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楼主: wayne

[讨论] 果树种植最优解精美图形作法探讨

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 楼主| 发表于 2013-12-25 20:06:44 | 显示全部楼层
我在想,能否 通过 某种变换规则, 使得上面图形的内部 长度比能得到 调整.  这样让点更加分散,而不是现在这样的稍显集中.
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 楼主| 发表于 2013-12-25 22:38:10 | 显示全部楼层
前面也有这种形状的,(见43楼). 但内部 点的布局不一样.

222.png

43楼的坐标点全是有理数,而这里的坐标全是 无理数
ABCDEFGHIJKLMNOPQRST
{{-(9/5)+193/(20 Sqrt[5]),Root[9-9 #1^2+#1^4&,2]},{361/100,0},{1/100 (32+19 Sqrt[5]),Root[9-9 #1^2+#1^4&,1]},{1/100 (206+193 Sqrt[5]),Root[9-9 #1^2+#1^4&,1]},{1/100 (535-174 Sqrt[5]),0},{1/200 (-341+367 Sqrt[5]),-(1/4) Sqrt[3] (-1+Sqrt[5])},{1/200 (-167+193 Sqrt[5]),-(Sqrt[3]/(1+Sqrt[5]))},{1/100 (-316+19 Sqrt[5]),Root[9-9 #1^2+#1^4&,1]},{1/100 (-161+174 Sqrt[5]),0},{13/100,0},{1/100 (-142+193 Sqrt[5]),Root[9-9 #1^2+#1^4&,1]},{1/100 (-702+367 Sqrt[5]),Root[9-9 #1^2+#1^4&,2]},{1/500 (65+38 Sqrt[5]),-Sqrt[(3/5)]},{1/500 (65+734 Sqrt[5]),-Sqrt[(3/5)]},{-(1/4),Sqrt[3]},{1/300 (-309+386 Sqrt[5]),-Sqrt[(5/3)]},{1/100 (-1455+734 Sqrt[5]),Root[9-54 #1^2+#1^4&,2]},{1/100 (-373+348 Sqrt[5]),Sqrt[3]},{1/500 (935+212 Sqrt[5]),-Sqrt[(3/5)]},{7/100 (-23+16 Sqrt[5]),-Sqrt[(3/5)]}}
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发表于 2019-9-17 10:43:04 | 显示全部楼层
好像23行我找到了一个新的图谱
print(BFHICDJKAEGLHJLMDGINAKMNFGKOCIMOEIKPBGMPBCLQFJNQADOQACHRBENRDLPRABJSEHOSCFPSDEFTGHQTIJRTKLST);
solve([+1-2*T_X+1*P_Y*T_X-2*T_X*T_X,+1*P_Y-1*T_X-1*T_X*T_X,+1*P_Y*P_Y+1*T_X-3*P_Y*T_X,+1*N_X-1*P_Y+1*T_X,-1+1*P_X+1*P_Y-1*T_X,-1+1*S_X+1*T_X,-1+1*S_Y-1*T_X,+1*Q_Y+1*T_X,-2+1*A_Y+1*P_Y-1*T_X,+1+1*L_Y-1*P_Y+1*T_X,+3+1*F_Y-1*P_Y+2*T_X,-1+1*N_Y+1*P_Y,-1+1*K_X+1*P_Y,+1*D_X-1*P_Y,-1+1*G_Y+1*P_Y,-1+1*E_X+1*T_X,-1+1*O_X+1*T_X,-1+1*B_Y+1*P_Y-1*T_X,-1+1*R_X,-1+1*A_X,-1+1*D_Y+1*P_Y,+1*G_X-1*T_X,+1*Q_X-1*T_X,-1+1*R_Y,-1+1*T_Y,+1*K_Y-1*P_Y,+1*E_Y-1*P_Y],[P_Y,T_X,N_X,P_X,S_X,S_Y,Q_Y,A_Y,L_Y,F_Y,N_Y,K_X,D_X,G_Y,E_X,O_X,B_Y,R_X,A_X,D_Y,G_X,Q_X,R_Y,T_Y,K_Y,E_Y]);
print("B=(1,B_y,0) C_x=1 C_y=0 F=(1,F_y,0) H=(0,1,0) I=(1,0,0) J_x=0 J_y=1 L_x=0 M_x=0 M_y=0 O_y=0 ");
手工求解发现P_Y应该满足方程
P_Y^3 - 6*P_Y^2 + 5*P_Y - 1=0
取P_Y=0.30797852836990413037218510299793085980,可得如下图(四种彩色直线各自相交于一个无穷远点)
a.png
需要注意这个图中过每个点都至少四条直线,和以前的图都不相同
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 楼主| 发表于 2019-9-19 14:18:28 | 显示全部楼层
可惜之前附件的代码下载不了了.
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发表于 2019-9-19 15:35:46 | 显示全部楼层
试着对上面的图做了下变换,去掉无穷远点
p20-1.png

