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楼主: hujunhua

[讨论] 三角形的心迹

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发表于 2017-8-25 13:03:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 creasson 于 2017-8-25 13:07 编辑

\[\begin{array}{l}
A{\rm{: }}{f_{PA}}\mathop {PA}\limits^ \to   + {f_{BA}}\mathop {BA}\limits^ \to   + {f_{CA}}\mathop {CA}\limits^ \to   + {f_{DA}}\mathop {DA}\limits^ \to   = 0\\
B{\rm{: }}{f_{PB}}\mathop {PB}\limits^ \to   + {f_{AB}}\mathop {AB}\limits^ \to   + {f_{CB}}\mathop {CB}\limits^ \to   + {f_{DB}}\mathop {DB}\limits^ \to   = 0\\
C{\rm{: }}{f_{PC}}\mathop {PC}\limits^ \to   + {f_{AC}}\mathop {AC}\limits^ \to   + {f_{BC}}\mathop {BC}\limits^ \to   + {f_{DC}}\mathop {DC}\limits^ \to   = 0\\
D{\rm{:  }}{f_{PD}}\mathop {PD}\limits^ \to   + {f_{AD}}\mathop {AD}\limits^ \to   + {f_{BD}}\mathop {BD}\limits^ \to   + {f_{CD}}\mathop {CD}\limits^ \to   = 0
\end{array}\]
P点的平衡条件可由这四个方程相加得到,故不列出. 然后第一个方程乘向量\[\mathop {PA}\limits^ \to  \], 第二个乘\[\mathop {PB}\limits^ \to  \]...
应用余弦公式,再应用重心坐标距离公式,方程组变为四个不高于六次的多项式方程组, 可能无法求出显式解.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-8-25 21:07:31 来自手机 | 显示全部楼层
厉害啊,creasson老师,您的方法确实可行,显示解应该可以求出,而能很复杂。如有空,请您用功能强大的符号软件试一下,或许会有意想不到的惊喜呢。祝您成功!
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发表于 2017-8-26 07:19:02 来自手机 | 显示全部楼层
打错字了。如果没有显式解,隐式解也可以。这个问题有物理背景,应该就是陈省身大师所认定的“好课题”。
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发表于 2017-8-26 09:19:56 | 显示全部楼层
陈九章 发表于 2017-8-26 07:19
打错字了。如果没有显式解,隐式解也可以。这个问题有物理背景,应该就是陈省身大师所认定的“好课题”。

你自己推导吧,这计算有点繁杂. 我只对能否求解感兴趣
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发表于 2017-8-26 09:37:13 来自手机 | 显示全部楼层
你有核武器(符号软件)都怕麻烦,我的小米加步枪,拉倒吧。呵呵
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 楼主| 发表于 2017-8-26 15:04:37 | 显示全部楼层
陈九章 发表于 2017-8-21 09:19
关于等力点的物理意义,2000年,我在东方数学论坛上发过一帖,供参考:


虽然未经计算,但我断言您的结论是错误的。

您说的位置应该是三个点电荷的静电场奇点,它不仅与诸电荷的位置有关,也与诸电荷的电量之比有关。
而三角形的等力点仅与三顶点位置有关。
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发表于 2017-8-26 19:00:31 来自手机 | 显示全部楼层
胡老师,您好!您的断言颇有道理。我1990年解决平面四点电荷在静电力作用下的平衡问题时,与您有同样的困惑与惊奇,故一直等到2005年才成文投稿。拙作《三角形等力点的物理意义》发表于《中学数学》(2006年第5期)。您有空就审阅一下。
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发表于 2017-8-29 12:35:44 | 显示全部楼层

下面的问题非常有趣,欢迎数学星空、hujunhua、wayne、creasson、gxqcn等实力派专家赐教!

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发表于 2017-8-29 13:46:38 | 显示全部楼层
顶点三合力方向在球心与顶点连线上(球心的重心坐标可由四顶点给出), 由内积可列四个关于棱长的方程. 六条棱长, 指定半径情况下减为五个变量. 还差一个方程, 怎么回事

点评

你错了, 内心-外心距离 是直接由重心坐标的一般距离式直接得到的,见/thread-9595-2-1.html之重心坐标的几个应用. 这题有空用个例子检验解是否存在,暂定电荷分别为1,2,3,4  发表于 2017-8-31 13:18
想2013年7月,creasson老师挥舞功能强大的符号软件,一举推广了著名的Euler内心-外心距离公式,何等英勇豪迈!现在,creasson老师宝刀未老,为什么不试一下这个问题呢?  发表于 2017-8-30 22:38
使用内积确实将方程变复杂了, 应使用合力分量. 方程组是自洽的?  发表于 2017-8-30 12:56
是等价的  发表于 2017-8-30 12:50
两位专家各有道理。四面体形状由四点电荷的电荷量a、b、c、d唯一确定。hujunhua老师只有三个顶点是独立的,6个方程。  发表于 2017-8-29 19:37
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发表于 2017-8-30 06:48:49 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2016-8-12 12:09
得空了,继续深入阅读wikipedia的解释。画出了 \(\triangle ABC\) 的第一等力点和第二等力点, 画图如下:
...

关于Apollonius圆和等力点,《近代欧氏几何学》上有详细介绍,我在1990年进行了推广:

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