,+0)
        M(-1-t,4+t)
        N(-1/2*t,2+1/2*t)
        O(-t,-3-t)
        P(-1-t,7+2*t)
        Q(+1,-3-t)
        R(-1-2*t,+1)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
FGKPEILQDHJRHKSUIJSTGLTUDLNSFJMUEKOTLOPRJNPQKMQRDIMOFHNOEGMNCHPTBGQSAIRUBEPUCFRSADQTAMPSCOQUBNRT

变换矩阵
[-0.69692342505867589862078840270196062647 0.11957315586905013411163962220000317084 0]
[0.40236892706218250813361478736828301309 0.069035593728849174800281454034949679761 0.33333333333333333333333333333333333333]
[-0.80473785412436501626722957473656602618 -0.13807118745769834960056290806989935952 0.33333333333333333333333333333333333333]

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发表于 2020-1-22 14:27:29 | 显示全部楼层
81#第三图
        A(1/4,+1)
        B(+1,2/3)
        C(3/2,4)
        D(+0,+1)
        E(+1,+0)
        F[+1,8/3,0];
        G[+1,-4/3,0];
        H(-1/2,+0)
        I(+0,-2)
        J(-1/2,2/3)
        K(-1/2,-2)
        L(3/2,-2)
        M(1/2,4/3)
        N(3/4,+1)
        O(+1,2)
        P(1/2,2)
        Q(1/2,2/3)
        R(3/2,2)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
HJKSGJLTIKLUFGSUDISTEHTUBFIRAEGQCDHPBEOSADNUCFMTCLRSBJQUAKPTDJMRFKOQELNPCINOAHMOBGMNMPQSOPRUNQRT

变换矩阵
[ 0.40031231839200090889182179578318094877 -0.20817079441390107990219659062720893917   0]
[-0.23112042478354490161445075826198726515 -0.12018746419228403186013652589834246570 1/3]
[ 0.46224084956708980322890151652397453030  0.24037492838456806372027305179668493140 1/3]

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发表于 2020-2-21 08:50:20 | 显示全部楼层
21棵树24行又找到了一种新配置:


        A(3/2, 5/8)
        B[+1,-1/12,0];
        C(+1,+0)
        D(9,+1)
        E(+0,+0)
        F[+1,-1/6,0];
        G(9,+0)
        H(+0,+1)
        I(3/2,1/4)
        J(+1,1/3)
        K(+1,1/2)
        L(3,1/4)
        M(9,-1/2)
        N(-3,+1)
        O(-3,-1/2)
        P(3,-1/2)
        Q(-3,1/2)
        R(+0,1/4)
        S(3,1/2)
        T[+1,+0,0];
        U[+0,+1,0];
ABGSBFTUBMQREHRUDJRSCEGTCJKUEIOSILRTFIJNFHMSDGMUDHNTAKORKQSTHIKPCDLOLPSUGJLQCNPREFPQNOQUMOPTKLMN

所以加上79#三类解,81#四个解,已中共发现8类解(其中79#中第一个具有一个自由度)。

另外计算机还找到一种几乎也是21棵24行的解,只是可惜其中出现了一行有5棵:

        A(-1/2,3/8)
        B(1/2,9/8)
        C[+1,1/2,0];
        D(+0,+1)
        E(1/3,+1)
        F(3/4,9/8)
        G[+1,-3/2,0];
        H(+0,+0)
        I(1/4,3/8)
        J(+1,+0)
        K(1/4,3/4)
        L(+1,3/4)
        M(1/2,3/2)
        N(1/2,+1)
        O(-1/2,+0)
        P(-1/2,3/2)
        Q[+0,+1,0];
        R(+0,3/4)
        S[+1,+0,0];
        T(+1,3/2)
        U(1/4,9/8)
EGJUFHITCGQSDHQRCDTUGIPRHJOSDENSCFNRIKQUJLQTEHKMFGLMDJKPCILOMORUMPSTKLRSLNPUKNOTBFSUAERTBMNQAOPQ

另外这两个图均无法做成对称图

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