三角形的心迹

wayne

当三角形的三个角的角偏的比值是有理数的时候，图像是封闭的，而且每个角的曲线分支数跟角偏是对应成比例的。
这个曲线的走线方式 甚至可以总结出一定的规律来，太神奇了。 感觉有点像是玩拓扑结构的味道。

hujunhua

俺对问题1的预测好离谱啊

俺还怕它形迹单调，原来它却如此妖绕

hujunhua

一个三角形可以决定一条心迹曲线，就像可以决定一个外接圆一样。
但反过来却有所不同。
如果心迹曲线有3个自交点，就很容易从心迹还原三角形。但你永远无法从外接圆还原三角形。
若心迹曲线没有3个自交点，还能还原三角形吗？
换言之，会有两个不重合的三角形共心迹吗？

mathe

显然，选两个对称轴重叠的等腰三角形可

wayne

心迹曲线 再加上 心迹上的给定$m$的某一点的坐标,即$(x(m),y(m))$，能反过来 确定 三角形的三个顶点的坐标。

hujunhua

现在知道∠B=60°，∠A≠∠C 时，心迹就是三角形外接圆关于边 AC 的镜像圆。

这时发现 LH(1,1) 在三角形的一条中线上（不用说，就是过顶点B的那条）。

即为那条中线与镜像圆的交点。

wayne

hujunhua 发表于 2016-7-22 01:47
现在知道∠B=60°，∠A≠∠C 时，心迹就是三角形外接圆关于边 AC 的镜像圆。

这时发现 LH(1,1) 在三角 ...

刚验证了一下。$∠B=60°$时的心迹图 确实是三角形外接圆关于边 $AC$ 镜像圆。
此镜像圆还挺有来头的，
1）该圆过外心($LH(2,0)$)，内心($LH(1/2,3/2)$)，垂心($LH(-1,3)$)，$A$点($LH(-4,6)$)，$C$点($LH(6,-4)$)，与$B$点相望的旁心($LH(-7,9)$)，$AB$中垂线与$BC$的交点($m =- 4.285....$)，$BC$中垂线与$AB$的交点($m = 4.285...$)，$LH(1,1)$点(在过$B$点的中线上)。
2）该圆的圆心在$B$点的角平分线上，$AC$的中垂线上，三角形的外接圆上。

这算是对胡老大的一个安慰吧，问题一的肯定。干脆将该圆 命名为 胡子圆 吧，

wayne

其实。对于非平凡情况，即心迹曲线图 既非欧拉线，又非圆的时候，都是经过三角形 三个顶点，外心，内心，垂心的。
另外，还总是经过其中一个旁心，至于哪个旁心暂时还未看出规律来。

hujunhua

在2#瞎揣测时居然没发现“胡子圆”（笑纳了）这一支持“圆”说的佐证，还拉扯重心，好遗憾啊。

咋这么迟钝了呢？

wayne

这个问题可以从对称角度来考虑。  凡是在定义上具有对称意义的心，套进 角偏的定义里面，都是满足条件的， 于是自然也就是 心迹曲线中的 一员了。如果感兴趣的话，我们可以分别计算每个心对应的m值。或者，反过来给定一个m值，我们去抢占这个心的命名，呵呵。

我纳闷的是 这三个旁心。为啥总有一个也在心迹曲线上