果树种植最优解精美图形作法探讨

mathe

又发现一个21棵24行整数解，和81#，86#的不等价

        A(1/6,3/2)
        B(1/6,1/2)
        C(1/4,9/8)
        D(+1,3)
        E(+1,+0)
        F[+1,-3/2,0];
        G(-1/3,+1)
        H(-1/3,+0)
        I(-1/2,3/4)
        J(1/6,3/4)
        K(+0,+1)
        L(1/3,3/2)
        M[+1,3/2,0];
        N(-1/3,1/2)
        O(+0,3/4)
        P(+1,3/2)
        Q(1/3,1/2)
        R[+0,+1,0];
        S(1/3,+1)
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
ALPUABJRFJKQIJOUHJMSGHNRDEPRFMRUKORTLQRSKLMNDGIMEGOQDHLOFINTMPQTNOPSEHTUGKSUCJLTCIKPBNQUCEFSBDST
(不对称）

mathe

mathe 发表于 2019-12-2 15:18
21棵树24行的新结果

        [t^3-2*t^2+t-1=0]

81#最后一个图的对称分析拥有三阶对称性，其中A->C->B, D->E->F ...
对于三阶对称的情况，我们以前还没有找到比较好的对称计算方案。
现在发现通过对射影变换本身进行分析就可以有效的找出对称方案。
由于我们已经知道存在一种自同构变换A->C->B, D->E->F使得这个图转变为自身，我们先查看这是否为一个射影变换
所以我们可以先查看将(A,C,B,D) 变化为(C,B,A,E)的射影变换，对于81#最后一个图
        A(1/2,-1)
        B(-1,3/2)
        C(2/3,2)
        D(+1,-2)
        E(2/3,+1)
        F(-1/2,3/2)
        G(1/2,-3/2)
        H(-2/3,+1)
        I(+1,2)
        J(1/2,3/2)
        K(-1,2)
        L(2/3,-1)
        M(+0,+1)
        N(+1,+0)
        O[+1,-3,0];
        P(+0,-1)
        Q[+1,3,0];
        R(-1,+0)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
OQSUMPSTNRTUEJNODLMOFKMNIJMRGLNQHKOPEIPQFHQRDGPRDINSEHMUFGOTCJQTBKRSALPUBFJUCELSADKTAGJSCIKUBHLT
计算可得，上面变换的变换矩阵为
\(S=\begin{bmatrix}0&\frac13&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}\)
计算可以知道\(S^3=\begin{bmatrix}\frac13&0&0\\0&\frac13&0\\0&0&\frac13\end{bmatrix}\)
所以可以知道使用S对任何点连续变换三次将变回自身（射影坐标每个分量乘上非零常数还是代表同一个点）
由此确认这个图经过S变换三次后每个点会变换自身，这很显然就是一个旋转变换。
由于\(S^3=\frac13 E\),其中$E$代表单位阵，实矩阵S不是单位阵，所以其特征方程为\(x^3-\frac13=0\)
由此得出其三个特征值分别为\(\frac{1}{\sqrt[3]{3}},\frac{\omega}{\sqrt[3]{3}},\frac{\bar{\omega}}{\sqrt[3]{3}} \), 其中$\omega$是三次单位根。
我们还可以计算三个特征值对应的特征向量并且将三个特征向量作为列向量构成矩阵H(实特征根的特征向量放在最后一列），于是我们可以得出
\(H^{-1}SH=\frac1{\sqrt[3]{3}}\begin{bmatrix}\omega&0&0\\0&\bar{\omega}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)
然后我们使用矩阵\(K=H\begin{bmatrix}\frac i2&\frac 12&0\\-\frac i2&\frac12&0\\0&0&1\end{bmatrix}\),发现K变回实矩阵，而且
可以得出\(K^{-1}SK=\frac1{\sqrt[3]{3}}\begin{bmatrix}\cos(\frac{2\pi}3)&-\sin(\frac{2\pi}3)&0\\\sin(\frac{2\pi}3)&\cos(\frac{2\pi}3)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)
然后我们只要将所有原始点的射影坐标使用变换阵$K^{-1}$做变换即可得出需要的对称图形（唯一缺陷是坐标无法继续是整数了）:

