头脑风暴系列之一 ----概率

风云剑

厉害，看了下这个介绍，还真的看不懂。 虚拟世界的问题以前经常和同事们讨论，焦点就是处在U中是否有办法知道U是虚拟的。 也是陷入了嵌套虚拟的问题，也想到资源和计算能力的区别，当然最后还是无解！

sheng_jianguo

本人多年前曾对蒙提霍尔问题分析研究过，在此谈谈我的看法。 允许我在此先把问题“严格”叙述一下，下面你将看到，如果问题提的稍微变一点点，此问题的性质就会完全不一样： 美国有一家报纸，叫做<<行进>>（Parade）。在它的星期日增刊上，有一个专栏，叫做“请问玛丽莲”(Ask Marilyn)。在这个专栏中，常有一些有趣的问题，要广大读者作答，当然，最后权威的解答由主持人“玛丽莲小姐”给出。在1990年9月9日的“请问玛丽莲”专栏中，有这样一个问题: 电视节目主持人请你参加一项有奖游戏，就像我国很多电视台节目中的“请你参加”一样。主持人让你看3扇关着的门，这3扇分别编上了号码:1号门、2号门和3号门。主持人告诉你：其中一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面各有一头山羊，你可以从中选择一扇门，选定后，这扇门后面的东西就归你了。这可是太富有刺激性了！ 你当然希望得到一辆汽车，但是此时此刻，你只能凭运气，随机地选择一扇门，除此别无他法。比方说你选择了1号门。但这时主持人﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚打开了另两扇门的一扇，如果他打开了3号门，让你看到这后面是一头山羊，并对你说，现在给你一个机会，允许你改变原先的选择，请你考虑一下：是仍然选择1号门，还是改而选择2号门。这时，你该怎么办? 应该说这道题目的设计者真是诡计多端，他﹙她﹚把一道概率论方面的数学问题用通俗的方式表达出来，并用一种“节外生枝”的手法把问题弄得扑遡迷离。还是先让我们用概率论的术语把问题表达清楚：在这种情况下，是仍然选择1号门而获得汽车﹙即汽车是藏在1号门后面﹚的概率大,还是改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率大? 大概玛丽莲小姐自己也没有料到,当她的“权威性”答案公布以后,在美国引起了轰动.从二年级的小学生到研究生,甚至具有博士学位的读者，纷纷写信报社，对玛丽莲小姐的答案提出了自己的看法.在这成千上万的来信中,有90%认为玛丽莲小姐的答案是错误的.据说这90%的读者中,有约1000位是博士；甚至在卷入这场讨论的美国大学教授中，也有三分之二对玛丽莲小姐的答案持反对意见。 先在让我们来看看玛丽莲小姐的答案和大多数读者的看法。 玛丽莲小姐的答案：玛丽莲小姐说,这时你应该改而选择2号门,因为本来汽车藏在1号门后面的概率1/3﹙一共有3扇门,汽车藏在其中任何一扇门后面的概率都一样,故各为1/3﹚,而藏在2号3号门后面的概率2/3。现3号门被排除了,汽车藏2号门后面的概率就增加到2/3了。 大多数读者的看法：既然现在3号门后面不是汽车,那末汽车藏在1号门后面和藏在2号门后面的概率是相等的，各为1/2，故仍选择1号门和改而选择2号门都一样，无所谓。 玛丽莲小姐振振有词,似无懈可击；大多数读者的看法理由明了，似符合直觉.问题出在哪里呢? 这是近二十年年前引起众人注目的一道概率论方面的数学问题。这道题目的关键在什么地方? 改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P为多大? 什么情况下玛丽莲小姐的结论（P=2/3）是对的? 什么情况下大多数读者的结论（P=1/2）是对的? 本人以为，这个有趣问题的关键是：问题似乎已将条件都给出，应有一个确定的答案。但实际上若要有一个确定的答案，问题所给出的条件是不够的。 先通俗讲一讲这个问题的实质是： 若q是不大于1的非负实数，问题2：1/(1+q）大于1/2还是不大于1/2？ 对于问题2，我想一般学过数学的人都能正确回答：条件不够，不能得出确定答案，除非你告诉我q等于多少。 这个问题的妙处在于经过包装后，绝大多数人看不出其本质就是问题2。 下面给出这个问题的正解： 这个问题中的众多解答中，我认为最完美解答之一是美国得克萨斯大学的 Leonard Gillman教授（美国著名数学家，曾担任过两年美国数学协会主席）在1992年在The American Mathematical Monthly（《美国数学月刊》1992年1月号）上发表的论文 The Car and Goats（《汽车与山羊》）。Gillman教授在这篇论文中，对这个问题作了精辟分析，计算了改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P，并讨论了一些关于概率事件理论结果同直觉经验之间矛盾的问题。 根据 Gillman教授的分析计算，对于本问题不难得出以下结论： 1） 改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P=1/(1+q)。 其中q是当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率。 2） 在当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率为1/2（即这时主持人打开2号门概率和打开3号门概率是一样的）条件下，P=2/3，玛丽莲小姐的结论是对的。 3） 在当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率为1（即这时主持人总打开3号门）条件下，P=1/2，大多数读者的结论是对的。 最后再补充本人对这个有趣问题的另一点看法： 这个趣题的特点在于提法通俗易懂，答案出乎意料。不足之处是其在游戏实用中的乏味性，因为当汽车是藏在3号门后面或主持人要打开2号门时，主持人只好说:“对不起，为了正确计算概率，这次不算，请重新再来一次。” 为避免这不足之处，可以在问题中去掉如果打开了3号门，即问题改为：•••比方说你选择了1号门。但这时主持人﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚打开了另两扇门的一扇，让你看到这后面是一头山羊，并对你说，现在给你一个机会，允许你改变原先的选择，请你考虑一下：是仍然选择1号门，还是改而选择另一扇没打开的门。这时，你该怎么办? 改而选择另一扇没打开的门获得汽车的概率P为多大? 这样一改，游戏时的趣味性提高了，但答案变成唯一确定的（P=2/3），问题成为一道普通的概率题而变得乏味了。真是左右为难啊！

