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楼主: hujunhua

[讨论] 三角形的心迹

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发表于 2016-8-7 22:33:16 | 显示全部楼层
即对于H(1,1)有结论:

\(ax=by=cz=T^2\)

\(T^4=\frac{a^2+b^2+c^2±4\sqrt{3}S}{2(a^{-2}+b^{-2}+c^{-2}-R^{-2})}\)

点评

结果很强。发现ax=by=cz有一个漂亮的几何证明  发表于 2016-8-8 17:00
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 楼主| 发表于 2016-8-8 17:52:57 | 显示全部楼层

带第1等力点的三角形的最简图

为了研究 LH(1,1), 常常需要作一个带 LH(1,1) 的三角形,前几天的作法基于前面发现的一些性质,都不是十分简明。

今天为了研究@数学星空 楼上的等式  ax=by=cz, 偶然发现了一个十分简明的构图。

如图,H 是三角形 ABC 的 LH(1,1), 依次连结并延长 AH,BH,CH 至圆 `\bigodot ABC`,可得正三角形`A_1B_1C_1`.

反过来,为了作 一个带 LH(1,1) 的三角形,可以先作一个带外接圆的正三角形 `A_1B_1C_1`,
然后在其内任选一点 H,依次连结并延长 `A_1H,B_1H,C_1H`并延长至外接圆,即得带第1等力点 H 的三角形 ABC。

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 楼主| 发表于 2016-8-8 18:51:40 | 显示全部楼层

ax=by=cz的几何证明

@数学星空 在51#所给 ax=by=cz, 在上楼的图中即 AH·BC=BH·CA=CH·AB
由相交弦定理知 `AH·HA_1=BH·HB_1=CH·HC_1`,
于是问题转化为` BC:CA:AB=HA_1:HB_1:HC_1`
即由`HA_1, HB_1, HC_1`围成的三角形与`\triangle ABC` 相似。
为此,可将正三角形`\triangle A_1B_1C_1`绕 H 旋转 60°,得正三角形`\triangle A_2B_2C_2`,见下图

`\because A_1C_1\pqd A_2B_2`,`\therefore A_1A_2\pqd B_2C_1`, 同理`B_1B_2\pqd A_1C_2,C_1C_2\pqd B_1A_2`
故 `\triangle A_1HC_2\cong\triangle HA_2B_1\cong\triangle B_2C_1H`
由 H 的定义及作图知这三个三角形的内角
`\alpha=\angle B_1HC_1-\pi/3=\angle BHC-\pi/3=\angle A,\beta=\angle B,\gamma=\angle C`
故这三个全等的三角形与`\triangle ABC`相似.
所以最后可得 ax=by=cz

至于这个定值是多少,就得另费周章了。

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发表于 2016-8-9 15:02:36 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2016-8-7 01:50
想起本站的@wiley提到过一个三角形中心百科大全的网站,在本坛搜了半天(主要是wiley的名字没搞准)终于找 ...


维基百科有解释,没看太懂。大致意思是三角形围绕这个点所做的反演变换之后就会变成等边三角形。等力点 具有莫比乌斯变换的不变性。
非等边三角形都有两个等力点,等边三角形有一个。
https://en.wikipedia.org/wiki/Isodynamic_point

点评

经反演变换成为正三角形的原因正是52#的图  发表于 2016-8-10 09:03
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发表于 2016-8-12 12:09:56 | 显示全部楼层
得空了,继续深入阅读wikipedia的解释。画出了 \(\triangle ABC\) 的第一等力点和第二等力点, 画图如下:
1)蓝色的圆是构成第一等力点的三个圆。
2)黑色的圆是构成第二等力点的三个圆。做法依据了 圆的阿波罗尼定义(Apollonius) ,或者看成 过三点做圆(经过三角形一个顶点,以及该定点处的角平分线和外角平分线与该顶点对边的两个交点(交点线段刚好是圆的直径),其实也是恒过第一等力点的)
三个圆的圆心共线,该直线也是西姆松线,并且是第一等力点和第二等力点构成的线段的中垂线。两个等力点关于三角形的外接圆成反演关系。
(或许等力点的意义就是源自于圆的阿波罗尼定义里的等比例的意义)
3)绿色的圆是三角形的外接圆,做出来是为了验证 反演变换成正三角形的"基圆"。

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发表于 2016-8-12 13:35:35 | 显示全部楼层
关于三角形的第一,第二等力点最简单的尺规作图法(源自wikipedia)

分别作出三角形三个顶点$P$相对对边的镜像点$P_1$,针对每个顶点$P$,在其对边向内(或者向外)做以对边边长为边长的正三角形。获取该正三角形的顶点$Q$。则直线$P_1Q$必过第一等力点。 向外做正三角形,则直线必过第二等力点。


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发表于 2017-8-21 09:05:53 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2016-8-8 18:51
@数学星空 在51#所给 ax=by=cz, 在上楼的图中即 AH·BC=BH·CA=CH·AB
由相交弦定理知 `AH·HA_1=BH·HB_1 ...

hujunhua老师:您好!
今天有空,看到大作。
这个公式,我1990年导出,2005年发表:

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发表于 2017-8-21 09:19:17 | 显示全部楼层
关于等力点的物理意义,2000年,我在东方数学论坛上发过一帖,供参考:

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发表于 2017-8-22 11:43:36 | 显示全部楼层
三角形特殊点------等力点的发现
1785年,法国物理学家C.A.Coulomb(1736-1805)发现了著名的库伦定律,
1885年,卢森堡数学家J.J.B.Neuberg(1840-1926)运用库伦定律,研究平面四点电荷在静电作用下平衡的问题时,发现并命名了等力点。
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发表于 2017-8-25 08:41:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 陈九章 于 2017-8-25 12:04 编辑

欢迎本论坛的数学星空、hujunhua、wayne、creasson、gxqcn等实力派专家赐教!

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