三角形的心迹

hujunhua

wayne 发表于 2016-7-20 11:18
心迹的曲线方程可以写成参数形式｛x=x(m), y=y(m).  曲线形状取决于三角形的形状,  很可能跟三个内角角盈的 ...

我在主题帖中特别@数学星空，是觉得他看到帖子后可能会有探索心迹曲线方程的冲动，结果他首先将火力对准了LH(1,1).

hujunhua

上接15#

@mathe 在11#和12#推导中已经不得不使用扩展定义了，所以完善定义，使之符合曲线全貌是探究心迹曲线的基本要求。

mathe所使用的扩展定义是这样的：对于X=A, B, C, 同时成立Δ(X)≡m·δ(X)(mod 2π)

这个定义是否恰当和完备，值得研究。但它在11#和12#已经发挥作用，得到了一些有启示性的结果。

如果这个定义不够准确的话，那么找到更准确的定义，应能得到更准确的结果。

分歧主要会出在分角P(X)的取值方向。

原定义的注2中说要使分角取值合围一个周角（以满足ΣP(X)=2π），并保持P(X)的连续性。这个描述本身就不够清晰，其准确性也要打问号。

如何取角，@wayne 的作图方法是个不错的参考，他得到的封闭、光滑曲线应该是完整曲线了。
要漏的话就会漏一整个封闭、光滑的分支。
很难想像一个三角形的心迹会有两个或者两个以上封闭、光滑的分支（真有的话两支不能相交吧）。

（下转……，或者待续）

数学星空

根据27#wayne的结论，我们来计算“胡子圆”方程表达式：

设\(\angle B=\frac{\pi}{3},mA-\frac{m\pi}{3}=t\),代入13#一般方程化简

\(a^2-y^2-z^2-yz\sin(t)\sqrt{3}-yz\cos(t)=0\)

\(b^2-x^2-xz-z^2=0\)

\(c^2-x^2-y^2-xy\cos(t)+xy\sin(t)\sqrt{3}=0\)

消元化简得到“胡子圆”(只与b有关，\(\angle{B}=\frac{\pi}{3}\))

\(3b^4-24b^2x_0^2-40b^2y_0^2+48x_0^4+96x_0^2y_0^2+48y_0^4=0\)

我们可建立坐标系，固定

\(\triangle ABC,A[\frac{b}{2},0],B[\frac{a^2-c^2}{2b},\frac{\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}}{2b}],C[\frac{-b}{2},0]\)

取\(a=3,b=\sqrt{13},c=4\)画图：

wayne

心迹曲线的方程的约束关系 还是不难列出来的。

直接根据向量内积的定义可以列出两个含参$m$的四次多项式。$m$是以其一次多项式的形式$m(\alpha -\pi/3)+2/3\pi$  存在于反余弦函数里面。
最终消去$m$的时候，比较为难，因为需要对$2\pi$取模，只能象征性的得到的是两个反余弦函数取等号的形式(很成问题)，所以 非平凡情况下 的 心迹曲线并不是 代数曲线了

mathe

在本题中，如果我们先不考虑存在m的约束，查看对于任意一个P点，$/_APB,/_BPC,/_CPA$的表示情况，现在比如我们让P点由三角形内部无限靠近直线AB,那么极限情况必然有$/_APB -> pi, /_BPC+/_CPA->pi$
然后我们继续让P点沿着直线AB向B点移动，当到达B点时极限行为是$/_APB=pi,/_CPA=/_B,/_BPC=pi-/_B$
但是如果我们开始让P点先靠近直线BC,然后在直线BC上向B点移动，到达B点时极限是$/_BPC=pi,/_CPA=/_B,/_APB=pi-/_B$
由此可见，这个角度本身的定义在三角形三个顶点就是变态。
所以对于本题来说，在三角形三个顶点出角度的定义只能沿着心迹曲线各个分支的极限行为进行定义。
但是我们可以知道对于P接近B点的情况，无论哪个分支，都必然有$/_APC=/_B+2k\pi$,由此我们可以得出对应的$m={/_B+2k\pi-{2\pi}/3}/{/_B-{\pi}/3}$,由此我们可以反推出各个分支中$/_BPC,/_APB$的取值，
从而得出各分支在此处的切线方向