wayne

呵呵，本来是 三选一 的，后来变成二选一了， 就相当于XX年以前政治选择题是四选一的，后来教育改革了，革成了三选一，那些完全什么都不会的考生是不是就更容易答对题了呢 唉，我看，那些完全什么都不会的考生，他们的命运仍然是完全的系在命题人身上。

wayne

若q是不大于1的非负实数，问题2：1/(1+q）大于1/2还是不大于1/2？

问题转化一下，果然明了。 不过，发现 Gillman教授的分析并没有直面问题。 ================================================ 其实蒙提霍尔问题本质上就是主持人仅仅是把问题由三选一变成二选一，把每个门的筹码加重了而已，增加了现场的紧张气氛，恰好达到了主持人想要的效果，有点玩弄人的味道。 现在的什么开心辞典之类的游戏，更加爽快，问你是否需要电脑帮你去掉一个选项.......

wayne

从 蒙提霍尔问题 可以看出： 概率是多么的让人无助啊，即便是我们费了很大的劲，使得三选一变成二选一，我们依然要直面最惨淡的不确定性！

wayne

很多人，为了一次性的决策，而大谈概率之道，俺认为是不妥的。 俺认为，脱离了统计学意义的概率 是无用的

wayne

统计学又是以概率作为基石，上面的话好像有点乱。 从统计学的角度来看概率，才有意义， 脱离了统计学这个环境，概率是无用之学，甚至是误导人的东西。

hujunhua

蒙提霍尔问题里没有两可性，主持人对嘉宾说的是：“剩下的两个门中至少有一个后面是山羊，我是知道的，我可以给你打开它”于是主持人打开了一扇有山羊的门。也就是说，主持人打开的门后是山羊的概率是1。 换的机率应该这么考虑：先选一扇门，然后放弃它，选剩下的两扇门——慢，有人说了，只能选一扇啊。让主持人帮忙去掉有山羊的那扇就行了。也就是说，换，相当于3中选2，不换永远是3选1。

仙剑魔

我是不是对问题的理解有错误... 开始你是在3扇门里任选1扇 这之后主持人会打开某扇后面有羊的门 然后剩下的门是2扇,你知道的也只是:某扇门后有羊 单纯的考虑是否换门这个问题,为什么概率的分布会不均匀? 或者说,有那些附加的信息能让概率的分布变得不均匀? 我看不出来

wayne

29# 仙剑魔 主持人是知道宝马车藏在哪个门后面的。 所以，我也看不出附加的那个使得概率发生变化的信息，