mathe

类似方法可以解决81#第一个图:
        [t^3-2*t^2+t-1=0]
        A(t+(t-1)^2,2-t-(t-1)^2)
        B(1-2*t-(t-1)^2,t)
        C((t-1)^2,1-(t-1)^2)
        D(1-2*t-(t-1)^2,-(t-1)^2)
        E(-t,1-t-(t-1)^2)
        F(1-t,2-t-(1-t)^2)
        G[+1,t-2,0];
        H(+0,+1)
        I(+1,+0)
        J(-t,+0)
        K[+1,1-(t-1)^2,0];
        L(+0,-(t-1)^2)
        M(1-2*t-(t-1)^2,1-t-(t-1)^2)
        N(1-t,-(t-1)^2)
        O(-t,2-t-(t-1)^2)
        P(1-t,1-(t-1)^2)
        Q(t+(t-1)^2,1-t-(t-1)^2)
        R(t+(t-1)^2,1-(t-1)^2)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];                                                                                                                                          DJKPEKLRFJLQGKSUHLSTIJTUEJOSFKMTDLNUFNPSEMQUDORTHMOPIMNRGNOQAGIPBGHRCHIQCPRUBPQTAQRSBDMSAFOUCENT

只是对称图中A,B,C这三个点远远离开其它点，所以上图中不得不使用了两个不同比例的图，左图放大了右图的中间部分
其中变换矩阵为：
[0.18066346602452514998154532506462558492 -0.46126278415371923823856119697708858054 0]
[0.10430610074199040380288374617186294593 0.26631019259830604763227588128297303618 0.33333333333333333333333333333333333333]
[-0.20861220148398080760576749234372589185 -0.53262038519661209526455176256594607236 0.33333333333333333333333333333333333333]

mathe

81#第二图:
        [+1*t^2+4*t+2]
        A(-1-t,+1)
        B(+1,7+2*t)
        C(-1-2*t,-3-t)
        D(-1/2*t,-1-1/2*t)
        E(-2-t,7+2*t)
        F(-1-2*t,4+t)
        G(+1,+0)
        H[+1,-17-5*t,0];
        I(+0,+1)
        J(+0,4+t)
        K[+1,-5-3/2*t,0];
        L(-1/2*t,+0)
        M(-1-t,4+t)
        N(-1/2*t,2+1/2*t)
        O(-t,-3-t)
        P(-1-t,7+2*t)
        Q(+1,-3-t)
        R(-1-2*t,+1)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
FGKPEILQDHJRHKSUIJSTGLTUDLNSFJMUEKOTLOPRJNPQKMQRDIMOFHNOEGMNCHPTBGQSAIRUBEPUCFRSADQTAMPSCOQUBNRT

变换矩阵
[-0.69692342505867589862078840270196062647 0.11957315586905013411163962220000317084 0]
[0.40236892706218250813361478736828301309 0.069035593728849174800281454034949679761 0.33333333333333333333333333333333333333]
[-0.80473785412436501626722957473656602618 -0.13807118745769834960056290806989935952 0.33333333333333333333333333333333333333]

mathe

81#第三图
        A(1/4,+1)
        B(+1,2/3)
        C(3/2,4)
        D(+0,+1)
        E(+1,+0)
        F[+1,8/3,0];
        G[+1,-4/3,0];
        H(-1/2,+0)
        I(+0,-2)
        J(-1/2,2/3)
        K(-1/2,-2)
        L(3/2,-2)
        M(1/2,4/3)
        N(3/4,+1)
        O(+1,2)
        P(1/2,2)
        Q(1/2,2/3)
        R(3/2,2)
        S[+0,+1,0];
        T(+0,+0)
        U[+1,+0,0];
HJKSGJLTIKLUFGSUDISTEHTUBFIRAEGQCDHPBEOSADNUCFMTCLRSBJQUAKPTDJMRFKOQELNPCINOAHMOBGMNMPQSOPRUNQRT