另外一方面，对于三角形内部的P点，如果移动到直线AB以上以后，我们继续穿越过直线AB以后，那么为了保持三个角$/_APB,/_BPC,/_CPA$之和为$2pi$,从而保持了连续性和光滑性，那么这时我们应该定义$/_APB$为一个大于$pi$的角，
从而对这个角度的理解会同我们正常意义上的理解会不同（或者我们可以这时把它的角度看成负的，然后加上$2k\pi$）。
特别的，如果P点同时在边AB,BC以外，那么$/_APB,/_BPC$都是看成负角，这样才能保持心迹曲线的光滑性。
比如上面几个图中的胡子圆，我们能够得出胡子圆在三角形外部的部分，就是使用了负角(然后加上$2\pi$)的定义方案才能够达成。

如果反过来，我们定义P点在直线AB外部的角是正角，那么P在AB内侧时$/_APB$就必须使用负角来定义，我们就可以得到另外一条不同的光滑心迹曲线。同理根据P点在另外两条边的不同两侧的符号的不同选择，我们总共可以有8条不同的光滑心迹曲线。
wayne得到的图中只经过一个旁心，那么选择的不是全对称的两条曲线（即P在三角形内部时全部采用正角或全部采用负角的两种方案），而是另外6条对三个角不对称处理的方案。

wayne

wayne 发表于 2016-7-20 15:07
1）关于三角形ABC的做法：固定三角形的一个边AB，该边的两个顶角A, ...

mathe说的很有道理。

我对 我在#18关于含弧角的做法 一直都耿耿于怀。现在换了一种方案：
对于 含弧角 的做法：含弧角，即平面任意一点对三角形边长的张角。 本质上就是过三个点，做圆。比如作经过$P,A,B$三点的圆，我先作出弦长$AB$的中垂线与圆的交点，此交点与AB构成等腰三角形，$∠PAB =\pi/6 - m/2*(∠A-\pi/3)$

根据这个方案，得到的 心迹图 确实 竟然 跟原图 有些细节上的差异。 稍后整理，先忙其他的事情。

mathe

发现一个问题，胡子圆的结论其实是要求角度是以$pi$为周期的（当然我前面分析中角度的符号要求还在）。wayne和我分析过程的区别是我的一直是模$2pi$,而wayne的方法实际上是模$pi$

mathe

wayne的计算结果表明模$pi$方案得出结果有着良好的连续性，其方案如下:
i)对于平面上不属于三角形三个顶点的任意一点P,可以以三个圆PAB,PBC,PCA的外接圆作为P点的胡子坐标。
其中每个圆可以用$[0,\pi)$中一个常数来代替，比如圆PAB可以用$/_APB$或其补角表示。对于每个圆，其数值坐标的选择可以总是选择边AB的某一侧的圆周角，两种不同的选择会导致两种不同的方案
而三个坐标必然构成8种不同的方案，如果考虑到我们需要添加三个坐标之和为$pi$的倍数的约束条件，应该只有一半的符合要求，也就是有4种不同的方案（另外四种应该是一个角是另外两个之和或同这个和差$pi$的倍数）。
而对于一个角是$pi/3$的特殊情况，有三条曲线会重合到外接圆，而另外一个是胡子圆。

wayne

确实有的地方是模$\pi$. 甚至有可能是混杂着错误。

作图,在三角形$ABC$内，找到一点$P$，使得$∠BPC = m*(∠A -\pi/3)+2/3\pi,  ∠APC = m*(∠B -\pi/3)+2/3\pi, ∠APB = m*(∠C -\pi/3)+2/3\pi$


随着 $m$在实数范围内游走， $∠APC = m*(\beta -\pi/3)+2/3\pi$就会超出$[0,\pi]$， 那么，如何从方便几何作图的角度，延拓$ ∠APB，∠BPC，∠APC$的值，消除 mathe在35#所说的这些角的 病态特征(即在三角形顶点处，某些角度并不是光滑连续的变化)。

wayne

换了一种方法作图。都是根据四点共圆。之前的做法是找到与P点异侧的共圆点，现在是找同侧的点。
一开始由于某一边的顺时针与逆时针搞反了，做出的图不一样，以为发现只过一个旁心的症结了，现在纠正过来，跟原先作图法做出来的图像完全一样。悲剧了。
对于 圆PAB 的做法：先作出弦长$AB$的中垂线与$∠PAB =\pi/6 - m/2*(∠A-\pi/3)$的交点（一定要选取与P点同侧的点。同侧相等，异侧互补，才能共圆），然后直接过该点，以及A，B这三个点作圆，则P点也一定在其上

其他圆如法炮制。只需要做两个就行，我将三个圆全部做出来了，是为了验证三个圆交与一点。
贴图如下：
（外心是O，内心是I，旁心是三个带下标的I，垂心是H）