头脑风暴系列之一 ----概率

sheng_jianguo

109# sheng_jianguo

发现关于三角形三边长的不等式  是海伦公式曲线的渐近线！！
图形在105楼。

三角形面积是  S=\sqrt((L^2-(x-y)^2)((x+y)^2-L^2))/4
这样记海伦公式很方便
wayne 发表于 2010-8-27 16:05

发现关于三角形三边长的不等式的具体公式是什么?

wayne

109# sheng_jianguo

要保证针这个线段与圆心有交点，需要保证线段两端点在圆外，圆心对针这个线段的张角大于90度且弦心距小于圆半径即可。
两端点在圆外： x>R , y>R
张角大于90度： x^2+y^2<L^2
弦心距小于半径，S面积<1/2*R*L

==========================
弦长大于根号3，则在上面的基础之上， S面积<1/4*R*L

wayne

111# sheng_jianguo

怪我没表述清楚，就是 三角形的任意两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，画出的图刚好就把 海伦公式的那个曲线给包围起来了，不管x,y如何变化，都逃脱不了这个U形管的范围

sheng_jianguo

113# wayne
经推算，当L为常数时
按面积得出的公式：
√((L*L-(x-y)(x-y))((x+y)(x+y)-L*L))=2L  （1）
确定的函数y=f(x)
和按长度得出的公式：
√(x*x-1)+√(y*y-1)=L     （2）
确定的函数y=g(x)
在讨论范围是同一个函数，即f(x)≡g(x)（将(2)式中的L代入(1)式后为恒等式）
区别在于√(x*x-1)+√(y*y-1)=L要求√(x*x-1)≤L且√(y*y-1) ≤L
而x，y都不小于1时，√(x*x-1)≤L且√(y*y-1) ≤L恰好是针和圆有两个交点的区域（不满足时针和圆交点数少于2个）。
所以“投针问题”应该用“海伦公式曲线” 中靠近原点那部分曲线，即√(x*x-1)+√(y*y-1)=L。
经数值积分估算，得到以下结果：
L=2,P≈0.070
L=3,P≈0.198
L=10,P≈0.233
L=1000,P≈0.237
(好像P不超过0.25)

wayne

114# sheng_jianguo
能否解释一下，式子2是如何得来的吗？
我还没理解过来

wayne

另外： 关于蒙提霍尔问题， 我感觉用模糊逻辑 来 解释似乎更妥，
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/模糊逻辑
呵呵，不过，看大家接不接受这个概念了

sheng_jianguo

114# sheng_jianguo
能否解释一下，式子2是如何得来的吗？
我还没理解过来
wayne 发表于 2010-8-30 12:37

就是计算面积的三角形（s=1/2*L*R，R=1），高将三角形分成两个直角三角形，也将底边（L）一分为二，长度分别为√(x*x-1)和√(y*y-1)（根据勾股定理）

wayne

117# sheng_jianguo
俺发现这个式子是冗余的，跟√((L*L-(x-y)(x-y))((x+y)(x+y)-L*L))=2L 是一回事的，不信你试试从海伦公式里面解出L来，看是不是跟你的式子2是一致的。

wayne

也就是说，你的计算还是没有排除  两端点均在圆外，其延长线才交与圆两点这种情况

sheng_jianguo

117# sheng_jianguo
俺发现这个式子是冗余的，跟√((L*L-(x-y)(x-y))((x+y)(x+y)-L*L))=2L 是一回事的，不信你试试从海伦公式里面解出L来，看是不是跟你的式子2是一致的。
wayne 发表于 2010-8-30 13:36

我在114#中已说明√((L*L-(x-y)(x-y))((x+y)(x+y)-L*L))=2L 和式子2是一致的。