果树种植最优解精美图形作法探讨

wayne

51# sheng_jianguo

欢迎参与过果树讨论的元老成员归队，呵呵，让我们重新燃起热情吧。
mathe继续完成第一问，解决 所有的树都超过3行的情况

关于第二问，我最近攒了一些感性的认识。
目前最优解就2个，但不同的最优解经射影变换后的图形有很多是相似的。
这种分类方式只是方法论上的分类，
感觉最终呈现出结果，面向用户的还是射影变换分类为好
至于

但缺点是一个最优解有多少个射影等价类很难求出。

我目前找射影变换矩阵的方法就是 对于确定的一个最优解，从20个点中，找出所有的在某种类型的非奇异实变换下恒定不共线的三点组合，将此三点组合映射到一个美观的三角形，比如等边三角形，直角三角形
我在前面的尝试性工作中，发现这个候选的不共线的三点集合还是比较少的，分别是181和111组

sheng_jianguo

52# wayne
您画的所有20棵树种植最优解精美图（23行）中，原始的图形数据有几个（精美图都是由这几个数据通过3×3矩阵变换而得到的）？

wayne

53# sheng_jianguo
原始数据就源自2个最优解：
一个是有理数解：

1. 
   
2. ACEFDFHJBCIJBEHKADIKBFGMEJLMBDLNCGNODEGPFKNPAJOPAGLQCKMQCHLRDMOREIQRAHNSFIOSBPQSGHITABRTCDST
   
3. {A,{1,-1,0}}        {B,{3/2,0,1}}        {C,{1,0,0}}        {D,{0,1,1}}
   
4. {E,{1,-(4/3),0}}        {F,{0,1,0}}        {G,{3/2,-1,1}}        {H,{0,2,1}}
   
5. {I,{1,0,1}}        {J,{0,0,1}}        {K,{3,-2,1}}        {L,{-(3/2),2,1}}
   
6. {M,{3/2,-2,1}}        {N,{3,-1,1}}        {O,{1,-1,1}}        {P,{3,-3,1}}
   
7. {Q,{5/2,-2,1}}        {R,{-(1/2),2,1}}        {S,{1,1,1}}        {T,{1/2,1,1}}
   

复制代码

一个是无理数解：

1. 
   
2. ADGJBEIJCDHKAFIKCEGLBFHLCJMODINODLMPAHNPGKOPBGMQFJNQAEOQEHMRBKNRCFPRILQRABCSDEFSGHITJKLTMNST
   
3. 
   
4. {A,{1,0,0}},{B,{0,1/2 (1-Sqrt[5]),1}},{C,{1/2 (-1+Sqrt[5]),1/2 (1-Sqrt[5]),1}},{D,{1,1/2 (1+Sqrt[5]),0}},{E,{0,1,1}},
   
5. {F,{1/2 (1-Sqrt[5]),0,1}},{G,{1,1/2 (-3-Sqrt[5]),0}},{H,{1/2 (3-Sqrt[5]),-1,1}},{I,{0,0,1}},{J,{0,1,0}},
   
6. {K,{1,0,1}},{L,{1,1/2 (-1-Sqrt[5]),1}},{M,{1/2 (-1+Sqrt[5]),-Sqrt[5],1}},{N,{1/2 (1-Sqrt[5]),-1,1}},{O,{1/2 (-1+Sqrt[5]),1,1}},       
   
7. {P,{1/2 (5-Sqrt[5]),-1,1}},{Q,{1/2 (1-Sqrt[5]),1,1}},{R,{1/10 (5-Sqrt[5]),-(1/Sqrt[5]),1}},{S,{-1,1/2 (1-Sqrt[5]),1}},{T,{1,1/2 (-3-Sqrt[5]),1}}
   

复制代码

然后分别从中找出三个点来，使得三点组成的矩阵非奇异A，转化成新的空间里的某种特定的三角形B时(直角三角形，等腰三角形)，且不含无穷远点。
即转换矩阵是 A^-1*B

于是所有的20个点都在A^-1*B 矩阵下变换
观察发现，每一种A对应一种稳定形态的相似图形，不会因为B的不同而不同，
刚好可作为射影变换的分类

mathe

楼主提出的果树种植最优解精美图形研究非常有意义，且作出的图形很优美精致，大家都应支持一下。
由于大多数人对20棵树问题比较感兴趣，在此对20棵树种植最优解精美图形研究谈谈个人想法，有不对的地方请mathe等高手 ...
sheng_jianguo 发表于 2012-1-19 17:10

第一问对于现在来说还是计算量太大

sheng_jianguo

54# wayne
1#中第一个图（与eyond图等价）和最后一个图（与王兴君图等价）都是从第一组有理数解得出的？那么这两个图的A、B矩阵中的具体数据分别是多少呢？

wayne

56# sheng_jianguo
第一个图我还没解出确定的A,B来,折腾过，没有好结果就放弃了。
但差不多可以确认只能从第二组最优解(有理数的解)中找，而且根据eyond图各个顶点的度是5,6,6 可以判定 形状相似的只有82,83,89,100 号。
即矩阵A应该只可能是
82号： 三角形 ELS
83号：三角形 ELT
89号： 三角形ENR
100号： 三角形ERS

至于B不大可能是等边三角形，直角三角形，因为我都试过了

wayne

56# sheng_jianguo
第二个图源自 有理数最优解。
A可以是很多，尤以3号，19号最美观。
分别对应 AGK ,   BCN
我画图用的是19号，B矩阵是 {{-Sin[a], Cos[a], 1}, {Sin[a], Cos[a], 1}, {0, -1, 1}}
其中参数a可以是任意角度， 如果保证结果都是整数点的话，a就应该选勾股数类型的，比如Arccos(4/5)。
这是画图的代码，你不用做任何修改，直接运行即可，当然了，不过需要安装D版Mathematica的。
代码不是很干净，有不少调试的片段。
new.7z (73.61 KB, 下载次数: 2)

2012-1-21 20:58 上传

点击文件名下载附件

wayne

由于B矩阵对图形的形状特征不产生影响，所以我就画出了2组最优解情况下的所有A矩阵的图形，，即无理数情况的181组和有理数解的111组，导出成pdf文件，图形是矢量的，可放大而不失精度。
下载地址是：http://115.com/file/anh38fh2
http://115.com/file/anh38jd6

我爱一条柴

我是新人，来向你们学习，春节快乐。

sheng_jianguo

57# wayne
我以前对齐次坐标下射影变换理解有点问题（没有考虑到齐次坐标表示不唯一性），51#的观点（1#最后一个图形不能在射影变换下变成1#第一个图形）是不对的。仔细分析后得出1#最后一个图形可以在射影变换下变成1#第一个图形，射影变换矩阵如下：
383328/25        0              4599936/5
0              -255552/25        -511104
0              -6776/375        -32912/75
由上面结果，我认为按mathe 想法，果树种植最优解精美图形按最优解分类也是可以的。