数字串的通项公式

northwolves

第一次接触到这个问题是好多好多年前了，大概初中二年级吧。有位邻居小哥哥（曾参加过80年代希望杯数学竞赛）告我这是贝亚蒂数列：

若两个正无理数p,q满足
$\frac1p+\frac1q=1$
即$q=\frac{p}{p-1}$
则 $\lfloornp\rfloor$ 与$ \lfloornq\rfloor$在自然数集上互为补集。

王守恩

northwolves 发表于 2023-12-12 16:44
第一次接触到这个问题是好多好多年前了，大概初中二年级吧。有位邻居小哥哥（曾参加过80年代希望杯数学竞赛 ...

1. Solve[{Floor[(58625 n)/100000] == Floor[(58615 n)/100000], 10000 > n > 9500}, {n}, Integers]

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{{n -> 9501}, {n -> 9513}, {n -> 9530}, {n -> 9542}, {n ->  9559}, {n -> 9571}, {n -> 9588}, {n -> 9617}, {n -> 9646}, {n -> 9675}}
如果我们只想要这个最大的n=9675, 这代码应该如何编？

1. Solve[{Floor[((58620 + 5) n)/100000] - Floor[((58620 - 5) n)/100000] ==GCD[Floor[(58625 n)/100000], n] == 1, 800 > n > 0}, {n}, Integers]

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{{n -> 29}, {n -> 621}, {n -> 650}, {n -> 679}, {n -> 708}, {n -> 737}, {n -> 766}, {n -> 795}}
如果我们只想要这个最小的n=29,  这代码又该如何编？

northwolves

王守恩 发表于 2023-12-14 16:06
{{n -> 9501}, {n -> 9513}, {n -> 9530}, {n -> 9542}, {n ->  9559}, {n -> 9571}, {n -> 9588}, {n -> ...

1. Solve[{Floor[(58625 n)/100000]==Floor[(58615 n)/100000],10000>n>9500},{n},Integers]//First
   
2. Solve[{Floor[(58625 n)/100000]==Floor[(58615 n)/100000],10000>n>9500},{n},Integers]//Last

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1. SelectFirst[Range[9500, 10000],
   
2. Floor[(58625 #)/100000] == Floor[(58615 #)/100000] &]
   
3. SelectFirst[Range[10000, 9500, -1],
   
4. Floor[(58625 #)/100000] == Floor[(58615 #)/100000] &]

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王守恩

northwolves 发表于 2023-12-14 18:13

题目来自知乎：已知a/b经四舍五入后的近似值为0.5862，求满足以上条件的a,b的最小值（a,b均为整数）？
我是这样想的：Floor[0.58625*b]-Floor[0.58615*b]=1, =1就是解,  =0就不是解。
我就想知道：=1时b最小=？(以前的数都是无解的),     =0时b最大=？(以后的数都是有解的)。

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1. m = 0.5862; SelectFirst[Convergents[m, 20], Round[#, 0.0001] == m &]
   
2. 
   
3. $\frac{17}{29}$

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northwolves

1. f[x_]:=Select[Range@20000,Floor[0.58625*#]-Floor[0.58615*#]==x&];{Min@f@1,Max@f@0}

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{29,9675}

王守恩

northwolves 发表于 2023-12-14 19:46
{29,9675}

1. Table[Select[Range@1000, Floor[((10 n + 5)*#)/100000] == Ceiling[((10 n - 5)*#)/100000] &] //Min, {n, 5850, 5870}]

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{147, 94, 135, 217, 41, 152, 111, 70, 169, 99, 157, 244, 29, 249, 162, 104, 179, 75, 121, 213, 46}

1. Table[Select[Range@20000, Floor[((10 n + 5)*#)/100000] == Floor[((10 n - 5)*#)/100000] &] //Max, {n, 5850, 5870}]

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{9900, 9953, 9912, 9871, 9842, 9924, 9854, 9965, 9866, 9936, 9907, 9878, 9675, 9861, 9919, 9948, 9873, 9902, 9856, 9764, 9977}

1. Table[Select[Range@500, Floor[(100000 #)/(10 n - 5)] == Ceiling[(100000 #)/(10 n + 5)] &] //Min, {n, 5850, 5870}]

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{86, 55, 79, 127, 24, 89, 65, 41, 99, 58, 92, 143, 17, 146, 95, 61, 105, 44, 71, 125, 27}

1. Table[Select[Range@10000, Floor[(100000 #)/(10 n - 5)] == Floor[(100000 #)/(10 n + 5)] &] //Max, {n, 5850, 5870}]

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{3350, 3381, 3357, 3309, 3388, 3412, 3347, 3371, 3354, 3395, 3378, 3344, 3283, 3385, 3402, 3419, 3375, 3348, 3392, 3338, 3409}

题目：已知a/b经四舍五入后的近似值为0.5862，求满足以上条件的a,b的最小值(a,b均为整数)。
29表示最小的分母b,  29--9675范围的数可能有解, 也可能无解， 但大于9675的数就肯定有解了。
17表示最小的分子a,  17--3283范围的数可能有解, 也可能无解， 但大于3283的数就肯定有解了。
后面2个好像简单些？不一定, 17是分子(纯分数管用), 29是分母(带分数管用)。这些数的规律(未知)？
“渐近分数”追求的是“1”，这里(误差分数)追求的也是"1", 相对的,误差分数分布是均匀可控的。
453#--457#是类似的题目。还有《[求助]分数化小数, 小数部分出现2021, 求分母最小值》。

王守恩

northwolves 发表于 2023-12-14 19:46
{29,9675}

468#与457#是相通的(速度还是慢)。

1. Table[Select[Range@400000, Floor[(N[Pi - 3, n - 1] + 5/10^n) #] == Ceiling[(N[Pi - 3, n - 1] - 5/10^n) #] &] // Min, {n, 2, 12}]

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{6, 7, 85, 113, 113, 113, 28017, 32650, 33215, 99532, 364913}

1. Table[Select[Range@400000, Floor[(N[Pi - 3, n - 1] - 5/10^n)^-1 #]==Ceiling[(N[Pi - 3, n - 1]+5/10^n)^-1 #] &] //Min, {n, 2, 12}]

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{\[Infinity], 1, 12, 16, 16, 16, 3967, 4623, 4703, 14093, 51669}

王守恩

northwolves 发表于 2023-12-14 19:46
{29,9675}

已知a/b经七舍八入(意思与四舍五入相同)后的近似值为0.1234，求满足条件的a,b最小值(a,b均为整数)？
更贪心一点:可以有通项公式(不一定是七舍八入)？