果树问题讨论:这两个问题等价么？

mathe

16颗树另外一组解中一个如下图:

同样,取t为$-{sqrt(5)+1}/2$可以得到另外一个解

liangbch

楼上的图， 有些地方不能看懂，问题如下：
1.  A，B，K，L 点的坐标怎么是3维的？我没有在图上找到这四个点
2.  P的的坐标的写法有点怪， P(t,t))/2， 这是什么意思？

mathe

P的坐标就是P(t,t),没有除2的存在;不小心多输入了,修改过了.
ABKL都是无穷远点,4点共线(在无穷远直线).坐标采用射影几何中的齐次坐标.
而那些两两平行的直线会交于对应的无穷远点.
通过投影变换可以将这些无穷远点映射成普通点.

mathe

在http://gpj.connectfree.co.uk/gpjm.htm#(10)中，问到如果再添加一个限制，要求所有树都种到整数点上，那么结果会不会发生变化。
现在可以解决这个问题了，对于16颗树的情况，没有整数点限制可以种植15行；但是有了整数点限制以后，就无法种植15行了。因为上面所有4种方案，都无法将所有16颗树都种植到整数点上。
对于一条直线上4个点A,B,C,D,定义它们的交比$R(A,B;C,D)={AC:BC}/{AD:BD}$.
在投影变换下，交比是保持不变的。
而对于直线上4个整数点，它们的交比肯定是有理数。
但是上面的4个方案中，我们都可以找到上面的树构成的交比为无理数的行，所以它们肯定无法全种植到整数点上。
由此我们知道加上整数点的限制，无法将16颗树种植成15行，每行4颗树。

无心人

能给出普通意义下的解么？
我想射影变换很多人不懂的

0→∞

好久没来了，此楼又长了很多层

同样不支持eyond退学
我可以理解你的激情，我也很沉迷于这个问题一段时间（以及一些同样不可解的其他问题）。但是后来在前辈们的影响下，才渐渐意识到那是很不好的（不是很久远的事，显然是在发这个帖子之后）
所以我现在不想这些，埋头学习，等自己变强大了再卷土重来

无心人

我想如果有人想在这个问题上出成果
至少要学到mathe的水平
我想那是比较困难的

能随手应用大学数学的各种学科的知识
太难了

建议以后大学数学系招人
凡智力水平低于mathe的
即 智商少于400的一概不录取

mathe

原帖由 无心人 于 2008-10-25 20:30 发表


能给出普通意义下的解么？
我想射影变换很多人不懂的

射影几何我只是在中学时看过,其中细节不是很清楚.
记忆中好像射影变换就是齐次坐标下的线性变换,也就是对于任何一个平面上普通点(x,y);写成齐次坐标就是(kx,ky,k),其中k是任意非0的数据,那么对于任意一个3*3矩阵A,这个齐次坐标乘上A得到另外一个齐次坐标就是映射后的点的齐次坐标.不过我不是很确定.
而现在好像网络上也找不到具体的资料,所以我很难进行准确的变换,就是wolfram网站上也只能找到一些简单的性质.

mathe

你可以试着自己计算一下看看,
比如取任意一条直线方程ax+by+c=0,使得所有图上的点都不在这条直线上(而且无穷远点也不要选择在上面,也就是(-b*k,a*k,0)点不在图中)
然后取变换$x'=x/{ax+by+c},y'=y/{ax+by+c}$,这个应该就是一个射影变换.
很显然,由于所有原先点都不在直线ax+by+c上,所有点的坐标带入变换过程分母都不是0,也就是都变成有限点.而其中对于无穷远点的计算过程,需要将上面的系数c去除,也就是无穷远点
(u,v,0)被变换成$x'=u/{au+bv},y'=v/{au+bv}$
计算出所有变换以后点的坐标,你再重新将图画出来看看(所有点线关系保持不变)

mathe

原帖由 无心人 于 2008-10-25 21:42 发表
我想如果有人想在这个问题上出成果
至少要学到mathe的水平
我想那是比较困难的

能随手应用大学数学的各种学科的知识
太难了

建议以后大学数学系招人
凡智力水平低于mathe的
即 智商少于400的一概不录取

其实我大学数学学到的只是基本上忘光了.现在能够记住的基本就是数学分析,线性代数以及部分概率论和统计的内容(这些都是最常用的东西).反而初等数学现在还掌握的比较好.但是另外,像射影几何之类的内容大学数学系通常是不学习的,这些属于课外知识