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[求助] 果树问题讨论:这两个问题等价么?

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发表于 2008-10-24 09:39:43 | 显示全部楼层
16颗树另外一组解中一个如下图:
16trees2.GIF
同样,取t为$-{sqrt(5)+1}/2$可以得到另外一个解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-10-24 10:24:09 | 显示全部楼层
楼上的图, 有些地方不能看懂,问题如下:
1.  A,B,K,L 点的坐标怎么是3维的?我没有在图上找到这四个点
2.  P的的坐标的写法有点怪, P(t,t))/2, 这是什么意思?
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发表于 2008-10-24 12:08:28 | 显示全部楼层
P的坐标就是P(t,t),没有除2的存在;不小心多输入了,修改过了.
ABKL都是无穷远点,4点共线(在无穷远直线).坐标采用射影几何中的齐次坐标.
而那些两两平行的直线会交于对应的无穷远点.
通过投影变换可以将这些无穷远点映射成普通点.
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发表于 2008-10-25 10:35:04 | 显示全部楼层
http://gpj.connectfree.co.uk/gpjm.htm#(10)中,问到如果再添加一个限制,要求所有树都种到整数点上,那么结果会不会发生变化。
现在可以解决这个问题了,对于16颗树的情况,没有整数点限制可以种植15行;但是有了整数点限制以后,就无法种植15行了。因为上面所有4种方案,都无法将所有16颗树都种植到整数点上。
对于一条直线上4个点A,B,C,D,定义它们的交比$R(A,B;C,D)={AC:BC}/{AD:BD}$.
在投影变换下,交比是保持不变的。
而对于直线上4个整数点,它们的交比肯定是有理数。
但是上面的4个方案中,我们都可以找到上面的树构成的交比为无理数的行,所以它们肯定无法全种植到整数点上。
由此我们知道加上整数点的限制,无法将16颗树种植成15行,每行4颗树。
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发表于 2008-10-25 20:30:52 | 显示全部楼层


能给出普通意义下的解么?
我想射影变换很多人不懂的
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 楼主| 发表于 2008-10-25 20:45:50 | 显示全部楼层
好久没来了,此楼又长了很多层

同样不支持eyond退学
我可以理解你的激情,我也很沉迷于这个问题一段时间(以及一些同样不可解的其他问题)。但是后来在前辈们的影响下,才渐渐意识到那是很不好的(不是很久远的事,显然是在发这个帖子之后)
所以我现在不想这些,埋头学习,等自己变强大了再卷土重来
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发表于 2008-10-25 21:42:19 | 显示全部楼层
我想如果有人想在这个问题上出成果
至少要学到mathe的水平
我想那是比较困难的

能随手应用大学数学的各种学科的知识
太难了

建议以后大学数学系招人
凡智力水平低于mathe的
即 智商少于400的一概不录取
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发表于 2008-10-25 22:20:21 | 显示全部楼层
原帖由 无心人 于 2008-10-25 20:30 发表


能给出普通意义下的解么?
我想射影变换很多人不懂的

射影几何我只是在中学时看过,其中细节不是很清楚.
记忆中好像射影变换就是齐次坐标下的线性变换,也就是对于任何一个平面上普通点(x,y);写成齐次坐标就是(kx,ky,k),其中k是任意非0的数据,那么对于任意一个3*3矩阵A,这个齐次坐标乘上A得到另外一个齐次坐标就是映射后的点的齐次坐标.不过我不是很确定.
而现在好像网络上也找不到具体的资料,所以我很难进行准确的变换,就是wolfram网站上也只能找到一些简单的性质.
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发表于 2008-10-25 22:31:30 | 显示全部楼层
你可以试着自己计算一下看看,
比如取任意一条直线方程ax+by+c=0,使得所有图上的点都不在这条直线上(而且无穷远点也不要选择在上面,也就是(-b*k,a*k,0)点不在图中)
然后取变换$x'=x/{ax+by+c},y'=y/{ax+by+c}$,这个应该就是一个射影变换.
很显然,由于所有原先点都不在直线ax+by+c上,所有点的坐标带入变换过程分母都不是0,也就是都变成有限点.而其中对于无穷远点的计算过程,需要将上面的系数c去除,也就是无穷远点
(u,v,0)被变换成$x'=u/{au+bv},y'=v/{au+bv}$
计算出所有变换以后点的坐标,你再重新将图画出来看看(所有点线关系保持不变)
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发表于 2008-10-25 22:34:21 | 显示全部楼层
原帖由 无心人 于 2008-10-25 21:42 发表
我想如果有人想在这个问题上出成果
至少要学到mathe的水平
我想那是比较困难的

能随手应用大学数学的各种学科的知识
太难了

建议以后大学数学系招人
凡智力水平低于mathe的
即 智商少于400的一概不录取

其实我大学数学学到的只是基本上忘光了.现在能够记住的基本就是数学分析,线性代数以及部分概率论和统计的内容(这些都是最常用的东西).反而初等数学现在还掌握的比较好.但是另外,像射影几何之类的内容大学数学系通常是不学习的,这些属于课外知识
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