p20-3.png

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发表于 2019-9-20 09:14:07 | 显示全部楼层
这个三次方程不同的根对应的图应该同构的(前面我少了一条边,结果以为两图不同),比如t=0.64310413210779055610560048997869941660
可以得出如下的图:
n4.png
通过数值计算各边上四点形成的交比,可以得到三条边上四点的交比为0.198062,0.307979, 0.356896; 其余边上四点的交比均为0.445042,和方程的根的选择无关。
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发表于 2019-9-21 20:33:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 sheng_jianguo 于 2019-9-21 20:40 编辑
mathe 发表于 2019-9-19 15:35
试着对上面的图做了下变换,去掉无穷远点


@mathe  图形非常漂亮。
由于寻找23行解工作量特大,我想按点和线的关系分类也许搞清23行图的一种方法。任一23行图的点线关系都可以用集合Tdx={<m,n>|n为恰经过m条线的点的个数}来表示,如:{<6,4>,<5,5>,<4,10>,<3,1>}表明此图恰经过6条线的点有4个,恰经过5条线的点有5个,恰经过4条线的点有10个,恰经过3条线的点有1个。
经计算得到:如果23行图每个点至少有4条线相连(所有20棵树其中某一颗树只有不超过3行的所有23行结果已全部求出?),则所有的点线关系集合只可能有以下7个(很有规律):
1){<5,12>,<4,8>},2){<6,1>,<5,10>,<4,9>},3){<6,2>,<5,8>,<4,10>},4){<6,3>,<5,6>,<4,11>},5){<6,4>,<5,4>,<4,12>},6){<6,5>,<5,2>,<4,13>},7){<6,6>,<5,0>,<4,14>}
其中第1个就是刚刚找到的23行图,所以只要判别其他6个是否有最优解就可以了(不知这样是否可以减少求所有解的工作量)。

点评

但是如果没有发现必然有一条线上有两个四度点,那么去两个点就可能会变成18棵树15条线的情况,范围更大一些。  发表于 2019-9-21 21:42
参考链接[url=https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=703&pid=11859&fromuid=20]259#[/url]中$T_18$的定义,这里的要求稍微放大了一点范围。  发表于 2019-9-21 21:39
我现在已经得到的信息是可以知道必然存在一条线,上面至少有两个点只有四颗树。如果删除这两颗树,那么只会去掉7条线,所以可以得到18棵树16条线的结果,而且其中每颗树至少过两条线。  发表于 2019-9-21 21:37
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发表于 2019-9-23 22:29:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 sheng_jianguo 于 2019-9-23 22:42 编辑

@mathe  谢谢您的点评。由此我的看法如下,有什么不对地方请指正:
关于20棵树(每行4棵)23行有多少种问题是否先认为就是23行最优解(方程)有多少种问题,如果这样认为的话,要知道两点:
1)19棵树(每行4棵)20行一共有多少种解(方程)?从而推出含有经过某棵树只有3行的23行解(方程)的个数。(不可能有经过某棵树只有2行(或少于2行)的23行解,否则19棵树(每行4棵)的最优解是21行(或大于21行),但实际上是20行)
这部分工作已全部完成(从多少种解(方程)得出结果)?推出含有经过某棵树只有3行的23行解(方程)只有2个。
2)18棵树(每行4棵)16行一共有多少种解(方程)?从而推出存在一行,上面至少有两颗树只经过4行的23行解(方程)的个数。(上文78#也证实了:除了情况1)23行只能是这种情况,因为除了情况1)23行树每棵数至少经过4行,则只经过4行的树至少有8棵,意味着这8棵树之间若都没有连线,那么至少要有3*8+1=24棵树,但实际上只有20棵树)
这部分工作没完成(只找到1个解),16行解中,还有多少种没判别?
如果1)和2)都做完了,23行最优解(方程)有多少种问题也就知道了。
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发表于 2019-9-28 06:45:28 | 显示全部楼层
23行最后一部分数据现在计算机大概已经处理了1/3的数据,没有发现新的结果。而这三组数据都重复出现很多次。从概率上来说,继续找到新的解的概率已经不大了。
倒是现在找到了三组21棵树种24行的副产品(网络上能找到21棵树最优结果也是24行),而且都是整数坐标的,
其中第一组中点U还是半自由的(可以沿着一条直线任意滑动),所以从本质上一组代表无穷组
pic1.png
print(ACFGDGHJBCIJBFHKADIKBEGMFJLMBDLNCENODEFPGKNPAJOPAELQCKMQCHLRDMORFIQRAHNSGIOSBPQSEHITABRTCDSTEJKU);
solve([+1*U_X+3/2*U_Y,-1/2+1*T_X,+4/3+1*F_Y,+3+1*P_Y,+2+1*Q_Y,-5/2+1*Q_X,+1/2+1*R_X,+3/2+1*L_X,-3+1*P_X,-2+1*R_Y,+1+1*O_Y,-3/2+1*M_X,+1+1*N_Y,-3/2+1*E_X,-2+1*L_Y,-1+1*O_X,-1+1*S_X,-3+1*N_X,-3+1*K_X,-2+1*H_Y,-3/2+1*B_X,+1+1*A_Y,+2+1*M_Y,-1+1*T_Y,-1+1*S_Y,+1+1*E_Y,+2+1*K_Y],[U_X,T_X,F_Y,P_Y,Q_Y,Q_X,R_X,L_X,P_X,R_Y,O_Y,M_X,N_Y,E_X,L_Y,O_X,S_X,N_X,K_X,H_Y,B_X,A_Y,M_Y,T_Y,S_Y,E_Y,K_Y]);
print("A=(1,A_y,0) B_y=0 C=(1,0,0) D_x=0 D_y=1 F=(1,F_y,0) G=(0,1,0) H_x=0 I_x=1 I_y=0 J_x=0 J_y=0 ");

