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楼主: hujunhua

[讨论] 三角形的心迹

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发表于 2016-7-20 11:18:33 | 显示全部楼层
心迹的曲线方程可以写成参数形式{x=x(m), y=y(m).  曲线形状取决于三角形的形状,  很可能跟三个内角角偏的比例有关。

https://www.geogebra.org/m/xdrbcJne

我把geogebra文件上传了。安装软件即可动态展示, 也可以在网页端耍耍。

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发表于 2016-7-20 12:15:34 | 显示全部楼层
我们如果选择某心正好落在A点,那么对应必然有$P(A)=A+2k\pi$,所以$\Delta(A)=\delta(A)-\pi/3+2k\pi$,由此可以计算出对应m为$1+\frac{2k\pi-\pi/3}{\delta(A)}$,这显然是关于m周期变换的。另外显然$\delta(A)=0$也就是$A=pi/3$时不能经过A
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发表于 2016-7-20 12:39:06 | 显示全部楼层
另外显然在$A=pi/3$时心迹只能是圆
此外我们看看什么时候心迹才可以自相交于某个点
假设心迹自相交于某个点,于是在对应点必然存在$k_1,k_2,k_3$使得
$\Delta(A)=m\delta(A),\Delta(B)=m\delta(B),\Delta(C)=m\delta(C)$,
$\Delta(A)+2k_1pi=m_2\delta(A),\Delta(B)+2k_2\pi=m_2\delta(B),\Delta(C)+2k_3\pi=m_2\delta(C)$
$\Delta(A)\delta(B)=\Delta(B)\delta(A), k_1\delta(B)=k_2\delta(A),k_1\delta(C)=k_3\delta(A)$
$\delta(A):\delta(B):\delta(C)=\Delta(A):\Delta(B):\Delta(C)=k_1:k_2:k_3$时,心迹在这个点会自相交
也就是在$/_A,/_B,/_C$必须都是有理数度角而且我们这时还得选择特殊的$\Delta(A):\Delta(B):\Delta(C)$另外由于它们和为0,经过计算可以直接找出它们
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发表于 2016-7-20 12:56:51 | 显示全部楼层
对于一般\(m\in [0,2]\),我们得到方程:

\(a^2-y^2-z^2+2yz\cos(m(A-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(b^2-x^2-z^2+2xz\cos(m(B-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(c^2-x^2-y^2+2xy\cos(m(C-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

我们取\({a=3,b=4,c=4.5},m=\frac{2k}{100},k=1..100\)得到心迹图:



我们取\({a=3,b=4,c=5},m=\frac{2k}{100},k=1..100\)得到心迹图:



我们取\({a=3,b=4,c=6},m=\frac{2k}{100},k=1..100\)得到心迹图:

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发表于 2016-7-20 13:44:45 | 显示全部楼层
对于一般\(m\),我们得到方程:

\(a^2-y^2-z^2+2yz\cos(m(A-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(b^2-x^2-z^2+2xz\cos(m(B-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

\(c^2-x^2-y^2+2xy\cos(m(C-\frac{\pi}{3})+\frac{2\pi}{3})=0\)

我们取\({a=3,b=4,c=4.5},m=-6+\frac{12k}{200},k=1..200\)得到心迹图:



我们取\({a=3,b=4,c=5},m=-4+\frac{9k}{200},k=1..200\)得到心迹图:



我们取\({a=3,b=4,c=6},m=-2+\frac{5.5k}{200},k=1..200\)得到心迹图:

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 楼主| 发表于 2016-7-20 14:14:13 | 显示全部楼层
看来问题二有肯定的答案了,也可以说是否定的答案。

肯定式:有限的定义域会导致心迹的残缺。
否定式:狭义的心迹不是一条完整的代数曲线。

生于局部,走向完整,这是不以意志为转移的。
可是定义要如何扩展呢,三角形还真有点心迹叵测啊

(下转32#)
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发表于 2016-7-20 14:22:46 | 显示全部楼层

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我跟星空的不太一样,是以角度为变参数画图的。 按照三角形三个内角与60°的差(角盈)的比值 画图整理如下:





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发表于 2016-7-20 14:38:42 | 显示全部楼层
可以看得出来,三个角度都不等于60°,且非等腰三角形的时候,心迹图有三个自交点(多重点),位于三角形的三个顶点。
多重点的重数(曲线的分支数目)跟三角形的内角角偏(的绝对值)对应成比例。
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发表于 2016-7-20 15:07:50 | 显示全部楼层
顺便说一下,我用Geogebra作图的方法:
1)关于三角形ABC的做法:固定三角形的一个边AB,该边的两个顶角A,B 是自由角,范围均为 0-360°, 另一个顶点由相交角的交点 构成。
2)对于 含弧角 的做法:含弧角,即平面任意一点对三角形边长的张角。 本质上就是过三个点,做圆。我们找到含弧角$X$在三角形边的另一个侧的某点,其对弦长的张角是$\pi - X$,这四个点共圆,然后根据圆的特点,将该角$\pi - X$转化成直角三角形的一个内角。

所以,如此一来,我做出的图形就是 封闭的完整的曲线,不存在残缺现象, 是原题的答案的全貌。
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发表于 2016-7-20 15:50:22 | 显示全部楼层
wanye得到封闭的图是因为使用了有理角度。
由于${(\Delta(A)+2k_1\pi=m_2\delta(A)), (\Delta(B)+2k_2\pi=m_2\delta(B)), (\Delta(C)+2k_3\pi=m_2\delta(C)):}$
封闭图形代表不管$m_0$的初始值选择是多少,经过周期$M$后,也就是$m_2=m_0+M$时,对应的图总是和$m_0$对应的图相等,此时得出
${(2k_1\pi=M\delta(A)),(2k_2\pi=M\delta(B)),(2k_3\pi=M\delta(C)):}$
也就是有理角度对应的图是封闭图形,其中周期M要求使得$M\delta(A),M\delta(B),M\delta(C)$都是$2\pi$的整数倍的最小值。
于是这时$k_1,k_2,k_3$分别代表曲线穿越对应顶点的次数
但是如果角度不是有理数,那么图形就不会封闭了。

点评

穿越顶点的次数跟角盈对应成比例,如果是无理数,这个规则就打破了...  发表于 2016-7-20 18:07
嗯嗯,有道理  发表于 2016-7-20 15:54
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