三角形的心迹

mathe

我们如果选择某心正好落在A点，那么对应必然有$P(A)=A+2k\pi$,所以$\Delta(A)=\delta(A)-\pi/3+2k\pi$,由此可以计算出对应m为$1+\frac{2k\pi-\pi/3}{\delta(A)}$,这显然是关于m周期变换的。另外显然$\delta(A)=0$也就是$A=pi/3$时不能经过A

mathe

另外显然在$A=pi/3$时心迹只能是圆
此外我们看看什么时候心迹才可以自相交于某个点
假设心迹自相交于某个点，于是在对应点必然存在$k_1,k_2,k_3$使得
$\Delta(A)=m\delta(A),\Delta(B)=m\delta(B),\Delta(C)=m\delta(C)$,
$\Delta(A)+2k_1pi=m_2\delta(A),\Delta(B)+2k_2\pi=m_2\delta(B),\Delta(C)+2k_3\pi=m_2\delta(C)$
$\Delta(A)\delta(B)=\Delta(B)\delta(A), k_1\delta(B)=k_2\delta(A),k_1\delta(C)=k_3\delta(A)$
$\delta(A):\delta(B):\delta(C)=\Delta(A):\Delta(B):\Delta(C)=k_1:k_2:k_3$时，心迹在这个点会自相交
也就是在$/_A,/_B,/_C$必须都是有理数度角而且我们这时还得选择特殊的$\Delta(A):\Delta(B):\Delta(C)$另外由于它们和为0，经过计算可以直接找出它们

数学星空

对于一般\(m\in [0,2]\),我们得到方程：

\(a^2-y^2-z^2+2yz\cos(m(A-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(b^2-x^2-z^2+2xz\cos(m(B-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(c^2-x^2-y^2+2xy\cos(m(C-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

我们取\({a=3,b=4,c=4.5},m=\frac{2k}{100},k=1..100\)得到心迹图：



我们取\({a=3,b=4,c=5},m=\frac{2k}{100},k=1..100\)得到心迹图：



我们取\({a=3,b=4,c=6},m=\frac{2k}{100},k=1..100\)得到心迹图：

数学星空

对于一般\(m\),我们得到方程：

\(a^2-y^2-z^2+2yz\cos(m(A-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(b^2-x^2-z^2+2xz\cos(m(B-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(c^2-x^2-y^2+2xy\cos(m(C-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

我们取\({a=3,b=4,c=4.5},m=-6+\frac{12k}{200},k=1..200\)得到心迹图：



我们取\({a=3,b=4,c=5},m=-4+\frac{9k}{200},k=1..200\)得到心迹图：



我们取\({a=3,b=4,c=6},m=-2+\frac{5.5k}{200},k=1..200\)得到心迹图：

hujunhua

看来问题二有肯定的答案了，也可以说是否定的答案。

肯定式：有限的定义域会导致心迹的残缺。
否定式：狭义的心迹不是一条完整的代数曲线。

生于局部，走向完整，这是不以意志为转移的。
可是定义要如何扩展呢，三角形还真有点心迹叵测啊

（下转32#）

wayne

我跟星空的不太一样，是以角度为变参数画图的。 按照三角形三个内角与60°的差(角盈)的比值 画图整理如下：

wayne

可以看得出来，三个角度都不等于60°，且非等腰三角形的时候，心迹图有三个自交点（多重点），位于三角形的三个顶点。
多重点的重数（曲线的分支数目）跟三角形的内角角偏（的绝对值）对应成比例。

wayne

顺便说一下，我用Geogebra作图的方法：
1）关于三角形ABC的做法：固定三角形的一个边AB，该边的两个顶角A,B 是自由角，范围均为 0-360°， 另一个顶点由相交角的交点 构成。
2）对于 含弧角 的做法：含弧角，即平面任意一点对三角形边长的张角。 本质上就是过三个点，做圆。我们找到含弧角$X$在三角形边的另一个侧的某点，其对弦长的张角是$\pi - X$,这四个点共圆，然后根据圆的特点，将该角$\pi - X$转化成直角三角形的一个内角。

所以，如此一来，我做出的图形就是 封闭的完整的曲线，不存在残缺现象, 是原题的答案的全貌。

mathe

wanye得到封闭的图是因为使用了有理角度。
由于${(\Delta(A)+2k_1\pi=m_2\delta(A)), (\Delta(B)+2k_2\pi=m_2\delta(B)), (\Delta(C)+2k_3\pi=m_2\delta(C)):}$
封闭图形代表不管$m_0$的初始值选择是多少，经过周期$M$后，也就是$m_2=m_0+M$时，对应的图总是和$m_0$对应的图相等，此时得出
${(2k_1\pi=M\delta(A)),(2k_2\pi=M\delta(B)),(2k_3\pi=M\delta(C)):}$
也就是有理角度对应的图是封闭图形，其中周期M要求使得$M\delta(A),M\delta(B),M\delta(C)$都是$2\pi$的整数倍的最小值。
于是这时$k_1,k_2,k_3$分别代表曲线穿越对应顶点的次数
但是如果角度不是有理数，那么图形就不会封闭了。

wayne

这个就为难我了。不知道怎么设置Geogebra的角度为一个无理数。