头脑风暴系列之一 ----概率

wayne · 发表于 2010-8-25 13:33:32

80# sheng_jianguo

题目表述很清晰很严密，呵呵，我想想

sheng_jianguo · 发表于 2010-8-25 13:33:50

本帖最后由 sheng_jianguo 于 2010-8-25 13:37 编辑

贝特朗怪论是“在半径为1圆内的所有弦中随机地取一条弦，问其长超过√3（该圆内接等边三角形的边长）的概率等于多少？”（不是“弦长大于根号3”）蕴含有动作和过程，我认为是个事件（最多条件叙述不完整）。

wayne · 发表于 2010-8-25 13:36:27

本帖最后由 wayne 于 2010-8-25 13:39 编辑

答案是1/3 .
因为弦心距相同的事件是不能确定的，即没法计算总事件，而61楼的计算方法仍然有效。

wayne · 发表于 2010-8-25 13:45:37

可以计算，过程有点复杂，得用解析几何来做

wayne · 发表于 2010-8-25 13:47:29

呵呵，绕了一个弯，其实质就是61楼的那个方法

wayne · 发表于 2010-8-25 14:39:01

本帖最后由 wayne 于 2010-8-25 14:48 编辑

80# sheng_jianguo
还是不一样，概率与针的长度有关。

设两端点 A (r1cosa,r1sina) , B (r2cosb,r2sinb) ，AB为定长 L，圆半径R=1，
$L^2=r_1^2+r_1^2-2r_1r_2cos(a-b)$

针与圆交于两点，那么 $|sin(a-b)|<{RL}/{r_1r_2}$
针与圆交得的切割线大于根号3，那么 $|sin(a-b)|<{RL}/{2r_1r_2}$
$0<a,b<2pi,r_1>=1 ,r_2>=1$
这个要计算三重积分了

wayne · 发表于 2010-8-25 14:54:22

而且这个积分是无穷域的，真麻烦，俺暂时不算了

wayne · 发表于 2010-8-25 15:48:09

本帖最后由 wayne 于 2010-8-25 16:09 编辑

86# wayne
可以继续化简，消去三角函数,r1，r2换成x，y，对应的区域是：
$(x + y + L) (x + y - L) (x - y + L) (-x + y + L) <4 R^2 L^2$
$(x + y + L) (x + y - L) (x - y + L) (-x + y + L) < R^2 L^2$
其中,x>=1,y>=1.

wayne · 发表于 2010-8-25 16:21:20

88# wayne

绕了一个弯，最简单的方法，就是设针的两端点分别距离圆心的距离是x,y，根据海伦公式即可得出约束区域，谁能算一下，看是不是1/3

wayne · 发表于 2010-8-25 16:33:01

本帖最后由 wayne 于 2010-8-25 16:37 编辑

积分不是无穷域，R<|x|< R+L,R<|y|< R+L

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