诡异的椭圆定理

数学星空

用一个比椭圆（焦点为F1,F2)周长长一些的绳圈套在上图的椭圆上，然后用一个张紧轮P将松松垮垮的绳子绷紧，绳子绷直的两段与椭圆相切于A、B处。
当轮P在绳子上滚动时，其轨迹是以F1和F2为焦点的椭圆？

数学星空

这个问题hujunhua版主曾提起过，具体见
http://bbs.emath.ac.cn/thread-3740-1-2.html
我们现在的问题是假设原椭圆方程为：$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,
用一根长为$L$的绳套在椭圆上滚动，求张紧轮$P$点的轨迹方程：
$x^2/m^2+y^2/n^2=1$,即求$m,n$的表达式？

数学星空

以下是陈都(Chendu)在东方论坛网站的发贴
http://bbs.cnool.net/cthread-65224240.html

数学星空

当然我们可以直接考虑计算$P$点的轨迹：

$(y-b*sin(t_1))/(x-a*cos(t_1))=-(b*cot(t_1))/a$

$(y-b*sin(t_2))/(x-a*cos(t_2))=-(b*cot(t_2))/a$

$-a*int_{t_2}^{t_1}sqrt(1-((a^2-b^2)*(cos(x))^2)/a^2)dx+a*int_{0}^{2*pi}sqrt(1-((a^2-b^2)*(cos(x))^2)/a^2)dx+$
$sqrt((y-b*sin(t_1))^2+(x-a*cos(t_1))^2)+sqrt((y-b*sin(t_2))^2+(x-a*cos(t_2))^2)=L$

从理论上说可以消元$t_1,t_2$,从而得到关于$x,y$的轨迹方程？
可是涉及椭圆积分似乎消元几乎是不可能的。
现在唯一的方法是利用数值计算从上面方程中算出$x,y$的值。

数学星空

当然，若$P$点的轨迹是与原椭圆共焦点的椭圆则我们可以设
$x=m*cos(t),y=n*sin(t)$
且$a^2-b^2=m^2-n^2$
当然就可以计算出$m,n$的表达式了。。

mathe

很诡异，是|AP|+|BP|+|弧AB|是常数吗？这可牵涉到椭圆弧长了

mathe

当然我们可以直接考虑计算P点的轨迹：

(y-b*sin(t_1))/(x-a*cos(t_1))=-(b*ctg(t_1))/a

(y-b*sin(t_2))/(x-a*cos(t_2))=-(b*ctg(t_2))/a

-a*int_{t_2}^{t_1}sqrt(1-((a^2-b^2)*cos(x))/a^2)dx+a*int_{0}^{2 ...
数学星空 发表于 2012-4-12 21:39

验证这个问题反过来就行了，也就是任意选择等焦点椭圆，然后验证从外面椭圆上任意一点P向里面椭圆上引两条切线PA,PB,那么|PA|+|PB|-|椭圆劣弧AB|是常数。我们可以选择P是椭圆两个顶点时的特殊情况看看。其中主要是一个椭圆积分的计算

zgg___

嗯，这个问题是可以用物理来弄的。赫赫。

久违了的受力分析，赫赫。

借用一下3层的图片哟。
分析P点的受力状况，可以看到它只受到绳子的张力T，因为T的大小总是相等，所以力合成的效果是沿着角APB的角平分线方向（就是法线方向），所以P点的运动方向将垂直于法线。
如hujunhua在http://bbs.emath.ac.cn/thread-3740-1-2.html 帖子的6层所说：“椭圆外一点向椭圆的张角与向椭圆两焦点的张角同角平分线。”所以它们共法线了。
既然它们在P点的运动方向总是一致的，那么它们的轨迹就重合了，所以轨迹就是椭圆了。
这的确是个有趣的结果。

yinhow

这个定理有问题，我曾数值计算画过这个轨迹，不是椭圆。还有一种验证方法，椭圆的极限是线段或圆，取两点是椭圆长轴的两个端点，极限是线段定理成立；极限是圆，定理不成立。

mathe

嗯，这个问题是可以用物理来弄的。赫赫。 3780 借用一下3层的图片哟。 分析P点的受力状况，可以看到它只受到绳子的张力T，因为T的大小总是相等，所以力合成的效果是沿着角APB的角平分线方向（就是法线方向），所以 ... zgg___ 发表于 2012-4-13 13:57

这个分析好像完全没有用到绳子长度是常数