头脑风暴系列之一 ----概率

wayne

59# sheng_jianguo
我倾向于这种方法解决：

因为弦长的自由度是2，所以，其概率空间应该由两个变量决定，我们分别设OA，OB向量的幅角为a,b，0<=a,b<2Pi 那么问题其实就是找出   2/3Pi < |a-b| <4/3Pi  的概率,画图，计算面积比例，得知概率是1/3

hujunhua

一条弦需要2个约束才能决定，这两个约束怎么取的问题如果不确定下来，概率就不一定可以确定下来。事实正是这样的。我们可以列举多种约束组合：
1、两个端点。结果是1/3
2、圆内任一点+该点是中点，1/4
3、一个端点+圆内任一点，$\pi/3+\sqrt3/2$
4、圆内任意2点，我还没有算

总之，“任取一条弦”是不够的，必须说明怎么决定弦，问题才算完整。

wayne

62# hujunhua
圆内任意两点，有意思，大大，咱们都算算吧

wayne

62# hujunhua

这两个约束必须是完全独立的， 。
比如这种情况：圆内任一点+该点是中点

选定了中点，你就没法任意一点了，

wayne

64# wayne
噢，对，俺理解错了，我以为你先是选定一中点，再选定圆内任意一点。
这种情况，其实就是一个(中)点的自由度。

wayne

我觉得题意其实很清楚的，就是两端点任意的那种类型，概率应该就是1/3。
分歧不在原题上，而出在解题过程中。

wayne

62# hujunhua
对于你的第三种情况：一个端点+圆内任一点

这个其实是条件概率， 是 “已知弦的一端点，使得弦长大于根号3的概率。

wayne

62# hujunhua

我觉得 一定可以从概率的乘法法则理清各种五花八门的概率之间的关系

sheng_jianguo

贝特朗（Bertrand）当初解法如下：
　　解法一：任取一弦AB，过点A作圆的内接等过三角形（如图1）。因为三角形内角A 所对的孤，占整个圆周的1/3 。显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦的长度才能超过正三角形的边长，故所求概率是1/3 。
　　解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 的直径PQ 。过点P 作等过三角形，交直径于N ，并取OP 的中点M如图2）。容易证明QN=NO=OM=MP 。我们知道，弦长与弦心距有关。一切与PQ 垂直的弦，如果通过MN 线段的，其弦心距均小于ON ，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是1/2 。
　　解法三：任取一弦AB 。作圆内接等边三角形的内切圆（如图3），这个圆是大圆的同心圆，而且它的半径是大圆的1/2 ，它的面积是大圆的1/4 ，设M 是弦AB 的中点，显然，只有中点落在小圆内时，AB 弦才能大于正三角形的边长。因此所求的概率是1/4 。

wayne

69# sheng_jianguo

概率=可行域空间/问题的空间

用方法一得到  概率1=可行域空间1/问题的变量空间1

用方法二得到  概率2=可行域空间2/问题的变量空间2

用方法三得到  概率3=可行域空间3/问题的变量空间3

如果 问题的变量空间1，问题的变量空间2，问题的变量空间3 是线性的关系的话，那么这三种方法得到的答案是一样的。
如果他们之间的关系是一种非线性映射的关系的话，那么，这三种方法得到的答案就不一定是一样了，问题的分歧就在这。
到底用什么样的变量空间来描述问题才是合理的呢。