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楼主: wayne

[讨论] 果树种植最优解精美图形作法探讨

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 楼主| 发表于 2012-1-19 17:30:24 | 显示全部楼层
51# sheng_jianguo

欢迎参与过果树讨论的元老成员归队,呵呵,让我们重新燃起热情吧。
mathe继续完成第一问,解决 所有的树都超过3行的情况

关于第二问,我最近攒了一些感性的认识。
目前最优解就2个,但不同的最优解经射影变换后的图形有很多是相似的。
这种分类方式只是方法论上的分类,
感觉最终呈现出结果,面向用户的还是射影变换分类为好
至于
但缺点是一个最优解有多少个射影等价类很难求出。

我目前找射影变换矩阵的方法就是 对于确定的一个最优解,从20个点中,找出所有的在某种类型的非奇异实变换下恒定不共线的三点组合,将此三点组合映射到一个美观的三角形,比如等边三角形,直角三角形
我在前面的尝试性工作中,发现这个候选的不共线的三点集合还是比较少的,分别是181和111组
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发表于 2012-1-19 22:41:19 | 显示全部楼层
52# wayne
您画的所有20棵树种植最优解精美图(23行)中,原始的图形数据有几个(精美图都是由这几个数据通过3×3矩阵变换而得到的)?
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 楼主| 发表于 2012-1-19 22:47:57 | 显示全部楼层
53# sheng_jianguo
原始数据就源自2个最优解:
一个是有理数解:

  1. ACEFDFHJBCIJBEHKADIKBFGMEJLMBDLNCGNODEGPFKNPAJOPAGLQCKMQCHLRDMOREIQRAHNSFIOSBPQSGHITABRTCDST
  2. {A,{1,-1,0}}        {B,{3/2,0,1}}        {C,{1,0,0}}        {D,{0,1,1}}
  3. {E,{1,-(4/3),0}}        {F,{0,1,0}}        {G,{3/2,-1,1}}        {H,{0,2,1}}
  4. {I,{1,0,1}}        {J,{0,0,1}}        {K,{3,-2,1}}        {L,{-(3/2),2,1}}
  5. {M,{3/2,-2,1}}        {N,{3,-1,1}}        {O,{1,-1,1}}        {P,{3,-3,1}}
  6. {Q,{5/2,-2,1}}        {R,{-(1/2),2,1}}        {S,{1,1,1}}        {T,{1/2,1,1}}
复制代码
一个是无理数解:

  1. ADGJBEIJCDHKAFIKCEGLBFHLCJMODINODLMPAHNPGKOPBGMQFJNQAEOQEHMRBKNRCFPRILQRABCSDEFSGHITJKLTMNST

  2. {A,{1,0,0}},{B,{0,1/2 (1-Sqrt[5]),1}},{C,{1/2 (-1+Sqrt[5]),1/2 (1-Sqrt[5]),1}},{D,{1,1/2 (1+Sqrt[5]),0}},{E,{0,1,1}},
  3. {F,{1/2 (1-Sqrt[5]),0,1}},{G,{1,1/2 (-3-Sqrt[5]),0}},{H,{1/2 (3-Sqrt[5]),-1,1}},{I,{0,0,1}},{J,{0,1,0}},
  4. {K,{1,0,1}},{L,{1,1/2 (-1-Sqrt[5]),1}},{M,{1/2 (-1+Sqrt[5]),-Sqrt[5],1}},{N,{1/2 (1-Sqrt[5]),-1,1}},{O,{1/2 (-1+Sqrt[5]),1,1}},       
  5. {P,{1/2 (5-Sqrt[5]),-1,1}},{Q,{1/2 (1-Sqrt[5]),1,1}},{R,{1/10 (5-Sqrt[5]),-(1/Sqrt[5]),1}},{S,{-1,1/2 (1-Sqrt[5]),1}},{T,{1,1/2 (-3-Sqrt[5]),1}}
复制代码
然后分别从中找出三个点来,使得三点组成的矩阵非奇异A,转化成新的空间里的某种特定的三角形B时(直角三角形,等腰三角形),且不含无穷远点。
即转换矩阵是 A-1*B

于是所有的20个点都在A-1*B 矩阵下变换
观察发现,每一种A对应一种稳定形态的相似图形,不会因为B的不同而不同,
刚好可作为射影变换的分类
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发表于 2012-1-20 16:49:22 | 显示全部楼层
楼主提出的果树种植最优解精美图形研究非常有意义,且作出的图形很优美精致,大家都应支持一下。
由于大多数人对20棵树问题比较感兴趣,在此对20棵树种植最优解精美图形研究谈谈个人想法,有不对的地方请mathe等高手 ...
sheng_jianguo 发表于 2012-1-19 17:10

第一问对于现在来说还是计算量太大
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发表于 2012-1-21 13:23:25 | 显示全部楼层
54# wayne
1#中第一个图(与eyond图等价)和最后一个图(与王兴君图等价)都是从第一组有理数解得出的?那么这两个图的A、B矩阵中的具体数据分别是多少呢?
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 楼主| 发表于 2012-1-21 20:42:21 | 显示全部楼层
56# sheng_jianguo
第一个图我还没解出确定的A,B来,折腾过,没有好结果就放弃了。
但差不多可以确认只能从第二组最优解(有理数的解)中找,而且根据eyond图各个顶点的度是5,6,6 可以判定 形状相似的只有82,83,89,100 号。
即矩阵A应该只可能是
82号: 三角形 ELS
83号:三角形 ELT
89号: 三角形ENR
100号: 三角形ERS

至于B不大可能是等边三角形,直角三角形,因为我都试过了
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 楼主| 发表于 2012-1-21 20:54:01 | 显示全部楼层
56# sheng_jianguo
第二个图源自 有理数最优解。
A可以是很多,尤以3号,19号最美观。
分别对应 AGK ,   BCN
我画图用的是19号,B矩阵是 {{-Sin[a], Cos[a], 1}, {Sin[a], Cos[a], 1}, {0, -1, 1}}
其中参数a可以是任意角度, 如果保证结果都是整数点的话,a就应该选勾股数类型的,比如Arccos(4/5)。
这是画图的代码,你不用做任何修改,直接运行即可,当然了,不过需要安装D版Mathematica的。
代码不是很干净,有不少调试的片段。

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 楼主| 发表于 2012-1-21 21:19:43 | 显示全部楼层
由于B矩阵对图形的形状特征不产生影响,所以我就画出了2组最优解情况下的所有A矩阵的图形,,即无理数情况的181组和有理数解的111组,导出成pdf文件,图形是矢量的,可放大而不失精度。
下载地址是:http://115.com/file/anh38fh2
http://115.com/file/anh38jd6
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发表于 2012-1-25 14:07:51 | 显示全部楼层
我是新人,来向你们学习,春节快乐。
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发表于 2012-1-26 16:12:10 | 显示全部楼层
57# wayne
我以前对齐次坐标下射影变换理解有点问题(没有考虑到齐次坐标表示不唯一性),51#的观点(1#最后一个图形不能在射影变换下变成1#第一个图形)是不对的。仔细分析后得出1#最后一个图形可以在射影变换下变成1#第一个图形,射影变换矩阵如下:
383328/25        0              4599936/5
0              -255552/25        -511104
0              -6776/375        -32912/75
由上面结果,我认为按mathe 想法,果树种植最优解精美图形按最优解分类也是可以的。
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