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楼主: wayne

[讨论] 头脑风暴系列之一 ----概率

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 楼主| 发表于 2010-8-24 11:03:54 | 显示全部楼层
59# sheng_jianguo
我倾向于这种方法解决:

因为弦长的自由度是2,所以,其概率空间应该由两个变量决定,我们分别设OA,OB向量的幅角为a,b,0<=a,b<2Pi 那么问题其实就是找出   2/3Pi < |a-b| <4/3Pi  的概率,画图,计算面积比例,得知概率是1/3
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发表于 2010-8-24 11:39:05 | 显示全部楼层
一条弦需要2个约束才能决定,这两个约束怎么取的问题如果不确定下来,概率就不一定可以确定下来。事实正是这样的。我们可以列举多种约束组合:
1、两个端点。结果是1/3
2、圆内任一点+该点是中点,1/4
3、一个端点+圆内任一点,$\pi/3+\sqrt3/2$
4、圆内任意2点,我还没有算

总之,“任取一条弦”是不够的,必须说明怎么决定弦,问题才算完整。
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 楼主| 发表于 2010-8-24 11:44:07 | 显示全部楼层
62# hujunhua
圆内任意两点,有意思,大大,咱们都算算吧
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 楼主| 发表于 2010-8-24 11:53:38 | 显示全部楼层
62# hujunhua

这两个约束必须是完全独立的,
比如这种情况:圆内任一点+该点是中点

选定了中点,你就没法任意一点了,

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hujunhua + 2 圆内任一点不能做弦的中点?

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 楼主| 发表于 2010-8-24 12:06:12 | 显示全部楼层
64# wayne
噢,对,俺理解错了,我以为你先是选定一中点,再选定圆内任意一点。
这种情况,其实就是一个(中)点的自由度。
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 楼主| 发表于 2010-8-24 12:09:35 | 显示全部楼层
我觉得题意其实很清楚的,就是两端点任意的那种类型,概率应该就是1/3。
分歧不在原题上,而出在解题过程中。
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 楼主| 发表于 2010-8-24 12:24:00 | 显示全部楼层
62# hujunhua
对于你的第三种情况:一个端点+圆内任一点

这个其实是条件概率, 是 “已知弦的一端点,使得弦长大于根号3的概率。
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 楼主| 发表于 2010-8-24 12:30:16 | 显示全部楼层
62# hujunhua

我觉得 一定可以从概率的乘法法则理清各种五花八门的概率之间的关系
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发表于 2010-8-24 14:12:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 sheng_jianguo 于 2010-8-24 14:49 编辑

贝特朗(Bertrand)当初解法如下:
  解法一:任取一弦AB,过点A作圆的内接等过三角形(如图1)。因为三角形内角A 所对的孤,占整个圆周的1/3 。显然,只有点B 落在这段弧上时,AB 弦的长度才能超过正三角形的边长,故所求概率是1/3 。
  解法二:任取一弦AB ,作垂直于AB 的直径PQ 。过点P 作等过三角形,交直径于N ,并取OP 的中点M如图2)。容易证明QN=NO=OM=MP 。我们知道,弦长与弦心距有关。一切与PQ 垂直的弦,如果通过MN 线段的,其弦心距均小于ON ,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是1/2 。
  解法三:任取一弦AB 。作圆内接等边三角形的内切圆(如图3),这个圆是大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的1/2 ,它的面积是大圆的1/4 ,设M 是弦AB 的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB 弦才能大于正三角形的边长。因此所求的概率是1/4 。
贝特朗奇怪论.JPG
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 楼主| 发表于 2010-8-24 14:44:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2010-8-24 14:47 编辑

69# sheng_jianguo

概率=可行域空间/问题的空间

用方法一得到  概率1=可行域空间1/问题的变量空间1

用方法二得到  概率2=可行域空间2/问题的变量空间2

用方法三得到  概率3=可行域空间3/问题的变量空间3


如果 问题的变量空间1,问题的变量空间2,问题的变量空间3 是线性的关系的话,那么这三种方法得到的答案是一样的。
如果他们之间的关系是一种非线性映射的关系的话,那么,这三种方法得到的答案就不一定是一样了,问题的分歧就在这。
到底用什么样的变量空间来描述问题才是合理的呢。
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