pic2.png
print(ADEGBEHJFGIJAFHKBDIKCEFLBCGNEIMNGHLOBFMOACMPDHNPAILQCDOQDJMREKPRFNQRAJOSBLPSGKQSCHITABRTCJKUDLTU);
solve([-5/6+1*U_Y,-1/3+1*S_Y,+1/6+1*S_X,-3/2+1*T_Y,-5/6+1*P_Y,-1/2+1*N_Y,+1/2+1*M_Y,+1/6+1*R_Y,-5/6+1*Q_X,+1/2+1*O_X,-5/6+1*U_X,-1/3+1*R_X,+2+1*A_Y,-1/2+1*L_X,+1/2+1*D_Y,-1/2+1*B_Y,-1+1*M_X,-1+1*O_Y,-1/3+1*Q_Y,-1/3+1*K_Y,+1/2+1*T_X,-1/2+1*C_Y,-1/2+1*F_X,-1/3+1*P_X,-1/2+1*C_X,-1+1*L_Y,-1+1*N_X,-1/3+1*K_X],[U_Y,S_Y,S_X,T_Y,P_Y,N_Y,M_Y,R_Y,Q_X,O_X,U_X,R_X,A_Y,L_X,D_Y,B_Y,M_X,O_Y,Q_Y,K_Y,T_X,C_Y,F_X,P_X,C_X,L_Y,N_X,K_X]);
print("A=(1,A_y,0) B_x=0 D=(1,D_y,0) E=(0,1,0) F_y=0 G=(1,0,0) H_x=0 H_y=1 I_x=1 I_y=0 J_x=0 J_y=0 ");

pic3.png
print(ADFGEGHJBDIJBFHKAEIKBELMBCGNDHMNCFLOCDEPGILPAHOPACMQFINQFJMRENORDKQRAJLSGKOSBPQSCHITABRTCJKUDLTU);
solve([-5/6+1*O_Y,+1/2+1*U_X,-1/2+1*P_Y,+1/6+1*S_Y,+1/2+1*M_X,-1/3+1*S_X,-1/3+1*R_Y,+1/6+1*R_X,-5/6+1*Q_X,+2+1*F_Y,+1/2+1*U_Y,-1+1*L_X,-1/3+1*Q_Y,-1/3+1*K_Y,-1/2+1*N_X,-1+1*M_Y,-1/3+1*O_X,-1/3+1*K_X,-1/2+1*E_Y,-1+1*P_X,-3/2+1*T_X,-1/2+1*C_X,-1+1*N_Y,+1/2+1*A_Y,-1/2+1*B_X,-1/2+1*C_Y,+1/2+1*T_Y,+1/2+1*L_Y],[O_Y,U_X,P_Y,S_Y,M_X,S_X,R_Y,R_X,Q_X,F_Y,U_Y,L_X,Q_Y,K_Y,N_X,M_Y,O_X,K_X,E_Y,P_X,T_X,C_X,N_Y,A_Y,B_X,C_Y,T_Y,L_Y]);
print("A=(1,A_y,0) B_y=0 D=(1,0,0) E_x=0 F=(1,F_y,0) G=(0,1,0) H_x=0 H_y=1 I_x=1 I_y=0 J_x=0 J_y=0 ");
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发表于 2019-9-28 09:12:25 | 显示全部楼层
试验了一下,21棵树24行的第一个解中,把半自由的U点删除后,就是我们以前找到的20棵树23行中的第二组解(整数解)
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