变换矩阵
[ 0.40031231839200090889182179578318094877 -0.20817079441390107990219659062720893917   0]
[-0.23112042478354490161445075826198726515 -0.12018746419228403186013652589834246570 1/3]
[ 0.46224084956708980322890151652397453030  0.24037492838456806372027305179668493140 1/3]

mathe

21棵树24行又找到了一种新配置:


        A(3/2, 5/8)
        B[+1,-1/12,0];
        C(+1,+0)
        D(9,+1)
        E(+0,+0)
        F[+1,-1/6,0];
        G(9,+0)
        H(+0,+1)
        I(3/2,1/4)
        J(+1,1/3)
        K(+1,1/2)
        L(3,1/4)
        M(9,-1/2)
        N(-3,+1)
        O(-3,-1/2)
        P(3,-1/2)
        Q(-3,1/2)
        R(+0,1/4)
        S(3,1/2)
        T[+1,+0,0];
        U[+0,+1,0];
ABGSBFTUBMQREHRUDJRSCEGTCJKUEIOSILRTFIJNFHMSDGMUDHNTAKORKQSTHIKPCDLOLPSUGJLQCNPREFPQNOQUMOPTKLMN

所以加上79#三类解，81#四个解，已中共发现8类解（其中79#中第一个具有一个自由度）。

另外计算机还找到一种几乎也是21棵24行的解，只是可惜其中出现了一行有5棵:

        A(-1/2,3/8)
        B(1/2,9/8)
        C[+1,1/2,0];
        D(+0,+1)
        E(1/3,+1)
        F(3/4,9/8)
        G[+1,-3/2,0];
        H(+0,+0)
        I(1/4,3/8)
        J(+1,+0)
        K(1/4,3/4)
        L(+1,3/4)
        M(1/2,3/2)
        N(1/2,+1)
        O(-1/2,+0)
        P(-1/2,3/2)
        Q[+0,+1,0];
        R(+0,3/4)
        S[+1,+0,0];
        T(+1,3/2)
        U(1/4,9/8)
EGJUFHITCGQSDHQRCDTUGIPRHJOSDENSCFNRIKQUJLQTEHKMFGLMDJKPCILOMORUMPSTKLRSLNPUKNOTBFSUAERTBMNQAOPQ

另外这两个图均无法做成对称图

mathe

对于每个图，我们其实还可以尝试做它们的对偶图，同样也存在如何让对偶图尽量清晰问题。
比如楼上的21棵树24行，我们可以先计算各行的方程
比如直线ABGS的方程为-1/9 x -4/3 y +1 =0, 对应射影坐标系为[-1/9, -4/3, 1]，于是我们可以在对偶平面上做点ABGS: (-1/9,-4/3)
同样BFTR的坐标为[0, 0, 1],  BMQR的坐标为[-1/3, -4, 1]. 做出这三个点后，还可以连接它们得出直线B.
而需要注意的是原图中E为原点，所以在对偶图上为无穷远直线，所以任意过E点的直线的对偶都是无穷远点，无法做出。（我们也可以先通过平移来避免原点的出现）
直接这样做下去，可以得到一幅难看的对偶图

mathe

上图是 链接中最后一个图的对偶图。
其中原始坐标就没有原点，所以结果没有无穷远点。对偶以后结果有点细长，旋转45度后把横坐标放大了10倍。
可以看出图中每个点都正好4条直线经过

mathe

上面的图改进一下，弄得清晰一些


DEGP投影到无穷远，可以得到

mathe

20棵树另外两个图的对偶可以投影为:
第三图：

第一图：

也可以变化为:


附加一些坐标点:
testt.tgz (41.6 KB, 下载次数: 3)

2020-9-24 13:12 上传

点击文件名下载附件

testt.d给出了原始坐标，并且对每个点（对应对偶之前的每条线）重新命名。
testt.out1~testt.out3给出各个对偶图中点的各种可选变换后坐标，每个选了50组