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楼主: hujunhua

[讨论] 三角形的心迹

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发表于 2016-7-20 15:56:43 | 显示全部楼层
这个就为难我了。不知道怎么设置Geogebra的角度为一个无理数。

点评

否则,不封闭  发表于 2016-7-20 16:03
比值为有理数,则图像封闭 是比较显然的  发表于 2016-7-20 16:03
嗯,这个从比值的 不可约分数变大后,图形变密集也看得出来  发表于 2016-7-20 16:01
不需要真正无理数,只要小数点后面多几位就应该看不到周期了  发表于 2016-7-20 15:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-7-20 16:06:38 | 显示全部楼层
当三角形的三个角的角偏的比值是有理数的时候,图像是封闭的,而且每个角的曲线分支数跟角偏是对应成比例的。
这个曲线的走线方式 甚至可以总结出一定的规律来,太神奇了。 感觉有点像是玩拓扑结构的味道。

点评

是我还没适应过来嘛,拿霸权来扣杀我,真是吓煞我也  发表于 2016-7-20 17:37
呃呃呃,改回来了  发表于 2016-7-20 17:36
此皆霸权主义的表现^_^  发表于 2016-7-20 16:38
美国人不承认中国对南海的主权,你不接受我对角盈的命名  发表于 2016-7-20 16:34
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 楼主| 发表于 2016-7-20 16:42:10 | 显示全部楼层
俺对问题1的预测好离谱啊

俺还怕它形迹单调,原来它却如此妖

点评

并不离谱。其中一个角度为60°,且非等腰三角形的时候,问题一是成立的,一堆的心共圆,此圆叫做 胡子圆, ^_^  发表于 2016-7-22 09:55
俺在外手头没武器, 只能发评论和感叹  发表于 2016-7-20 18:20
是啊。好绕啊。求老大总结一个绕法大全。  发表于 2016-7-20 17:45
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 楼主| 发表于 2016-7-20 19:30:09 | 显示全部楼层
一个三角形可以决定一条心迹曲线,就像可以决定一个外接圆一样。
但反过来却有所不同。
如果心迹曲线有3个自交点,就很容易从心迹还原三角形。但你永远无法从外接圆还原三角形。
若心迹曲线没有3个自交点,还能还原三角形吗?
换言之,会有两个不重合的三角形共心迹吗?
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发表于 2016-7-20 20:14:38 来自手机 | 显示全部楼层
显然,选两个对称轴重叠的等腰三角形可
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发表于 2016-7-20 21:23:23 | 显示全部楼层
心迹曲线 再加上 心迹上的给定$m$的某一点的坐标,即$(x(m),y(m))$,能反过来 确定 三角形的三个顶点的坐标。
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 楼主| 发表于 2016-7-22 01:47:42 | 显示全部楼层

∠B=60°时的LH(1,1)


现在知道∠B=60°,∠A≠∠C 时,心迹就是三角形外接圆关于边 AC 的镜像圆。

这时发现 LH(1,1) 在三角形的一条中线上(不用说,就是过顶点B的那条)。

即为那条中线与镜像圆的交点。
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发表于 2016-7-22 08:49:02 | 显示全部楼层

RE:∠B=60°时的LH(1,1)

hujunhua 发表于 2016-7-22 01:47
现在知道∠B=60°,∠A≠∠C 时,心迹就是三角形外接圆关于边 AC 的镜像圆。

这时发现 LH(1,1) 在三角 ...


刚验证了一下。$∠B=60°$时的心迹图 确实是三角形外接圆关于边 $AC$ 镜像圆。
此镜像圆还挺有来头的,
1)该圆过外心($LH(2,0)$),内心($LH(1/2,3/2)$),垂心($LH(-1,3)$),$A$点($LH(-4,6)$),$C$点($LH(6,-4)$),与$B$点相望的旁心($LH(-7,9)$),$AB$中垂线与$BC$的交点($m =- 4.285....$),$BC$中垂线与$AB$的交点($m = 4.285...$),$LH(1,1)$点(在过$B$点的中线上)。
2)该圆的圆心在$B$点的角平分线上,$AC$的中垂线上,三角形的外接圆上。

这算是对胡老大的一个安慰吧,问题一的肯定。干脆将该圆 命名为 胡子圆 吧,
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发表于 2016-7-22 10:51:10 | 显示全部楼层
其实。对于非平凡情况,即心迹曲线图 既非欧拉线,又非圆的时候,都是经过三角形 三个顶点,外心,内心,垂心的。
另外,还总是经过其中一个旁心,至于哪个旁心暂时还未看出规律来。

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点评

看上去确实是 拐点  发表于 2016-7-22 19:14
B虽不是自交点,但应该是心迹的一个拐点,因此是可还原的。  发表于 2016-7-22 18:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2016-7-22 11:06:19 | 显示全部楼层
在2#瞎揣测时居然没发现“胡子圆”(笑纳了)这一支持“圆”说的佐证,还拉扯重心,好遗憾啊。

咋这么迟钝了呢?

点评

这个从δ(B)=0→Δ(B)=2π/3就显露了,不需要武器。  发表于 2016-7-22 12:12
是没武器的缘故吧, 哈哈  发表于 2016-7-22 11:19
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